专题强化练1 直线方程的综合应用
一、选择题
1.(2021重庆合川实验中学校开学考试)已知点(2,3)在直线ax+by+2=0上,则4a+6b-7的值为( )
A.5 B.-11 C.-5 D.11
2.(2020江苏南京大厂高级中学阶段测试)若函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)对任意的实数x都有f =f ,则直线2ax-by+c=0的斜率是( )
A.-2 B.2
C.
3.(2020江苏连云港赣榆智贤高级中学期中)已知直线(2m+1)x+(1-m)y-3(1+m)=0与x轴、y轴分别交于A,B两点.当△OAB的面积取得最小值时(O为坐标原点),m的值为( )
A.
二、填空题
4.(2020江苏常州第二中学期中)过直线l:y=x+3与x轴的交点,且与直线l的夹角为30°的直线的方程为 .
5.(2020浙江宁波余姚中学期中)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为 ,直线FH的一般式方程为 .
三、解答题
6.如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示.
(1)求直线AB的方程;
(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李
7.(2020江苏淮安洪泽中学期中)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.
8.(2020江苏徐州建平中学期中)直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点.
(1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积;
(2)若△AOB的面积S满足12≤S≤,求直线l的斜率k的取值范围;
(3)如图,若,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E、F分别在线段MP、OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.
9.(2020江苏南京江宁高级中学月考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,∠AOB=.
(1)若AB过点M(3,),当△OAB的面积取得最小值时,求直线AB的斜率;
(2)若AB=4,求△OAB的面积的最大值;
(3)设OA=a,OB=b,若=4,求证:直线AB必过一定点,并求出该定点坐标.
答案全解全析
一、选择题
1.B 将(2,3)代入ax+by+2=0,得2a+3b+2=0,∴2a+3b=-2,∴4a+6b-7=2(2a+3b)-7=-11.
2.A ∵函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)满足f =f ,∴x=为函数f(x)的图象的对称轴方程,∴f(0)=f ,即-b=a,∴-=1,∴直线2ax-by+c=0的斜率为=-2.故选A.
3.C 由直线(2m+1)x+(1-m)y-3(1+m)=0,m∈,得A,
由-0且>0,
所以△OAB的面积S=,
令1+m=t,则t∈,
所以S=,
所以当t=,即m=-时,S取得最小值.故选C.
二、填空题
4.答案 x-=0或x+=0
解析 由直线l:y=x+3,得直线l的斜率k=,所以直线l的倾斜角为60°,
令y=0,得x=-,
则直线l与x轴的交点坐标为(-,0).
因为所求直线与直线l的夹角为30°,
所以所求直线的倾斜角为30°或90°,
所以所求直线的斜率为或不存在,
故所求直线方程为y=)或x=-,
即x-=0或x+=0.
5.答案 (2,3);x+4y-14=0
解析 如图,分别过H、F作y轴的垂线,垂足为M、N,
∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AHM≌Rt△CAO,
∴AM=OC,MH=OA,∵A(0,2),C(1,0),
∴MH=OA=2,AM=OC=1,∴OM=OA+AM=3,
∴点H的坐标为(2,3),
同理得到点F的坐标为(-2,4),
∴直线FH的斜率k=,
∴直线FH的方程为y-3=-(x-2),
即x+4y-14=0.
三、解答题
6.信息提取 ①行李票费用y(元)与行李质量x(千克)呈线性关系;②由题图中标出的坐标知A(60,6),B(80,10);③A,B两点在直线上.
数学建模 以行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系为背景构建直线方程.
解析 (1)由题图知点A(60,6),B(80,10).
由直线的两点式方程得,
整理得x-5y-30=0.
(2)依题意,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免费携带30千克的行李.
7.解析 (1)证明:直线l的方程可化为y-1=k(x+2),
根据直线的点斜式方程,可知无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).
(2)直线l的方程可化为y=kx+1+2k.
当k≠0时,要使直线l不经过第四象限,
则有解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意.
综上,k的取值范围是k≥0.
(3)依题意得A,B(0,1+2k),且解得k>0.
所以S=OA·OB=··|1+2k|=·≥×(2×2+4)=4,
当且仅当4k=,即k=时,等号成立,所以Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
8.解析 (1)因为直线l的斜率为-2,
所以直线l的方程为y-2=-2(x-3),
整理得y=-2x+8,
所以直线l与x轴、y轴的正半轴的交点分别为A(4,0)、B(0,8),
故△AOB的面积S=×4×8=16.
(2)根据题意,直线l的斜率k存在且k≠0,所以直线l的方程为y-2=k(x-3)(k≠0),整理得y=kx+2-3k,所以直线l与x轴、y轴的正半轴的交点分别为A,B(0,2-3k),
所以解得k<0,
所以△AOB的面积S=··(2-3k)=+6,
因为△AOB的面积S满足12≤S≤,
所以6≤-≤,
整理得24k≥-18k2-8≥51k,
解得-≤k≤-,
故直线l的斜率k的取值范围为.
(3)由(2)知A,B(0,2-3k),
又P(3,2),所以=(-3,-3k),
因为,
所以2=-6k,解得k=-,
所以A(9,0),B(0,3),M(0,2),
设E(a,2)(a∈[0,3]),F(b,0)(b∈[0,9]),
所以直线EF的一般式方程为2x-(a-b)y-2b=0,
易得S梯形OAPM=×(3+9)×2=12,
又直线EF平分直角梯形OAPM的面积,
所以S梯形FOME=S梯形OAPM=×(a+b)×2=6,
所以a+b=6,即b=6-a,
所以直线EF的一般式方程为2x-(2a-6)y-2(6-a)=0,
整理得(x+3y-6)-a(y-1)=0,
所以直线EF过直线x+3y-6=0与直线y-1=0的交点,易得交点坐标为(3,1),
所以直线EF必过一定点,该定点坐标为(3,1).
9.解析 (1)因为O为坐标原点且∠AOB=,
所以OB所在直线的方程为y=x,
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=3,则点B的坐标为(3,3),
此时△OAB的面积为,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y-=k(x-3),由题意可得k≠0,且k≠,
令y=0,解得x=-+3,则A,
由
解得则B,
由-+3>0,得k<0或k>,由>0,得k<或k>,所以k<0或k>.
所以S△OAB=·····.
令t=k-1,则t∈(-∞,-1)∪(2,+∞),
则S△OAB=····.
因为∈(-1,0)∪,
所以当,即t=-4,即k=-时,△OAB的面积最小,
所以当△OAB的面积取得最小值时,直线AB的斜率为-.
(2)设∠OAB=θ,则∠OBA=-θ.
在△OAB中,由正弦定理得,
所以OA=sin θ,
因此S△OAB=OA·OB·sin
=sin θ·sin
=sin θ·
=
=
=.
当2θ-,即θ=时,△OAB的面积最大,最大值为4.
(3)因为OA=a,OB=b,∠AOB=,
所以A(a,0),B,
所以当直线AB的斜率不存在,即a=时,直线AB的方程为x=a,①
当直线AB的斜率存在,即a≠时,直线AB的方程为y=(x-a),
整理得ay+ab=0,a≠,②
又①满足②,所以②式对a>0,b>0都成立,
在②式两边同时除以ab,得·y+·=0,③
又因为=4,所以,代入③,并整理得·=0,
对于任意a>0都成立,
所以解得
所以直线AB必过一定点,该定点坐标为.
9专题强化练2 两条直线的位置关系与距离公式
一、选择题
1.(多选)(2020江苏苏大附中期中)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,则下列说法正确的是( )
A.l2始终过定点
B.若l1∥l2,则a的值为1或-3
C.若l1⊥l2,则a的值为0或2
D.当a>0时,l1始终不过第三象限
2.(2020山东烟台一中月考)已知A(-2,1),B(1,2),点C为直线x-3y=0上的动点,则AC+BC的最小值为( )
A.2
C.2
3.(多选)已知点P是直线3x-4y+5=0上的动点,定点Q(1,1),则下列说法正确的是( )
A.线段PQ的长度的最小值为
B.当线段PQ最短时,直线PQ的方程是3x+4y-7=0
C.当线段PQ最短时,点P的坐标为
D.线段PQ的长度可能是
4.(2020浙江杭州期末)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为( )
A.
C.
5.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos α,sin α)到直线mx+y-2=0的距离,当α,m变化时,d的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(2020江苏无锡期中)如图,已知A(-4,0),B(4,0),C(0,4),E(-2,0),F(2,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2) B.(4,+∞)
C.(2,+∞) D.(1,+∞)
二、填空题
7.(2020江苏如皋第一中学期中)设m∈R,过定点A的直线x+1+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA+PB的最大值是 .
8.(2020山东青岛平度一中期中)在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=-x+4的距离之和为3,则a2+b2的最小值为 .
9.(2020江苏无锡锡山高级中学月考)如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,C(2,2),D(-1,2).从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上,再经CD反射到AD上点Q处.
(1)若直线OP的斜率为,则点Q的纵坐标为 ;
(2)若点Q恰为线段AD的中点,则直线OP的斜率为 .
三、解答题
10.(2020江苏泰州中学期中)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶ 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
11.(2020江苏启东中学期中)如图,公路AM、AN围成的是一块顶角为α的耕地区域,其中tan α=-1,在该块土地中的P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为1 km, km,现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.
(1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系,并求出点P的坐标;
(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4 km2,求公路BC所在直线的方程.
12.(2020山东青岛莱西一中期中)如图,设直线l1:x=0,l2:3x-4y=0.点A的坐标为(1,a),过点A的直线l的斜率为k,且与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数).
(1)求实数k的取值范围;
(2)设a=1,求△MON面积的最小值;
(3)是否存在实数a,使得的值与k无关 若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.ACD l2:a(x-2y)+3y-1=0过定点,故A正确;
当a=1时,l1,l2重合,故B错误;
由1×a-a×(2a-3)=0,得a=0或a=2,故C正确;
当a>0时,l1:y=-x+1过定点(0,1),斜率为负,始终不过第三象限,故D正确.
故选ACD.
2.C 设点A(-2,1)关于直线x-3y=0的对称点为D(a,b),
则解得
故点D的坐标为(-1,-2),
∴AC+BC=DC+BC,
当B,D,C三点共线时,DC+BC取得最小值,即AC+BC取得最小值,最小值为DB=.
故选C.
3.AC 当PQ所在直线垂直于直线3x-4y+5=0时,线段PQ最短,
点Q到已知直线的距离为,故A正确;
设P,则kPQ=,解得m=,
故线段PQ最短时点P的坐标为,直线PQ的方程是,即4x+3y-7=0,故B错误,C正确;
线段PQ的长度的取值范围为,故D错误.
4.A 设A(x1,y1),=k,则 y0=kx0,
∵AB的中点为P(x0,y0),
∴B(2x0-x1,2y0-y1).
∵A,B分别在直线x+2y-1=0,x+2y+3=0上,
∴x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,
∴2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.
∵y0=kx0,∴x0+2kx0+1=0,即 x0=-,
又y0>x0+2,∴kx0>x0+2,即 (k-1)x0>2,
∴(k-1)>2,即 <0,
解得-.故选A.
5.C 由题意,得d=≤,其中φ满足tan φ=m,
易知当且仅当sin(α+φ)=-1,m=0时等号成立,此时d取得最大值,且dmax=3.
6.B 设F关于直线BC对称的点为H,H关于直线AC对称的点为G,连接GA,GE,GE与直线AC交于N,连接HA,HN,分别与直线BC交于I,J,如图所示.
由题意知,点D在线段IJ两端点之间即可,
易知直线BC的方程为x+y=4,设H(x,y),则
解得所以H(4,2),
同理可得H关于直线AC对称的点为G(-2,8),所以直线GE的方程为x=-2.
又直线AC的方程为x-y+4=0,
所以N(-2,2),
易得直线HN的方程为y=2,所以J(2,2).
直线HA的方程为y=·(x+4)=(x+4),
即x-4y+4=0,由得
所以I,所以kFD>kFI==4.故选B.
二、填空题
7.答案 2
解析 由题意得直线x+1+my=0过定点A(-1,0),
直线mx-y-m+3=0可化为(x-1)m+3-y=0,过定点B(1,3).
又1×m+m×(-1)=0,∴两直线垂直,交点为P,
∴PA2+PB2=AB2=13,
设∠ABP=θ,则PA=sin θ,PB=cos θ.
∵PA≥0且PB≥0,∴θ∈,
∴sin θ+cos θ
=2
=2,
∵θ∈,∴θ+∈,
当θ+,即θ=时,2取得最大值,最大值为2.
8.答案 1
解析 因为动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=-x+4的距离之和为3,
所以,
即|a-b|+|a+b-4|=6,
分为以下4种情况:或或或
可知点(a,b)在如图所示的正方形的4条边上,而表示原点到点(a,b)的距离,
结合图形知,当取点A(-1,0)或B(0,-1)时,取得最小值1,
故a2+b2的最小值为1.
9.答案 (1)
解析 (1)根据直线OP的斜率为,可得P(2,1),则P在BC的中点上,则反射光线必经过DC与y轴的交点(0,2).设点Q的坐标为(-1,t),则,解得t=,即点Q的纵坐标为.
(2)设P(2,n),反射光线与DC的交点为E(m,2),由反射角与入射角相等,可得.①
又直线OP的斜率等于直线QE的斜率,所以.②
由①②解得则直线OP的斜率为.
三、解答题
10.解析 (1)l2的方程可化为2x-y-=0,
∴l1和l2的距离d=,
∴.∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且,解得c=或c=,
∴l':2x-y+=0或2x-y+=0.
若点P满足条件③,则·,
∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P在第一象限,∴x0-2y0+4=0.
联立解得不符合题意,舍去.
联立解得
∴P即为同时满足三个条件的点.
11.解析 (1)以A为坐标原点, AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可设点P(a,1)(a>0),且直线AN的斜率为kAN=tan α=-1,且经过点A(0,0),
故直线AN的方程为x+y=0,
因为点P到AN的距离为,所以,解得a=1或a=-3(舍去),所以点P的坐标为(1,1).
(2)由题意可知直线BC的斜率一定存在,设其直线方程为y-1=k(x-1)(k≠-1),
与直线AN的方程x+y=0联立后解得xC=,
易得点B的坐标为,
所以S△ABC=··=4,所以k=-,
所以公路BC所在直线的方程为y-1=-(x-1),即x+3y-4=0.
12.解析 (1)直线l的方程为y-a=k(x-1),
令x=0,得y=a-k.
由得
∵y=a-k>0,y=>0,
∴k<,即实数k的取值范围为.
(2)由(1)得M(0,1-k),N,
设直线l2的倾斜角为θ,则tan θ=,cos θ=,
∴sin∠MON=sin=cos θ=,
∴S△MON=,
令t=3-4k(t>0),则k=,
∴S△MON=
≥,
当且仅当t=,即t=1,即k=时,等号成立,
∴S△MON的最小值是.
(3)假设存在满足题意的a,由(1)知OM=a-k,ON=,
∴,若此式与k无关,则a=2.
∴存在a=2,使得的值与k无关.
10
