2018-2019学年数学北师大版八年级上册1.2《一定是直角三角形吗》同步训练
一、选择题：
1．（2016八下·青海期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
2．（2017八下·富顺期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
3．⊿ABC中，如果三边满足关系 = + ，则⊿ABC的直角是（ ）
A．∠C B．∠A C．∠B D．不能确定
4．三角形的三边长a、b、c满足 ，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2=c2－a2 B．a∶b∶c=3∶4∶5
C．∠C=∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
二、填空题
6．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．
7．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是 cm， cm， cm．
8．若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。
9．在⊿ABC中，若 ，则最大边上的高为 .
10．我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
11， ， ；…
三、解答题：
11．如图，点A、D、B在同一直线上，BC=15，CD=12，AC=13，AD=5.求AB的长.
12．小明画了一个如图所示的四边形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A= ，你能求出四边形ABCD的面积吗？
13．如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
14．在⊿ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，问⊿ABC是什么形状的三角形？并说明你的理由.
15．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：B．
【分析】由题意和勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且BC是斜边，即∠A=90°．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵(a+b)2-c2=2ab，
∴a2+2ab+b2-c2=2ab.
∴a2+b2=c2.
∴此三角形是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】已知 =2ab，运用完全平方公式展开整理可得，由勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.
A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可知是直角三角形；
（2）由勾股定理的逆定理可知是直角三角形；
（3）由三角形的内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠C=∠A－∠B，解方程组即可求得各角的度数即可判断；
（4）由三角形的内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15，解方程组即可求得各角的度数即可判断。
6．【答案】96
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，连接AC，
在Rt△ADC中，CD=6，AD=8，则 .
在△ABC中，AB=26，BC=24，AC=10，则 ，故△ABC为直角三角形.
.
故本题的正确答案应为96.
【分析】连接AC，在Rt△ADC中，用勾股定理可求得AC的长，在三角形ABC中，计算出和的值，根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形，则阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-直角三角形ACD的面积即可求解。
7．【答案】6；8；10
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设三边为3x，4x，5x，
则3x+4x+5x=24，
x=2，
即三角形三边是6，8，10，根据勾股定理的逆定理，
故答案为：6，8，10．
【分析】如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，设三边为3x，4x，5x，得出3x+4x+5x=24，求出即可．
8．【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】(m+1) +(m+2) =(m+3) ，
解得：m=±2，
当m= 2时，m+1<0，不合题意舍去，
则m=2.
故答案为：2.
【分析】由题意，可得关于m的方程(m+1) +(m+2) =(m+3) ，解方程即可求解。
9．【答案】2.4
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】将a2和b2看作整体，由a2+b2=25，a2-b2=7，
可得a2=16，b2=9.
由a和b为边长，故a和b都为正数，
所以a=4，b=3.
由a2+b2=c2，可知△ABC为直角三角形，
故最长边为斜边，设斜边上的高为h，
故12ab=12ch，
代入数据，解得h=2.4.
故答案为：2.4.
【分析】用换元法解方程组可求得a2=16，b2=9；由题意可得a=4，b=3，根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC的形状，再用面积法即可求解。
10．【答案】60；61
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到
4=2×1×2；
12=2×2×3，
24=2×3×4；
40=2×4×5；
60=2×5×6，60+1=61.
故答案为(1).60；(2).61
【分析】由已知的这五组数据可知，勾股数的第一个数是依次是连续的奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，观察已知的四组数据中的第二个数有如下的特点：2n(n+1)，将n=5代入即可求解。
11．【答案】解：∵CD=12，AC=13，AD=5，
∴CD +AD =AC ，
∴△ACD是直角三角形，
∴CD⊥AD，
∵BC=15，
∴BD= =9，
∴AB=AD+DB=5+9=14.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理易证△ACD是直角三角形，则∠BDC=，在直角三角形BDC中。用勾股定理可求得BD的长，所以AB=AD+BD即可求解。
12．【答案】解：∵∠DAB=90°，∴AB2+AD2=BD2.∵AB=4，AD=3，∴BD=5.∵BC=12，CD=13，BD=5，∴BD2+BC2=CD2.∴△BCD为直角三角形.∵∠DAB=90°，AB=4，AD=3，∴S△ABD= ×AB×AD=6.∵△BCD为直角三角形，BC=12，BD=5，∴S△BCD=12×BC×BD=30.∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，S△ABD=6，S△BCD=30，∴S四边形ABCD=36.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接BD，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长；计算和的值，用勾股定理的逆定理可判断∠DBC=90°，于是S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=ABAD+BDBC即可求解。
13．【答案】解：连接AC，
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长；在三角形ACD中，计算和的值，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，则∠BAD=∠BAC+∠CAD即可求解。
14．【答案】解：△ABC是等腰三角形，∵AD是BC边的中线，BC=16cm，∴BD=DC=8cm，∵AD +BD =15 +8 =17 =AB ，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，AC= =17cm.∴AC=AB，即△ABC是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由题意可计算和的值，由勾股定理的逆定理即可判断∠ADB=∠ADC=90°，于是用勾股定理可求得AC的长，可得AC=AB，根据等腰三角形的定义可得△ABC是等腰三角形.
15．【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算和，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
1 / 12018-2019学年数学北师大版八年级上册1.2《一定是直角三角形吗》同步训练
一、选择题：
1．（2016八下·青海期末）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
2．（2017八下·富顺期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
3．⊿ABC中，如果三边满足关系 = + ，则⊿ABC的直角是（ ）
A．∠C B．∠A C．∠B D．不能确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：B．
【分析】由题意和勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且BC是斜边，即∠A=90°．
4．三角形的三边长a、b、c满足 ，则此三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵(a+b)2-c2=2ab，
∴a2+2ab+b2-c2=2ab.
∴a2+b2=c2.
∴此三角形是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】已知 =2ab，运用完全平方公式展开整理可得，由勾股定理的逆定理可得三角形是直角三角形。
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2=c2－a2 B．a∶b∶c=3∶4∶5
C．∠C=∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.
A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；
D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理可知是直角三角形；
（2）由勾股定理的逆定理可知是直角三角形；
（3）由三角形的内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠C=∠A－∠B，解方程组即可求得各角的度数即可判断；
（4）由三角形的内角和定理可得∠A+∠B+∠C=180°，已知∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15，解方程组即可求得各角的度数即可判断。
二、填空题
6．如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于 ．
【答案】96
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】如图所示，连接AC，
在Rt△ADC中，CD=6，AD=8，则 .
在△ABC中，AB=26，BC=24，AC=10，则 ，故△ABC为直角三角形.
.
故本题的正确答案应为96.
【分析】连接AC，在Rt△ADC中，用勾股定理可求得AC的长，在三角形ABC中，计算出和的值，根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC是直角三角形，则阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积-直角三角形ACD的面积即可求解。
7．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是 cm， cm， cm．
【答案】6；8；10
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设三边为3x，4x，5x，
则3x+4x+5x=24，
x=2，
即三角形三边是6，8，10，根据勾股定理的逆定理，
故答案为：6，8，10．
【分析】如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，设三边为3x，4x，5x，得出3x+4x+5x=24，求出即可．
8．若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。
【答案】2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】(m+1) +(m+2) =(m+3) ，
解得：m=±2，
当m= 2时，m+1<0，不合题意舍去，
则m=2.
故答案为：2.
【分析】由题意，可得关于m的方程(m+1) +(m+2) =(m+3) ，解方程即可求解。
9．在⊿ABC中，若 ，则最大边上的高为 .
【答案】2.4
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】将a2和b2看作整体，由a2+b2=25，a2-b2=7，
可得a2=16，b2=9.
由a和b为边长，故a和b都为正数，
所以a=4，b=3.
由a2+b2=c2，可知△ABC为直角三角形，
故最长边为斜边，设斜边上的高为h，
故12ab=12ch，
代入数据，解得h=2.4.
故答案为：2.4.
【分析】用换元法解方程组可求得a2=16，b2=9；由题意可得a=4，b=3，根据勾股定理的逆定理可判断三角形ABC的形状，再用面积法即可求解。
10．我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
11， ， ；…
【答案】60；61
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到
4=2×1×2；
12=2×2×3，
24=2×3×4；
40=2×4×5；
60=2×5×6，60+1=61.
故答案为(1).60；(2).61
【分析】由已知的这五组数据可知，勾股数的第一个数是依次是连续的奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，观察已知的四组数据中的第二个数有如下的特点：2n(n+1)，将n=5代入即可求解。
三、解答题：
11．如图，点A、D、B在同一直线上，BC=15，CD=12，AC=13，AD=5.求AB的长.
【答案】解：∵CD=12，AC=13，AD=5，
∴CD +AD =AC ，
∴△ACD是直角三角形，
∴CD⊥AD，
∵BC=15，
∴BD= =9，
∴AB=AD+DB=5+9=14.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理的逆定理易证△ACD是直角三角形，则∠BDC=，在直角三角形BDC中。用勾股定理可求得BD的长，所以AB=AD+BD即可求解。
12．小明画了一个如图所示的四边形，其中AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，∠A= ，你能求出四边形ABCD的面积吗？
【答案】解：∵∠DAB=90°，∴AB2+AD2=BD2.∵AB=4，AD=3，∴BD=5.∵BC=12，CD=13，BD=5，∴BD2+BC2=CD2.∴△BCD为直角三角形.∵∠DAB=90°，AB=4，AD=3，∴S△ABD= ×AB×AD=6.∵△BCD为直角三角形，BC=12，BD=5，∴S△BCD=12×BC×BD=30.∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，S△ABD=6，S△BCD=30，∴S四边形ABCD=36.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接BD，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长；计算和的值，用勾股定理的逆定理可判断∠DBC=90°，于是S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=ABAD+BDBC即可求解。
13．如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
【答案】解：连接AC，
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得AC的长；在三角形ACD中，计算和的值，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，则∠BAD=∠BAC+∠CAD即可求解。
14．在⊿ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，问⊿ABC是什么形状的三角形？并说明你的理由.
【答案】解：△ABC是等腰三角形，∵AD是BC边的中线，BC=16cm，∴BD=DC=8cm，∵AD +BD =15 +8 =17 =AB ，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，AC= =17cm.∴AC=AB，即△ABC是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由题意可计算和的值，由勾股定理的逆定理即可判断∠ADB=∠ADC=90°，于是用勾股定理可求得AC的长，可得AC=AB，根据等腰三角形的定义可得△ABC是等腰三角形.
15．如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
【答案】解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，
∴AC= =5，
∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，
∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求得AC的长，计算和，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角三角形ACB的面积-直角三角形ACD的面积。
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