苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.3　两条直线的平行与垂直 同步练习（Word含答案）

1.3　两条直线的平行与垂直
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　两条直线平行
1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是　　　　.
2.(2020江苏无锡锡山高级中学月考)与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为　　　　　　　　.
3.根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(-1,1),B(2,3),l2经过点C(1,0),D(-2,-2);
(2)l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2);
(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,);
(4)l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5).
题组二　两条直线垂直
4.(2022湖南娄底一中期中)已知直线l经过点(1,-2),且与直线2x+3y-1=0垂直,则l的方程为(　　)
A.2x+3y+4=0　　　　B.2x-3y-8=0
C.3x-2y-7=0　　　　D.3x-2y-1=0
5.(2022北京丰台二模)“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.(2020山东德州第一中学月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则该三角形为(　　)
A.直角三角形　　　　B.锐角三角形　　　　
C.钝角三角形　　　　D.无法判断
7.(2020江苏南京秦淮中学期中)直线y=x+1上一点P的横坐标是3,把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是　　　　　　.
8.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),且A1A2+B1B2=0,求证:l1⊥l2.
9.(2020山东临沂第一中学期中)如图,在平行四边形OABC中,A(3,0),C(1,3).
(1)求AB所在直线的方程;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程.
能力提升练
题组一　两条直线平行　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022山东泰安新泰一中月考)已知直线l1:x+(2a-1)y+2a-3=0,l2:ax+3y+a2+4=0,则“a=”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(多选)(2020广东肇庆实验中学期中)直线l1:(a2-1)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,l1∥l2,则a的值可能是(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.-2
3.(2020河北保定期末)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
题组二　两条直线垂直
4.(2022山东德州期末)已知直线l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则l2的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
C.
5.在平面直角坐标系中,有一矩形OABC,其中O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围为　　　　.
6.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM垂直
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)为线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.
答案全解全析
基础过关练
1.答案　-
解析　由题意得kPQ=kMN,所以,解得m=-.
检验:直线MN为y=-x+1,当m=-时,Q不在直线MN上,所以m=-时,两直线平行.
2.答案　3x+4y-24=0
解析　解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-的斜率为-,
∴设所求直线方程为y=-.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=.
由题意知,b>0且>0,∴b>0,∴=24,解得b=6(b=-6舍去),
∴所求直线方程为y=-x+6,即3x+4y-24=0.
解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9).
令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.
由题意得解得m<0,
∴=24,解得m=-24(m=24舍去),
∴所求直线方程为3x+4y-24=0.
3.解析　(1)∵,
∴,易验证l1与l2不重合,∴l1∥l2.
(2)∵=1≠=2,∴l1不平行于l2.
(3)∵=tan 60°=,
∴,∴l1∥l2或l1,l2重合.
(4)∵l1,l2斜率均不存在且不重合,∴l1∥l2.
4.C　因为直线l与直线2x+3y-1=0垂直,且直线2x+3y-1=0的斜率为-,所以直线l的斜率为,
又因为直线l经过点(1,-2),所以直线l的方程为y+2=(x-1),化简得3x-2y-7=0.
5.A　当a=1时,直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直,所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分条件;当直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直时,a+a×(-1)=0恒成立,所以“a=1”不是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的必要条件.所以“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的充分不必要条件.
6.A　由题意得kAB==2,∴kAB·kBC=-1,∴AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形.故选A.
7.答案　x+y-7=0
解析　由题意得,所求直线过点P(3,4),且与直线y=x+1垂直,故所求直线的斜率为-1,
利用点斜式得所求直线的方程为y-4=-(x-3),即x+y-7=0.
8.证明　①当B1=0时,A1≠0,由A1A2+B1B2=0得A2=0,则B2≠0,这时,两直线方程分别变形为l1:A1x+C1=0,l2:B2y+C2=0,显然l1⊥l2;
②当B2=0时,同理可证l1⊥l2;
③当B1B2≠0时,l1:y=-,
∵A1A2+B1B2=0,∴A1A2=-B1B2,即=-1,
∴·=-1,∴l1⊥l2.
9.解析　(1)平行四边形OABC中,点A(3,0),C(1,3),AB∥OC,∴kAB=kOC==3,
∴AB所在直线的方程为y-0=3(x-3),
即3x-y-9=0.
(2)∵CD⊥AB,∴kCD·kAB=-1,
由(1)知kAB=3,∴kCD=-,
∴CD所在直线的方程为y-3=-(x-1),即x+3y-10=0.
能力提升练
1.C　若l1∥l2,则a(2a-1)=3,解得a=或a=-1.当a=-1时,直线l1的方程为x-3y-5=0,直线l2的方程为-x+3y+5=0,两直线重合;当a=时,直线l1的方程为x+2y=0,直线l2的方程为x+2y+=0,符合l1∥l2.所以“a=”是“l1∥l2”的充要条件,故选C.
2.BCD　易得(a2-1)(a2+a)=a(a-1),整理得a2(a-1)(a+2)=0,解得a=0(二重根)或a=1或a=-2.
当a=0时,l1:x+1=0,l2:x-2=0,l1∥l2成立;
当a=1时,l1:y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2成立;
当a=-2时,l1:3x-2y-1=0,l2:3x-2y-2=0,l1∥l2成立.
综上所述,a的值可能为0,1,-2.故选BCD.
3.解析　(1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且,又kOC=,所以kOC=kOD,即点C,D和原点O在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).
由直线BC平行于x轴,得log2x1=log8x2,
所以x2=,将其代入,得log8x1=3x1log8x1,
由x1>1,知log8x1≠0,故=3x1,
所以x1=,于是A().
4.C　设l1,l2的斜率分别为k1,k2,l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π).
①当cos2α≠0时,k1=-.∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴k2=.∵0②当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0,
∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角为.
综上,θ∈,故选C.
5.答案　[-2,0]
解析　∵O点折叠后落在线段BC上,设为D点,
∴O点与D点关于折痕对称,
∴OD所在直线与折痕所在直线垂直,
易得B(2,1),则kOB=.
当D点落在线段BC(不含C点)上时,
OD所在直线的斜率的取值范围是,
∴k的取值范围为[-2,0).
当D点与C点重合时,∵直线OC的斜率不存在,
∴k=0.
综上,k的取值范围为[-2,0].
6.解析　如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
由AD=5 m,AB=3 m,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),
因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,
即·=-1,解得x=3.2,
即BM=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM垂直.
7.证明　由点B(b,0)和点P(0,p)知直线BP的斜率为-,
由点A(0,a)和C(c,0)知直线AC的斜率为-,
因为BE⊥AC,所以·=-1,即pa=-bc.
由点C(c,0)和P(0,p)知直线CP的斜率为-,由点A(0,a)和B(b,0)知直线AB的斜率为-,
所以直线CP和直线AB的斜率之积为·=-1,所以CP⊥AB,即CF⊥AB.
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