2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷
一、选择题
1．（2015八下·嵊州期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF= AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DC=DF，
∴AE=DF，
∴AE﹣EF=DF﹣EF，
即AF=DE，
当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，
∴AF=DE= （AD﹣EF）=1.5x，
∴AE=AB=AF+EF=2.5x，
∴AB：BC=2.5：4=5：8．
故选D．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
2．在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，过点A作直线CD的垂线交直线CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD=6．
① 如图：
∵S ABCD=BC AE=CD AF=12，∴AE=2，AF=3．在Rt△ABE中，BE= ．在Rt△ADF中，DF= ，∴CE+CF=BC﹣BE+DF﹣CD= ；
② 如图：
∵S ABCD=BC AE=CD AF=12，∴AE=2，AF=3．在Rt△ABE中，BE= ．在Rt△ADF中，DF= ，∴CE+CF=BC+BE+DF+CD= ．
综上可得：CE+CF的值为 或 ．
故答案为：C．
【分析】符合题意的平行四边形有两类：∠A为锐角与钝角两种，画出满足条件的两个平行四边形，利用等面积法求得AE，AF的值，进而利用勾股定理求得BE，DF的值，结合图形即可求得CE+CF的值.
3．如图，在 ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD
∴∠ABE=∠CFE
∵∠ABC的平分线交AD于点E
∴∠ABE=∠CBF
∴∠CBF=∠CFB
∴CF=CB=7
∴DF=CF-CD=7-4=3
故答案为：B．
【分析】在平行四边形ABCD中由AB∥CD与∠ABC的平分线交AD于点E可得∠ABE=∠CBF=∠CFB，故可得CF=CB，再由平行四边形的对边相等即可求得DF的值.
4．（2017八下·永春期中）如图，已知口ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=45°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．170° B．165° C．160° D．155°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AE⊥BC于点E，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得 BC=，∠DCB=，由角的构成可得∠A'DC=∠ADC-∠AD= ∠DA'B=-= ；根据直角三角形两锐角互余可得BAE=，由旋转的性质可得∠BA'E'=∠BAE=。所以根据角的构成可得∠DA'E'=∠DA'B+∠BA'E'=.
5．（2017八下·揭西期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（ ）
A．96 B．48 C．60 D．30
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=5.
同理可得：BE=BC=5，
∴AB=5+5=10，
∴CD=10.
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CED=90°.
由勾股定理得
.
，
.
故选B.
6．如图， ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （ ）
A．24cm B．16cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=32cm，
∴AD+DC=16cm，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=16cm，
故答案为：B．
【分析】在平行四边形ABCD中，对角线互相平分即OA=OC，结合EO⊥AC，即可利用线段垂直平分线的性质即可得证AE=EC，再由平行四边形周长为32cm可得AD+DC=16cm，从而可求得△DCE的周长.
7．已知 ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE=3∠CEF．中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF=FC，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠FAB，
∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF=∠C，
∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△MBF和△ECF中，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE=MF，∠CEF=∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠BAE=90°，
∵FM=EF，
∴EF=AF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△AFM，
∴S△ABF≤S△AEF，故③正确；
④设∠FEA=x，则∠FAE=x，
∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，
∴∠EFA=180°﹣2x，
∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠CEF=90°﹣x，
∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，
故选：D．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
8．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可知
根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可知B不符合题意；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C不符合题意；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知D不符合题意.
故答案为：A
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
9．（2017八下·遂宁期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
10．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（ ）
A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4．再根据三角形的三边关系，得：1＜AD＜9．
故答案为：C．
【分析】三角形的三边关系为：两边和大于第三边，两边差小于第三边.
11．（2017八下·闵行期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（ ）
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，
故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，
故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，
故④正确．
故答案为：C．
【分析】需要对四个结论逐一判断，①由已知得AF=FD=CD，进而可得∠DFC=∠DCF，再由平行线的性质可得∠DFC=∠FCB，从而可证明①正确。
②延长EF，交CD延长线于M，先运用ASA证明△AEF≌△DMF，再由三角形全等的性质结合已知条件即可证明②正确。
③由EF=FM，易得出S△EFC=S△CFM，又因为MC＞BE，可得S△BEC＜2S△EFC，故③错误。
④设∠FEC=x，可得∠FCE=x，再运用直角三角形性质以及三角形内角和等于180°得出∠DFE=3∠AEF的关系，④正确。
12．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．
故答案为：D．
【分析】只要折痕过平行四边形对角线的交点即可使得折痕平分这个平行四边形的面积 .
二、填空题
13．在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是 ．
【答案】①或③
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AD∥BC，AB∥CD，满足平行四边形定义，①成立.∠A＝∠C ,AD∥BC，
所以∠C+∠D=180°，所以∠A+∠D=180°所以AB∥CD，所以③正确.
故答案为①或③.
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
14．在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
【答案】8或3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
15．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
过点B作BE∥x轴交x=4于点E，直线x=1与x轴交于点D
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠1=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴故点B可视为在直线x=5上运动，由垂线段最短，可得当且仅当OB⊥x=5时最短，
即此时B(5，0)，最小值OB=5
故答案为：5．
【分析】利用中点公式可以快速得到B点横坐标为5，即等于A、C两点横坐标之和快速判断点B在一条定直线上运动，进一步在书写上利用全等写清原因.
16．如图，AB∥CD, AD∥BC，点E、F分别是线段BC和CD上的动点，在两点运动到某一位置时，恰好使得∠AEF=∠AFE , 此时量得∠BAE=15°，∠FEC=12°，∠DAF=25°，则∠EFC= °
【答案】22
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设∠EAF=x, ,
+12°=180°.
x=106°,
AB∥CD,AD∥BC,
四边形ABCD是平行四边形.
∠BAD=146°，
所以∠EFC=180°-146°-12°=22°.
【分析】设∠EAF=x，可表示出等腰三角形AEF两个底角大小，再结合平行四边形中AD∥BC，即可利用两直线平行内错角相等，即可表示出∠AEB的大小，从而利用∠BEC为平角可得到关于x的方程，即方程即可求得x的值，从而可在△CEF中利用三角形内角和求得∠EFC的大小.
17．如图,以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE,使AD=DE=CE,∠DEC=90°,且点E在平行四边形内部,连接AE、BE,则∠AEB的度数是 .
【答案】135 °
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
则∠ADE+∠BCE=∠ADC+∠BCD-∠EDC-∠ECD=90°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE= （180°-∠ADE），
∵CE=AD=BC，
∴∠CEB=∠CBE= （180°-∠BCE）,
∴∠DEA+∠CEB= （360°-∠ADE-∠BCE）= ×270°=135°
∴∠AEB=360°-∠DEC-∠DEA -∠CEB =360°-90°-135°=135°
故答案为：135 °.
【分析】由∠DEC=90°，DE=CE可知△CDE是等腰直角三角形，从而可得∠EDC=∠ECD=45°，再结合平行四边形的对边平行即AD∥BC，进而可得∠ADE+∠BCE=90°，再由AD=DE，可由∠ADE表示出∠DEA，再由CE=AD=BC，即可知∠CEB可由∠BCE表示出来，从而可求得∠DEA+∠CEB的值，进而可求得∠AEB的大小.
18．（2017·黄州模拟）如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积S= ．
【答案】30
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=12，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=5，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=5×（12× ）=30，
即四边形AEFD的面积是30，
故答案为：30．
【分析】在△ABC中，由勾股定理逆定理得出∠BAC=90°，由等边三角形的性质得出∠DAB=∠EAC=60°，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，由等量代换得出∠DBF=∠ABC；再由全等三角形的判定SAS得出△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC，根据全等三角形的性质得出AC=DF=AE=12，AB=EF=AD=5，由平行四边形的判定得出四边形DAEF是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，从而求出四边形AEFD的面积.
三、解答题
19．已知 ABCD的周长为36cm，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F.若AE＝2cm，AF＝4cm.求 ABCD的各边长．
【答案】解：∵ ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，又∵ ABCD的周长为36cm.即AB＋BC＋CD＋AD＝36，即BC＋CD＝18，又∵S ABCD＝BC·AE＝CD·AF，∴2BC＝4CD，即BC＝2CD，解方程组 ，得 ，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】由 ABCD的周长为36cm，可求得BC＋CD＝18，利用平行四边形面积的求法有BC·AE＝CD·AF，从而可求得BC＝2CD，再结合两条边的和即可求得BC，AB的值，进而求得 ABCD的各边长 .
20．（2017·吉林模拟）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：四边形AFCE是平行四边形．
【答案】证明：连接AF、CE．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF，∵BE=DF，∴DE=BF，在Rt△ADE后Rt△CBF中， ，∴Rt△ADE≌Rt△CBF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】要证四边形AECF是平行四边形，连接AF、CE．由已知AE⊥BD，CF⊥BD，可证得AE∥CF，再证明AE=CF，通过证Rt△ADE≌Rt△CBF即可。
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE= BC=8，
如图，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
3t﹣8=6﹣t，
解得：t=3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
8﹣3t=6﹣t，
解得：t=1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；一元一次方程的实际应用-行程问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】由平行四边形的性质可知只需DP=EQ所得四边形即为平行四边形，从而对点Q的位置进行分类： Q运动到E和B之间与Q运动到E和C之间，用运动的时间t表示出DP，EQ的长即可求得满足题意的t的值.
22．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,
∴OE＝OF
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】在平行四边形ABCD中OA＝OC，DF∥EB，故由两直线平行内错角相等可得∠E＝∠F，再结合对顶角相等即∠EOA＝∠FOC，从而可利用AAS证得△OAE≌△OCF，即可得到OE＝OF.
23．如图,四边形ABCD是矩形,点E在CD边上,点F在DC延长线上,AE=BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE,AE=3,BE=4,求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．
∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= ．
∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠BCD=∠BCF=90°又AE=BF，从而可由HL证得Rt△ADE≌Rt△BCF，故∠1=∠F，从而由同位角相等两直线平行可证得AE∥BF，又AE=BF，故由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证得四边形ABFE是平行四边形；（2）在矩形ABCD中∠D=90°，再结合∠BEF=∠DAE，可得∠AEB=90°，即三角形AEB为直角三角形，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求得EF长.
24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG＝CE，连结DG，EG，BG，CG.
（1）试判断四边形EGFC的形状；
（2）求证：△DCG≌△BEG；
（3）试求出∠BDG的度数．
【答案】（1）解： 又∵平行四边形ABCD中AF平分∠BAD，得∠AEB=∠BAE=∠AFD，得CE=CF，
∴四边形 是菱形．
（2）证明：∵四边形 是平行四边形， 平分 又 四边形 是菱形. 是等边三角形， 又
（3）解：
是等边三角形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由一组对边平行且相等可证得四边形EGFC是平行四边形，再由平行四边形ABCD中AF平分∠BAD，可得∠AEB=∠BAE=∠AFD，故可得CE=CF，进而可知 平行四边形EGFC是菱形；（2）由平行四边形ABCD中AF平分∠BAD， ∠ABC＝120° ，可得∠AEB=∠DAE=∠BAE=30°，从而可得BA=BE，即可得BE=DC，又∠BEG=∠DCG=120°，从而可利用SAS证得 △DCG≌△BEG ；（3）由（2）可知 ，从而可由对应角相等，对应边相等即可得到DG=BG，∠CGD=∠EGB，从而可求得∠BGD=60°，再由有一个角是60°的等腰三角形可知△BDG是等边三角形，从而可得∠BDG=60°.
25．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（-4，2）、B（-1，-2），
∴C（4，-2）、D（1，2）；
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°或线段AB沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段CD
（3）解：由（1）得：A到y轴的距离为4，D到y轴的距离为1，A到x轴的距离为2，B到x轴的距离为2，
∴SABCD可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴SABCD=5×4=20.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；图形的平移
【解析】【分析】（1）由平行四边形的中心对称性可知点C，D关于原点O的对称点分别为点A，点B，即可写出点C，D的坐标；（2）变换过程有平移与旋转，也可二者结合进行变换；（3）借助点的坐标求得平行四边形的边长及其上的高即可.
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
【答案】（1）解：在 ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，
∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，∵∠CEF=∠AED，EC=AE，∠ECF=∠EAD，∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，
∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP= AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
在△AME与△CNE中，∵∠M=∠FNE=90°，∠EAM=∠NCE=45°，AE=CE，
∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，
在△ADE与△CFE中，∵∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，
∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 由 ABCD的对称性及AD=AC，AD⊥AC，可得AC=BC，AC⊥BC；连接CE，由三线合一可得AE=EC，CE⊥AB，进而可由等腰直角三角形求得∠ACE=∠BCE=45°，从而可得∠ECF=∠EAD=135°，由同角的余角相等可得∠CEF=∠AED，从而可由ASA证得△CEF≌△AED，即可得ED=EF；（2） 由（1）中△CEF≌△AED及AD=AC，可得AC=CF，在平行四边形ABCD中有DP∥AB，即可由三角形中位线的逆定理证得CP= AB=AE，从而由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形ACPE为平行四边形； （3） 过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，利用AAS证得△AME≌△CNE，从而得到∠ADE=∠CFE，再利用AAS证的△ADE≌△CFE，从而得到∠DEA=∠FEC，再结合∠DEA+∠DEC=90°，可证得∠DEF=90°，即可证得ED⊥EF．
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷
一、选择题
1．（2015八下·嵊州期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF= AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8
2．在面积为12的平行四边形ABCD中，过点A作直线BC的垂线交直线BC于点E，过点A作直线CD的垂线交直线CD于点F，若AB=4，BC=6，则CE+CF的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．如图，在 ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2017八下·永春期中）如图，已知口ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=45°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．170° B．165° C．160° D．155°
5．（2017八下·揭西期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（ ）
A．96 B．48 C．60 D．30
6．如图， ABCD的周长为32cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为 （ ）
A．24cm B．16cm C．8cm D．10cm
7．已知 ABCD中，AD=2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，连结EF、AF，下列结论：①2∠BAF=∠BAD；②EF=AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE=3∠CEF．中一定成立的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
8．四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，∠ABC＝∠ADC B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
9．（2017八下·遂宁期末）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（ ）
A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞10
11．（2017八下·闵行期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论中一定成立的个数是（ ）
①∠DCF= ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．将一张平行四边形纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
二、填空题
13．在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是 ．
14．在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
15．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 ．
16．如图，AB∥CD, AD∥BC，点E、F分别是线段BC和CD上的动点，在两点运动到某一位置时，恰好使得∠AEF=∠AFE , 此时量得∠BAE=15°，∠FEC=12°，∠DAF=25°，则∠EFC= °
17．如图,以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE,使AD=DE=CE,∠DEC=90°,且点E在平行四边形内部,连接AE、BE,则∠AEB的度数是 .
18．（2017·黄州模拟）如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积S= ．
三、解答题
19．已知 ABCD的周长为36cm，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F.若AE＝2cm，AF＝4cm.求 ABCD的各边长．
20．（2017·吉林模拟）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，求证：四边形AFCE是平行四边形．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
22．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
23．如图,四边形ABCD是矩形,点E在CD边上,点F在DC延长线上,AE=BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE,AE=3,BE=4,求EF的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG＝CE，连结DG，EG，BG，CG.
（1）试判断四边形EGFC的形状；
（2）求证：△DCG≌△BEG；
（3）试求出∠BDG的度数．
25．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．
（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DC=DF，
∴AE=DF，
∴AE﹣EF=DF﹣EF，
即AF=DE，
当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，
∴AF=DE= （AD﹣EF）=1.5x，
∴AE=AB=AF+EF=2.5x，
∴AB：BC=2.5：4=5：8．
故选D．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD=6．
① 如图：
∵S ABCD=BC AE=CD AF=12，∴AE=2，AF=3．在Rt△ABE中，BE= ．在Rt△ADF中，DF= ，∴CE+CF=BC﹣BE+DF﹣CD= ；
② 如图：
∵S ABCD=BC AE=CD AF=12，∴AE=2，AF=3．在Rt△ABE中，BE= ．在Rt△ADF中，DF= ，∴CE+CF=BC+BE+DF+CD= ．
综上可得：CE+CF的值为 或 ．
故答案为：C．
【分析】符合题意的平行四边形有两类：∠A为锐角与钝角两种，画出满足条件的两个平行四边形，利用等面积法求得AE，AF的值，进而利用勾股定理求得BE，DF的值，结合图形即可求得CE+CF的值.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD
∴∠ABE=∠CFE
∵∠ABC的平分线交AD于点E
∴∠ABE=∠CBF
∴∠CBF=∠CFB
∴CF=CB=7
∴DF=CF-CD=7-4=3
故答案为：B．
【分析】在平行四边形ABCD中由AB∥CD与∠ABC的平分线交AD于点E可得∠ABE=∠CBF=∠CFB，故可得CF=CB，再由平行四边形的对边相等即可求得DF的值.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AE⊥BC于点E，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得 BC=，∠DCB=，由角的构成可得∠A'DC=∠ADC-∠AD= ∠DA'B=-= ；根据直角三角形两锐角互余可得BAE=，由旋转的性质可得∠BA'E'=∠BAE=。所以根据角的构成可得∠DA'E'=∠DA'B+∠BA'E'=.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠AED.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=5.
同理可得：BE=BC=5，
∴AB=5+5=10，
∴CD=10.
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CED=90°.
由勾股定理得
.
，
.
故选B.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=32cm，
∴AD+DC=16cm，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=16cm，
故答案为：B．
【分析】在平行四边形ABCD中，对角线互相平分即OA=OC，结合EO⊥AC，即可利用线段垂直平分线的性质即可得证AE=EC，再由平行四边形周长为32cm可得AD+DC=16cm，从而可求得△DCE的周长.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF=FC，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴BC=2AB=2CD，∴BF=FC=AB，
∴∠AFB=∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠BAF=∠FAB，
∴2∠BAF=∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF=∠C，
∵F为BC中点，
∴BF=CF，
在△MBF和△ECF中，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE=MF，∠CEF=∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠BAE=90°，
∵FM=EF，
∴EF=AF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△AFM，
∴S△ABF≤S△AEF，故③正确；
④设∠FEA=x，则∠FAE=x，
∴∠BAF=∠AFB=90°﹣x，
∴∠EFA=180°﹣2x，
∴∠EFB=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠CEF=90°﹣x，
∴∠BFE=3∠CEF，故④正确，
故选：D．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，可知
根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可知B不符合题意；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知C不符合题意；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知D不符合题意.
故答案为：A
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
9．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4．再根据三角形的三边关系，得：1＜AD＜9．
故答案为：C．
【分析】三角形的三边关系为：两边和大于第三边，两边差小于第三边.
11．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，
故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，
故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，
故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，
故④正确．
故答案为：C．
【分析】需要对四个结论逐一判断，①由已知得AF=FD=CD，进而可得∠DFC=∠DCF，再由平行线的性质可得∠DFC=∠FCB，从而可证明①正确。
②延长EF，交CD延长线于M，先运用ASA证明△AEF≌△DMF，再由三角形全等的性质结合已知条件即可证明②正确。
③由EF=FM，易得出S△EFC=S△CFM，又因为MC＞BE，可得S△BEC＜2S△EFC，故③错误。
④设∠FEC=x，可得∠FCE=x，再运用直角三角形性质以及三角形内角和等于180°得出∠DFE=3∠AEF的关系，④正确。
12．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．
故答案为：D．
【分析】只要折痕过平行四边形对角线的交点即可使得折痕平分这个平行四边形的面积 .
13．【答案】①或③
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AD∥BC，AB∥CD，满足平行四边形定义，①成立.∠A＝∠C ,AD∥BC，
所以∠C+∠D=180°，所以∠A+∠D=180°所以AB∥CD，所以③正确.
故答案为①或③.
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边互相平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形.
14．【答案】8或3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
15．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
过点B作BE∥x轴交x=4于点E，直线x=1与x轴交于点D
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠1=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴故点B可视为在直线x=5上运动，由垂线段最短，可得当且仅当OB⊥x=5时最短，
即此时B(5，0)，最小值OB=5
故答案为：5．
【分析】利用中点公式可以快速得到B点横坐标为5，即等于A、C两点横坐标之和快速判断点B在一条定直线上运动，进一步在书写上利用全等写清原因.
16．【答案】22
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设∠EAF=x, ,
+12°=180°.
x=106°,
AB∥CD,AD∥BC,
四边形ABCD是平行四边形.
∠BAD=146°，
所以∠EFC=180°-146°-12°=22°.
【分析】设∠EAF=x，可表示出等腰三角形AEF两个底角大小，再结合平行四边形中AD∥BC，即可利用两直线平行内错角相等，即可表示出∠AEB的大小，从而利用∠BEC为平角可得到关于x的方程，即方程即可求得x的值，从而可在△CEF中利用三角形内角和求得∠EFC的大小.
17．【答案】135 °
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
则∠ADE+∠BCE=∠ADC+∠BCD-∠EDC-∠ECD=90°，
∵AD=DE，
∴∠DEA=∠DAE= （180°-∠ADE），
∵CE=AD=BC，
∴∠CEB=∠CBE= （180°-∠BCE）,
∴∠DEA+∠CEB= （360°-∠ADE-∠BCE）= ×270°=135°
∴∠AEB=360°-∠DEC-∠DEA -∠CEB =360°-90°-135°=135°
故答案为：135 °.
【分析】由∠DEC=90°，DE=CE可知△CDE是等腰直角三角形，从而可得∠EDC=∠ECD=45°，再结合平行四边形的对边平行即AD∥BC，进而可得∠ADE+∠BCE=90°，再由AD=DE，可由∠ADE表示出∠DEA，再由CE=AD=BC，即可知∠CEB可由∠BCE表示出来，从而可求得∠DEA+∠CEB的值，进而可求得∠AEB的大小.
18．【答案】30
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=12，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=5，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=5×（12× ）=30，
即四边形AEFD的面积是30，
故答案为：30．
【分析】在△ABC中，由勾股定理逆定理得出∠BAC=90°，由等边三角形的性质得出∠DAB=∠EAC=60°，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，由等量代换得出∠DBF=∠ABC；再由全等三角形的判定SAS得出△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC，根据全等三角形的性质得出AC=DF=AE=12，AB=EF=AD=5，由平行四边形的判定得出四边形DAEF是平行四边形，再根据平行四边形的性质得出∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，从而求出四边形AEFD的面积.
19．【答案】解：∵ ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，又∵ ABCD的周长为36cm.即AB＋BC＋CD＋AD＝36，即BC＋CD＝18，又∵S ABCD＝BC·AE＝CD·AF，∴2BC＝4CD，即BC＝2CD，解方程组 ，得 ，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝12cm.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】由 ABCD的周长为36cm，可求得BC＋CD＝18，利用平行四边形面积的求法有BC·AE＝CD·AF，从而可求得BC＝2CD，再结合两条边的和即可求得BC，AB的值，进而求得 ABCD的各边长 .
20．【答案】证明：连接AF、CE．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF，∵BE=DF，∴DE=BF，在Rt△ADE后Rt△CBF中， ，∴Rt△ADE≌Rt△CBF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】要证四边形AECF是平行四边形，连接AF、CE．由已知AE⊥BD，CF⊥BD，可证得AE∥CF，再证明AE=CF，通过证Rt△ADE≌Rt△CBF即可。
21．【答案】解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE= BC=8，
如图，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
3t﹣8=6﹣t，
解得：t=3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
8﹣3t=6﹣t，
解得：t=1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；一元一次方程的实际应用-行程问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】由平行四边形的性质可知只需DP=EQ所得四边形即为平行四边形，从而对点Q的位置进行分类： Q运动到E和B之间与Q运动到E和C之间，用运动的时间t表示出DP，EQ的长即可求得满足题意的t的值.
22．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,
∴OE＝OF
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】在平行四边形ABCD中OA＝OC，DF∥EB，故由两直线平行内错角相等可得∠E＝∠F，再结合对顶角相等即∠EOA＝∠FOC，从而可利用AAS证得△OAE≌△OCF，即可得到OE＝OF.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．
∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= ．
∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中AD=BC，∠D=∠BCD=∠BCF=90°又AE=BF，从而可由HL证得Rt△ADE≌Rt△BCF，故∠1=∠F，从而由同位角相等两直线平行可证得AE∥BF，又AE=BF，故由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证得四边形ABFE是平行四边形；（2）在矩形ABCD中∠D=90°，再结合∠BEF=∠DAE，可得∠AEB=90°，即三角形AEB为直角三角形，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求得EF长.
24．【答案】（1）解： 又∵平行四边形ABCD中AF平分∠BAD，得∠AEB=∠BAE=∠AFD，得CE=CF，
∴四边形 是菱形．
（2）证明：∵四边形 是平行四边形， 平分 又 四边形 是菱形. 是等边三角形， 又
（3）解：
是等边三角形，
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）由一组对边平行且相等可证得四边形EGFC是平行四边形，再由平行四边形ABCD中AF平分∠BAD，可得∠AEB=∠BAE=∠AFD，故可得CE=CF，进而可知 平行四边形EGFC是菱形；（2）由平行四边形ABCD中AF平分∠BAD， ∠ABC＝120° ，可得∠AEB=∠DAE=∠BAE=30°，从而可得BA=BE，即可得BE=DC，又∠BEG=∠DCG=120°，从而可利用SAS证得 △DCG≌△BEG ；（3）由（2）可知 ，从而可由对应角相等，对应边相等即可得到DG=BG，∠CGD=∠EGB，从而可求得∠BGD=60°，再由有一个角是60°的等腰三角形可知△BDG是等边三角形，从而可得∠BDG=60°.
25．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（-4，2）、B（-1，-2），
∴C（4，-2）、D（1，2）；
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°或线段AB沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段CD
（3）解：由（1）得：A到y轴的距离为4，D到y轴的距离为1，A到x轴的距离为2，B到x轴的距离为2，
∴SABCD可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴SABCD=5×4=20.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；图形的平移
【解析】【分析】（1）由平行四边形的中心对称性可知点C，D关于原点O的对称点分别为点A，点B，即可写出点C，D的坐标；（2）变换过程有平移与旋转，也可二者结合进行变换；（3）借助点的坐标求得平行四边形的边长及其上的高即可.
26．【答案】（1）解：在 ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，
∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，
在△CEF和△AED中，∵∠CEF=∠AED，EC=AE，∠ECF=∠EAD，∴△CEF≌△AED，
∴ED=EF；
（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，
∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP= AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；
（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，
在△AME与△CNE中，∵∠M=∠FNE=90°，∠EAM=∠NCE=45°，AE=CE，
∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，
在△ADE与△CFE中，∵∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF，
∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，
∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 由 ABCD的对称性及AD=AC，AD⊥AC，可得AC=BC，AC⊥BC；连接CE，由三线合一可得AE=EC，CE⊥AB，进而可由等腰直角三角形求得∠ACE=∠BCE=45°，从而可得∠ECF=∠EAD=135°，由同角的余角相等可得∠CEF=∠AED，从而可由ASA证得△CEF≌△AED，即可得ED=EF；（2） 由（1）中△CEF≌△AED及AD=AC，可得AC=CF，在平行四边形ABCD中有DP∥AB，即可由三角形中位线的逆定理证得CP= AB=AE，从而由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形ACPE为平行四边形； （3） 过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，利用AAS证得△AME≌△CNE，从而得到∠ADE=∠CFE，再利用AAS证的△ADE≌△CFE，从而得到∠DEA=∠FEC，再结合∠DEA+∠DEC=90°，可证得∠DEF=90°，即可证得ED⊥EF．
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