2022-2023学年人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径 导学案 (含答案)

24.1.2垂直于弦的直径
【学习目标】
掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算。
【学习重难点】
理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论，垂径定理及其推论和运用。
【学习过程】
一、复习与提问。
1．叙述：请同学叙述圆的集合定义？
2．连结圆上任意两点的线段叫圆的 ，圆上两点间的部分叫做 ，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 。
垂径定理：垂直于 的直径平分弦，并且平分弦所对的两条 。
表达式：∵
∴
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD，弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM＝BM，弧AC＝BC，弧AD＝BD。
证明：如图，连结OA、OB，则OA＝OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中：
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM＝
∴点 和点 关于CD对称
∵⊙O关于CD对称
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧CD重合。
∴ ， ，
推论：平分弦的直径垂直于弦，并且
符号语言：∵
∴
3．归纳总结。
（1）圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴。
（2）垂径定理： 。
推论： 。
4．已知：在圆O中，（1）弦AB=8，O到AB的距离等于3，求圆O的半径。
（2）若OA=10，OE=6，求弦AB的长。
二、自主学习。
1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴。
2．对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦，③ 平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。
三、合作学习。
1．⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦、最长弦的长为 。
2已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，则OM＝ 。
3．⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 。
4．已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。
5．问题1：如图1，AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆交于C、D两点，求证：AC＝BD。
巩固练习
1．小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，如果OC=3，那么弦AB的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）
A．50m B．40m C．30m D．25m
4．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
5．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m B．m C．5m D．m
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD＝16，BE＝4，则CE＝____，⊙O的半径为_____．
7．如图，是的直径，弦于点，且，则的半径为__________．
8．如图，是的直径，弦于点，，，则的直径为_________．
9．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗
10．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点．
连接、，若，，，求的长．
11．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高为．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
D2．C3．D4．B5．D6． 8 10
9．能通过
11．（1）10米；（2）能
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