苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章直线与方程综合拔高练（Word含答案）

第一章直线与方程综合拔高练
考点　直线方程及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020全国Ⅲ,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
2.(2018北京,7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.(2021上海,5)直线x=-2与直线x-y+1=0的夹角为　　　　.
4.(2019江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.
应用实践
1.(2022陕西西安高新一中月考)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,则△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为(　　)
A.2x+y-8=0　　　　B.2x+3y-12=0
C.x+2y-7=0　　　　D.3x+2y-13=0
2.(2021北京人大附中期中)下面三条直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是(　　)
A.
C.
3.(2020江苏昆山震川高级中学月考)直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程是　(　　)
A.3x+2y+6=0　　　　B.2x-3y+6=0
C.3x+2y-6=0　　　　D.3x-2y-6=0
4.(2021山东泰安期中)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为(　　)
A.-1　　　　B.3　　　　C.7　　　　D.8
5.(多选)(2022山东济宁邹城二中月考)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是(　　)
A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点(0,1)和(-1,0)
C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.O为坐标原点,若l1与l2交于点M,则MO的最大值是
6.(2021上海金山中学期中)设直线l的方程是ax+3y-2=0,其倾斜角为α,若α∈∪,则a的取值范围为　　　　　　　.
7.(2021上海黄浦向明中学期中)已知三条直线的方程分别为y=0,=0,那么到三条直线的距离相等的点的坐标为　　　　　　　　　　.
8.(2022江苏常州二中测试)已知直线l过第一象限的点(m,n)和(1,5),直线l的倾斜角为135°,则的最小值为　　　　.
9.(2020江苏南通通州高级中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知射线OA:x-y=0(x≥0),OB:2x+y=0(x≥0).过点P(1,0)作直线分别交射线OA,OB于点A,B.
(1)当AB的中点在直线x-2y=0上时,求直线AB的方程;
(2)当△AOB的面积取最小值时,求直线AB的方程;
(3)当PA·PB取最小值时,求直线AB的方程.
迁移创新
10.(2020江苏常州横林高级中学期中)如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为(6,8),直线CD交AB于点D(6,3),交x轴于点C(12,0).
(1)求直线CD的方程;
(2)动点P在x轴上从点(-10,0)出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t(单位:秒).
①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.
答案全解全析
1.B　解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离d=,注意到k2+1≥2k,于是2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号,即|k+1|≤·,所以d=≤,故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为.故选B.
解法二:由题意知,直线l:y=k(x+1)是过点(-1,0)且斜率存在的直线,记点(-1,0)为P,点(0,-1)为Q.点Q(0,-1)到直线l的最大距离在直线l与直线PQ垂直时取得,此时k=1,最大距离为PQ=,故选B.
2.C　解法一:由点到直线的距离公式得d=.
cos θ-msin θ=,
令sin α=,
cos α=,
则cos θ-msin θ=sin(α-θ),
∴d≤,
∴当m=0时,dmax=3,
故选C.
解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,
∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆.
x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,
如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.故选C.
3.答案　
解析　∵直线x=-2的斜率不存在,倾斜角为,
直线x-y+1=0的斜率为,倾斜角为,
∴直线x=-2与直线x-y+1=0的夹角为.
4.答案　4
解析　解法一:设P,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=≥4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”.
故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(C≠0)(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+(x>0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4.因为x>0,所以y>0,所以C<0,所以C=-4,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是=4.
1.B　设直线l的方程为=1(a>0,b>0),把点P的坐标代入,得=1,∵≥2,当且仅当时,等号成立,∴2≤1,解得ab≥24,从而S△ABO=ab≥12,当且仅当a=6,b=4时,等号成立,所以所求直线方程为=1,即2x+3y-12=0.
2.C　由解得即直线l1与l2的交点为M(1,1).
因为直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,
所以l3过点M,或l3与l1或l2平行.
若l3过点M,则2-3m=4,解得m=-;
若l3∥l1,则=-3,解得m=-;
若l3∥l2,则=1,解得m=.
综上,m的取值范围为.故选C.
3.A　直线2x+3y+6=0与坐标轴的交点分别为(0,-2),(-3,0),依次记为A,B.
设点A(0,-2)关于直线x-y=0的对称点为A1(x1,y1),
则解得即A1(-2,0).
同理求得点B(-3,0)关于直线x-y=0的对称点为B1(0,-3).
所以,所以直线A1B1的方程为y=-(x+2),即3x+2y+6=0,所以直线2x+3y+6=0关于直线y=x对称的直线方程为3x+2y+6=0.故选A.
4.C　如图,点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1).
设z=2x-y,则y=2x-z,易知-z为y轴上的截距,则当-z最小时,z最大.由图知,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.
5.ABD　对于A,a×1+(-1)×a=0恒成立,故l1与l2互相垂直,故A正确;对于B,直线l1:ax-y+1=0,当a变化,x=0时,y=1,所以l1过定点(0,1),l2:x+ay+1=0,当a变化,y=0时,x=-1,所以l2过定点(-1,0),故B正确;对于C,在l1上任取一点(x,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,此式不对任意的a都成立,故C不正确;对于D,由解得即M,所以MO=≤,所以MO的最大值是,故D正确.
6.答案　a<-或a>3
解析　由ax+3y-2=0得y=-,
所以tan α=-.
因为α∈∪,
所以tan α>或tan α<-1,
所以-或-<-1,
所以a<-或a>3.
7.答案　(0,-)
解析　如图所示,三条直线两两相交,交点为A(0,),B(1,0),C(-1,0),
∠CAB的平分线AO:x=0(y≤)和∠ACB的平分线CD:y=(x+1)(x≥-1)的交点到三条直线的距离相等,联立得交点为;
∠ACB的外角平分线CE:y=-(x+1)(x≥-1)和∠ABC的外角平分线BF:y=(x-1)(x≤1)的交点到三条直线的距离相等,联立得交点为(0,-);
∠ACB的外角平分线CG:y=-(x+1)(x≤-1)和∠CAB的外角平分线AG:y=(x≤0)的交点到三条直线的距离相等,联立得交点为(-2,);
∠ABC的外角平分线BH:y=(x-1)(x≥1)和∠CAB的外角平分线AH:y=(x≥0)的交点到三条直线的距离相等,联立得交点为(2,).
故答案为(0,-).
8.答案　
解析　由题意得m>0,n>0,=tan 135°=-1,∴m+n=6(m>0,n>0),∴≥,当且仅当即时,等号成立.
9.解析　(1)设A(x1,x1),B(x2,-2x2),则AB的中点坐标为,
因为AB的中点在直线x-2y=0上,
所以=0,即x1=5x2,
所以直线AB的斜率k=,
所以直线AB的方程为y=(x-1),即7x-4y-7=0.
(2)设直线AB的方程为x=my+1,
易知m≠1,且m≠-.
联立解得x=y=,
所以A(m<1).
联立解得x=,
所以B.
所以S△AOB=S△AOP+S△BOP=.
因为2-2m>0,2m+1>0,
所以
=
=
≥,
当且仅当m=时,等号成立,
所以S△AOB的最小值为,此时m=,直线AB的方程为x=y+1,即4x-y-4=0.
(3)由(2)知,m∈,
PA=,
PB=,
所以PA·PB=,
令m+3=t,则t∈≤,当且仅当t=,即m=-3时,取得最大值,PA·PB取得最小值,此时直线AB的方程为x=(-3)y+1,即x-(-3)y-1=0.
10.解析　(1)由题知直线CD过点C(12,0),D(6,3),∴直线方程为,即x+2y-12=0.
(2)①如图1,作DP∥OB,则∠PDA=∠B,
由DP∥OB,得,即,∴PA=,
∴OP=6-,∴点P.
根据对称性知,当AP=AP'时,∠P'DA=∠B,P',
∴满足条件的点P的坐标为或.
②如图2,当OP=OB=10时,作PQ∥OB交直线CD于Q,
易知直线OB的方程为y=x,
直线PQ的方程为y=,
由解得
∴Q(-4,8),
∴PQ==10,
∴PQ=OB,∴四边形OPQB是平行四边形,
又OP=OB,∴平行四边形OPQB是菱形.
此时点M与点P重合,且t=0.
如图3,当OQ=OB时,设Q,则有m2+=102,解得m=,
∴点Q的横坐标为或.
设M的横坐标为a,
则或,
解得a=或a=.
又点P是从点(-10,0)开始运动,
∴满足条件的t的值为或.
如图4,当Q点与C点重合时,M点的横坐标为6,此时t=16.
综上,满足条件的t值为0,16,.
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