苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册1.4　两条直线的交点 同步练习（Word含答案）

1.4　两条直线的交点
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　求两直线的交点
1.(2020江苏宿迁致远中学月考)已知直线x=2与直线y=2x-1交于点P,则点P的坐标为(　　)
A.(1,5)　　　　B.(2,3)
C.(3,1)　　　　D.(0,0)
2.已知直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y-1=0相交于点P,求满足下列条件的直线方程:
(1)过点P和原点;
(2)过点P且平行于直线l3:x-2y-1=0.
题组二　根据交点求参数的值或范围
3.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为(　　)
A.12　　　　B.10　　　　C.-8　　　　D.-6
4.(2020江苏徐州第七中学期中)已知直线kx-y+1=0和x-ky=0相交,且交点在第二象限,则实数k的取值范围为(　　)
A.(-1,0)　　　　B.(0,1]
C.(0,1)　　　　D.(1,+∞)
5.已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0.
(1)若直线l1,l2,l3交于一点,求实数m的值;
(2)若直线l1,l2,l3不能围成三角形,求实数m的值.
题组三　求过两直线交点的直线方程
6.(2020江苏邳州运河中学期中)斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为(　　)
A.y=2x+1　　　　B.y=2x-1
C.y=2x-2　　　　D.y=2x+2
7.(2020山东淄博第二中学期中)已知两条直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0的交点为P,直线l3的方程为3x-4y+5=0.
(1)求过点P且与l3平行的直线方程;
(2)求过点P且与l3垂直的直线方程;
(3)求过点P和点(2,-1)的直线方程.
能力提升练
题组　两直线交点问题的应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏南京宁海中学月考)两条直线l1:y=kx+1+2k,l2:y=-x+2的交点在直线x-y=0的上方,则k的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.∪
2.(2020上海浦东新区华师大二附中月考)经过P(1,2)的直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于P1,P2两点,且满足,则直线l的方程为(　　)
A.2x-41y+80=0　　　　B.2x+41y-80=0
C.2x+41y+80=0　　　　D.2x-41y-80=0
3.(2020江苏扬州中学期中)已知直线l:(m+3)x+(m-2)y-m-2=0,点A(-2,-1),B(2,-2),若直线l与线段AB相交,则m的取值范围为(　　)
A.(-2,2) B.(-∞,-4]∪[4,+∞) C. D.(4,+∞)
4.(多选)(2020江苏南京师大附中期中)两直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴相交且能构成三角形,则m不能取到的值有(　　)
A.-3　　　　B.-2
C.-1　　　　D.0
5.已知直线l:3x+λy-2+2λx+4y+2λ=0,则直线l过定点　　　　.
6.(2020江苏盐城东台中学月考)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数y=cx+2+2(c>0,c≠1)的图象恒过同一个定点,则的最小值为　　　　.
7.如图,在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),则点A的坐标为　　　　,点C的坐标为　　　　.
8.已知两直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(09.(2020江苏南京天印高级中学月考)已知直线l过点P(2,3)且与定直线l0:y=2x在第一象限内交于点A,与x轴正半轴交于点B,记△AOB 的面积为S(O 为坐标原点),点B(a,0).
(1)求实数a的取值范围;
(2)求当S取得最小值时,直线l的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.B　联立直线x=2与直线y=2x-1的方程,
易得x=2,y=3,故点P的坐标为(2,3).
故选B.
2.解析　(1) P(-1,3),
所以过点P与原点的直线方程为y=-3x.
(2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠-1),由(1)知点P(-1,3),又点P在该直线上,所以c=7,
则所求的直线方程为x-2y+7=0.
3.B　将点(2,-1)代入3x+my-1=0,可得m=5,将点(2,-1)代入4x+3y-n=0,可得n=5,所以m+n=10.
4.A　易得k≠±1.联立kx-y+1=0与x-ky=0,
得x=,则解得-15.解析　(1)∵直线l1,l2,l3交于一点,
∴l1与l2不平行,∴m≠4.
由得
即l1与l2的交点坐标为,
将其代入l3的方程,得-3m·-4=0,
解得m=-1或m=.经检验,m的值为-1和时均满足题意.
(2)若l1,l2,l3交于一点,则由(1)知m=-1或m=;
若l1∥l2,则m=4;
若l1∥l3,则m=-;
若l2∥l3,则不存在满足条件的实数m.
综上可得,m的值为-1或或4或-.
易错警示
　　若三条直线不能围成三角形,则三条直线中含有平行直线或三条直线交于同一点,考虑问题时要全面,不要漏解.
6.A　联立解得所以两直线的交点坐标为(1,3),又所求直线的斜率为2,所以所求直线方程为y-3=2(x-1),整理得y=2x+1.故选A.
7.解析　(1)由得
∴两直线的交点为P(0,2),
∵,∴过点P且与l3平行的直线方程为y-2=(x-0),即3x-4y+8=0.
(2)由(1)知P(0,2),,
∴过点P且与l3垂直的直线方程为y-2=-(x-0),即4x+3y-6=0.
(3)解法一:由(1)知P(0,2),∴过点P(0,2)和点(2,-1)的直线方程为,即3x+2y-4=0.
解法二:易知点(2,-1)不在直线l2上.设所求直线的方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0(λ∈R),由点(2,-1)在所求直线上,得(2+2+4)+λ(2-1-2)=0,解得λ=8,故所求直线方程为9x+6y-12=0,即3x+2y-4=0.
能力提升练
1.D　易知k≠-.联立解得
∵交点在直线x-y=0的上方,
∴,∴k∈∪.故选D.
2.A　设P1(a,b),则a-3b+10=0①,
∵P(1,2),,
∴(1-a,2-b)=3(-2),
∴,
代入l2得2×-8=0②,
联立①②,解得a=-,
∴kl=,∴直线l的方程为y-2=(x-1),即2x-41y+80=0.故选A.
3.C　直线l的方程变形得(x+y-1)m+(3x-2y-2)=0.
由得
∴直线l恒过点C,
kAC=,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,满足条件,此时m=2;当直线l的斜率存在时,
由图可知直线l的斜率k的取值范围为k≤-或k≥,
又k=-,
∴-≤-或-≥,
即2∴m的取值范围为.故选C.
4.ABD　当两直线与x轴相交于同一个点,即m=0时,不能构成三角形;
方程(m+2)x-y+m=0变形得m(x+1)+(2x-y)=0,由解得
即直线(m+2)x-y+m=0经过定点(-1,-2),
当直线(m+2)x-y+m=0的斜率k=m+2=0,即m=-2时,直线y=-2,x+y=0与x轴不能构成三角形;
当直线(m+2)x-y+m=0与直线x+y=0平行,即m=-3时,直线x+y+3=0,x+y=0与x轴不能构成三角形.
综上,两直线(m+2)x-y+m=0,x+y=0与x轴相交且不能构成三角形的m的值可能为0,-2,-3.故选ABD.
5.答案　(-2,2)
解析　根据题意将直线l的方程化为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0.
由得所以直线l过定点(-2,2).
6.答案　
解析　因为y=cx+2+2的图象过定点P(-2,3),所以直线ax-by+2=0也过定点P(-2,3),于是-2a-3b+2=0,即2a+3b=2.
因为≥5+2,所以≥,
当且仅当a=时,等号成立.
故的最小值为.
7.答案　(-1,0);(5,-6)
解析　由方程组得点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率kAB==1.
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,∴直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为y=-(x+1).
∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∴kBC=-2.
又点B的坐标为(1,2),
∴BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.
由得C(5,-6).
8.答案　
解析　两直线l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a2(y-2),都过点(2,2),如图.
设两直线l1,l2的交点为C,且它们的斜率分别为k1和k2,则C(2,2),
∵0k2=-∈.
∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2-a),直线l2与x轴的交点B的坐标为(2+a2,0),连接OC,
∴S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=,
∴当a=时,四边形OACB的面积最小,最小值为.
9.解析　(1)当直线l与直线l0:y=2x平行时,两直线无交点,此时kBP==2,解得a=,所以a≠,又因为点B(a,0)在x轴正半轴上,且直线l与定直线l0在第一象限内交于点A,所以a>.
(2)当直线l的斜率不存在时,B(2,0),A(2,4),此时S=×2×4=4.
当直线l的斜率存在时,由(1)知a>且a≠2,
因为直线l过P,B,所以kl=kBP=,所以直线l的方程为y-3=(x-2),
由得
即A,
所以S==3·=3·,
令t=,则0因为-t2+2t=-(t-1)2+1≤1在0综上,S的最小值为3,此时直线l的方程为y-3=3(x-2),即y=3x-3.
10