苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册 2.1 第1课时　圆的标准方程同步练习（Word含答案）

第2章　圆与方程
　2.1　圆的方程　　　　　　
第1课时　圆的标准方程
基础过关练
题组一　圆的标准方程的理解　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022北京海淀期末)若圆的方程为(x+3)2+(y-2)2=4,则其圆心和半径分别为(　　)
A.(-3,2),2　　　　B.(3,-2),2
C.(-3,2),4　　　　D.(3,-2),4
2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是(　　)
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(-a,-b)
3.(2020江苏苏州第六中学期中)若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y-b)2=1的圆心位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
题组二　求圆的标准方程
4.(2022山东昌邑一中期中)以P(-2,3)为圆心,且P到y轴的距离为半径的圆的方程是(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=4
B.(x+2)2+(y-3)2=4
C.(x-2)2+(y+3)2=9
D.(x+2)2+(y-3)2=9
5.(2020山东淄博中学月考)已知点A(1,1),B(5,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　)
A.(x-2)2+(y-3)2=5
B.(x-2)2+(y-3)2=1
C.(x-3)2+(y-2)2=5
D.(x-3)2+(y-2)2=1
6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是　　　　　　　.
7.(2020江苏淮安盱眙中学月考)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程为　　　　　　　.
题组三　点与圆的位置关系
8.(2020江苏常州金坛第一中学期中)点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是　(　　)
A.点在圆上　　　　B.点在圆内
C.点在圆外　　　　D.不能确定
9.(2020江苏淮安涟水中学月考)若原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,则实数m的取值范围是(　　)
A.-1C.-
题组四　圆的标准方程的应用
10.(2020江苏盐城大丰高级中学月考)P为圆x2+y2=1上任一点,则点P与点M(3,4)的距离的最小值是(　　)
A.1　　　　B.4
C.5　　　　D.6
11.(2022重庆巴蜀中学期中)已知某个圆拱桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面下降1米后,桥在水面的跨度为(　　)
A.2米　　　　B.20米
C.4米　　　　D.12米
能力提升练
题组一　圆的标准方程的求法及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021吉林长春外国语学校月考)已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 (　　)
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
2.(2020江苏邳州运河中学阶段测试)若点A(a+1,3)在圆(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(-∞,5)
C.(0,5)　　　　D.[0,5]
3.(2020江苏栟茶高级中学期中)阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家,“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:若动点P与两定点M,N的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹就是圆.事实上,互换该定理中的部分题设和结论,命题依然成立.已知点M(2,0),点P为圆O:x2+y2=16上的点,若存在x轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P均有PM=λPN,则λ=(　　)
A.1　　　　B.
4.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为(　　)
A.6　　　　B.25　　　　C.26　　　　D.36
5.(多选)(2022山东济南期末)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列结论正确的是(　　)
A.无论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆Ck的面积均为4π
题组二　圆的标准方程的综合应用
6.(2020浙江杭州第二中学期末)已知实数x,y满足y=,则t=的取值范围是　　　　　　　.
7.(2022广东佛山期末)在平面直角坐标系xOy中,已知四点A(0,1),B(3,0),C(1,4),D(0,3).
(1)这四点是否在同一个圆上 如果是,求出这个圆的方程;如果不是,请说明理由;
(2)求一点P,使其到点A,B,C,D的距离之和最小.
8.(2020江苏常州第一中学期中)已知圆C经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心C在直线x+3y-15=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)设点Q(-1,m)(m>0)在圆C上,求△QAB的面积.
答案全解全析
基础过关练
1.A　由圆的标准方程可知,圆心是(-3,2),半径为2.
2.C　由(x-a)2+(y-b)2=0,解得因此它只表示一个点(a,b).故选C.
3.A　因为直线y=ax+b经过第一、二、四象限,所以a<0,b>0.
又圆(x+a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为(-a,b),
所以-a>0,b>0,所以圆心位于第一象限.故选A.
4.B　圆心P(-2,3)到y轴的距离为2,所以圆的半径为2,故圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=22=4.故选B.
5.C　易知圆心坐标为(3,2),直径为,所以半径为,
故圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=5.故选C.
6.答案　x2+(y-2)2=1
解析　解法一(直接法):设圆心为C(0,b),则=1,解得b=2(二重根),
∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
解法二(数形结合法):如图所示,根据点(1,2)到圆心的距离为1可知圆心为(0,2),
∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
7.答案　(x-1)2+(y-1)2=4
解析　解法一:因为圆心在直线x+y-2=0上,
所以可设圆心为C(a,2-a),
因为圆过点A(1,-1),B(-1,1),所以CA=CB,
即,
解得a=1,所以C(1,1).
圆的半径r=CA=CB=2,
所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
解法二:由已知得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,
所以线段AB的垂直平分线的斜率k=1,
所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x.
又圆心在直线x+y-2=0上,
所以解得即圆心为(1,1).
圆的半径r==2,
所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
8.C　因为,所以点在圆外.故选C.
9.A　由原点在圆(x-2m)2+(y-m)2=5的内部,得(0-2m)2+(0-m)2<5,则-110.B　易知点M(3,4)在圆x2+y2=1外,且圆心与M(3,4)的距离为=5,又P为圆x2+y2=1上任一点,所以点P与点M(3,4)的距离的最小值等于圆心与点M的距离减去半径,因此最小值为5-1=4.故选B.
11.C　以圆拱桥的顶点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则圆拱所在圆的圆心位于y轴负半轴上,设该圆的圆心为(0,-a),a>0,则该圆的标准方程为x2+(y+a)2=a2.记下降前的水面与圆的两交点分别为A,B,下降1米后的水面与圆的两交点分别为C,D,
由题意可得,A(-10,-4),则(-10)2+(-4+a)2=a2,解得a=,
所以圆的标准方程为x2+.
易知C点的纵坐标为-5,
所以x2+,解得x2=120,
故当水面下降1米后,桥在水面的跨度为CD=2|x|=2米.
能力提升练
1.C　依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合,
易得线段AB的中点坐标为(2,0),AB=10,故直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0),故选C.
2.C　由题意,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,即m<5,又易知m>0,所以03.B　如图所示,由于圆上的任意一点P均有PM=λ·PN,所以AM=λAN,BM=λBN.
易得A(-4,0),B(4,0),M(2,0),N(t,0),
则λ=,即,解得t=8,所以λ=.
故选B.
4.D　(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.记Q(5,-4),因为点P在圆C:(x-2)2+y2=1上,所以所求最大值为(QC+1)2=36.
5.ABD　圆心为(k,k),始终在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴方程2k2-6k+5=0无实数根,∴B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,∴方程k2-4k+2=0有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.
6.答案　∪
解析　方程y=表示的曲线为圆x2+y2=9位于x轴及其上方的部分,t可以看作动点(x,y)与定点(-1,-3)连线的斜率.
如图,A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),
则直线AB的斜率kAB=,直线AC的斜率kAC=-,
所以t≤-或t≥,
故t=的取值范围是∪.
7.解析　(1)设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则解得
因此,经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
由于(0-2)2+(3-2)2=5,故点D也在这个圆上.
因此,四点A(0,1),B(3,0),C(1,4),D(0,3)都在圆(x-2)2+(y-2)2=5上.
(2)因为PA+PC≥AC,当且仅当点P在线段AC上时取等号,
同理,PB+PD≥BD,当且仅当点P在线段BD上时取等号,
所以当点P是线段AC和BD的交点时,它到A,B,C,D的距离之和最小.
易得直线AC的方程为y=3x+1,直线BD的方程为y=-x+3,
由解得故点P的坐标为.
8.解析　(1)依题意知圆心C为线段AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点.
易知线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,
则线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由得即圆心C(-3,6),
∴半径r=CA=.
故圆C的标准方程为(x+3)2+(y-6)2=40.
(2)∵点Q(-1,m)(m>0)在圆C上,
∴(-1+3)2+(m-6)2=40,解得m=12或m=0(舍去),∴Q(-1,12),
AQ==12,直线AQ的方程为x=-1,
∴点B到直线AQ的距离为4,
∴△QAB的面积S=×12×4=24.
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