苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 同步练习1.1 直线的斜率与倾斜角（Word含答案）

第1章　直线与方程
1.1　直线的斜率与倾斜角　　　　
基础过关练
题组一　直线的斜率　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021北京朝阳和平街一中期中)已知A(1,1),B(3,5),则直线AB的斜率为(　　)
A.2　　　　B.1
C.　　　　D.不存在
2.(2020北京四中期中)若A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则m的值为(　　)
A.　　　　B.-1　　　　C.-2　　　　D.0
3.在平面直角坐标系中,将直线l上的点P向上平移三个单位,再向左平移三个单位,若点P仍在直线l上,则直线l的斜率是　　　　.
4.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率是PB的斜率的2倍,则点P的坐标为　　　　.
5.求过已知两点的直线的斜率.
(1)直线PQ过点P(2,3),Q(6,5);
(2)直线AB过点A(2,1),B(m,2).
题组二　直线的倾斜角
6.(2020江苏无锡第一中学月考)已知点A(1,),则直线AB的倾斜角为(　　)
A.
7.(2020天津汇文中学月考)已知点A(2,m),B(3,3),直线AB的倾斜角为45°,那么m的值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
8.求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.
(1)(-3,5),(0,2);
(2)(4,4),(4,5);
(3)(m,2m)(m≠1).
9.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且边OB在x轴的正半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
能力提升练
题组　倾斜角与斜率的综合应用　　　　　　　
1.(多选)(2020山东青州第一中学月考)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列结论正确的是　(　　)
A.k1C.α1<α3<α2　　　　D.α3<α2<α1
2.(2021黑龙江哈尔滨六中月考)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.　　　　B.[0,1] C.[0,2]　　　　D.
3.(2020上海嘉定期中)若直线l过点A(4,1),B(3,a2)(a∈R),则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.∪ C.∪
4.(2020江苏盐城射阳中学期中)设直线l的斜率为k,且-15.(2020江苏常州前黄高级中学月考)已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　.
6.(2021普通高等学校招生全国统一考试模拟演练)若某正方形的一条对角线所在直线l的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　.
7.若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角,则实数t的取值范围是　　　　　.
8.(2020江苏宿迁沭阳高级中学期中)已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　　　　　　.
9.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球经过台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当、方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　.
10.(2020山东东营一中月考)若点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,的取值范围为　　　　.
11.已知平面直角坐标系中有两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角
(2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗
答案全解全析
基础过关练
1.A　由题意,得kAB==2.
2.D　由于A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则kAB=kAC,即,解得m=0.故选D.
3.答案　-1
解析　由题可得直线l的斜率k==-1.
4.答案　(-5,0)
解析　设P(x,0)为满足题意的点,则kPA=,于是,解得x=-5,故点P的坐标为(-5,0).
5.解析　(1)直线PQ的斜率k=.
(2)当m=2时,直线AB的斜率不存在.
当m≠2时,直线AB的斜率k=.
易错警示
　　利用斜率公式求直线的斜率的前提条件是“直线上任意两点的横坐标不相等”,即直线不与x轴垂直,当直线与x轴垂直时,其斜率是不存在的,此时不能利用斜率公式求解.
6.A　设直线AB的倾斜角为α,α∈[0,π),
因为A(1,),
所以直线AB的斜率k=,
即tan α=-,所以α=.故选A.
解题模板
　　由两点坐标求出直线的斜率,利用k=tan α,结合倾斜角的范围即可求解.
7.B　由题意可得=tan 45°=1,∴m=2.故选B.
8.解析　(1)斜率k==-1,因为-1<0,所以倾斜角为钝角.
(2)因为两点的横坐标相同,所以斜率不存在,倾斜角为直角.
(3)因为m≠1,所以直线斜率存在.斜率k=,因为>0,所以倾斜角为锐角.
9.解析　因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=
tan 60°=.
因为边OB在x轴的正半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan 0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan 30°=,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-∠OBD=120°,斜率kBD=tan 120°=-.
能力提升练
1.AD　由题图可知,k2>k3>0,k1<0,故k1α1>>α2>α3>0,故α3<α2<α1.故选AD.
2.C　当直线l的倾斜角为0°时,斜率k=0;
当直线l经过原点时,斜率k=2.
易知当直线l在如图阴影所示的区域时,不经过第四象限,
∴直线l的斜率的取值范围为[0,2],故选C.
D　易知直线l的斜率存在,设直线l的倾斜角为θ,θ∈[0,π),且θ≠,则
tan θ==1-a2,
因为a∈R,所以1-a2≤1,即tan θ≤1,
所以0≤θ≤或<θ<π,
所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选D.
4.答案　∪
解析　由图得当-15.答案　(3,0)或(0,-3)
解析　∵直线PA的倾斜角为45°,
∴直线PA的斜率k=tan 45°=1.
若点P在x轴上,则设P(x,0),根据题意得=1,解得x=3,∴P(3,0);
若点P在y轴上,则设P(0,y),根据题意得=1,解得y=-3,∴P(0,-3).
综上,点P的坐标为(3,0)或(0,-3).
6.答案　-3和
解析　解法一:设直线l的倾斜角为α(α∈[0,π)),则tan α=2,易得该正方形的两条邻边所在直线的倾斜角分别为α+,
故tan=-3,
tan,
∴该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3和.
解法二:如图,
设O(0,0),A(1,2),则可知B(-2,1),D(2,-1),所以kAD=.
7.答案　[-2,1]
解析　因为直线的倾斜角α不是锐角,
所以α=0°或α=90°或α是钝角.
当α=0°时,1+t=2t,解得t=1;
当α=90°时,1-t=3,解得t=-2;
当α是钝角时,直线的斜率小于0,即<0,得<0,
所以或解得-2综上所述,实数t的取值范围为[-2,1].
8.答案　∪[5,+∞)
解析　如图所示,直线PA的斜率k1==5,直线PB的斜率k2=.
当直线l由PA变化到与y轴平行的位置(即PC)时,它的倾斜角由锐角α(tan α=5)增至90°,斜率的取值范围是[5,+∞);当直线l由PC变化到PB位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的取值范围是.
所以直线l的斜率k的取值范围是∪[5,+∞).
9.答案　　
信息提取　①目标球从点A(-2,3)无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7).
数学建模　台球中的无旋转反弹,与光线的反射原理相同,其一是对称的模型,求A点关于x轴的对称点A',或求B点关于x轴的对称点B';其二是三点共线,A'、P、B三点共线,或A、P、B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析　设P(x,0),A点关于x轴的对称点为A',
则A'(-2,-3),
依题意得,A'、P、B三点共线,
∵kA'P=,
∴kA'P=kA'B,即,
解得x=,故点P的坐标为.
方法技巧
　　光线的反射问题常用对称的知识解决,若A点经P点反射至B点,则A点关于镜面的对称点A'与P、B共线,为反射线所在直线;B点关于镜面的对称点B'与P、A共线,为入射线所在直线.
10.答案　
解析　,而的几何意义是过M(x,y),N两点的直线的斜率.
因为点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5],当x=2时,y=4;当x=5时,y=-2,不妨设A(2,4),B(5,-2),
所以点M在线段AB上,如图.
由于kNA=,所以-≤≤,
所以-≤≤3,即的取值范围是.
11.解析　(1)若直线MN的倾斜角为锐角,则斜率大于0,即斜率k=>0,
解得m>-2.
故当m>-2时,直线MN的倾斜角为锐角.
(2)若直线MN的倾斜角为钝角,则斜率小于0,
即斜率k=<0,
解得m<-2.
故当m<-2时,直线MN的倾斜角为钝角.
(3)当直线MN垂直于x轴时,直线MN的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能为直角.
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