苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册2.1 第2课时　圆的一般方程同步练习（Word含答案）

第2课时　圆的一般方程
基础过关练
题组一　圆的一般方程　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏连云港海州高级中学月考)方程x2+y2+Ex-y+4=0表示一个圆的充要条件为(　　)
A.E>15　　　　B.E≥15 C.E2>15　　　　D.E2≥15
2.(2021河北保定期末)若直线x+y-a=0过圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的圆心,则a=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
3.圆2x2+2y2+6x-4y-3=0的圆心坐标和半径分别为　　　　.
4.(2022浙江湖州期末)已知命题p:实数m满足(m-3a)(m-4a)<0(a>0),命题q:方程x2+y2+mx+y+m2=0表示圆.
(1)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
题组二　求圆的一般方程
5.(2020江苏丹阳高级中学期中)经过点A(1,)和B(2,-2),且圆心在x轴上的圆的一般方程为(　　)
A.x2+y2-6y=0　　　　B.x2+y2+6y=0 C.x2+y2+6x=0　　D.x2+y2-6x=0
6.(2020江苏南通海门中学月考)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程是　　　　　　　.
7.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为　　　　　　　.
题组三　求动点的轨迹问题
8.(2020江苏太湖高级中学期中)已知M是圆C:x2+y2=1上的动点,点N(2,0),则线段MN的中点P的轨迹方程是(　　)
A.(x-1)2+y2=
C.(x+1)2+y2=
9.(2020山东淄博中学期中)若动点P到两点A(1,0),B(2,0)的距离之比为,则点P的轨迹方程为　　　　　　　.
10.(2020江苏江浦高级中学期中)过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA.
(1)求弦OA的中点M的轨迹方程;
(2)延长OA到N,使AN=OA,求点N的轨迹方程.
能力提升练
题组一　求圆的方程　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏南京天印高级中学期中)已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为(　　)
A.x2+y2-6y-16=0
B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0
D.x2+y2-2x+2y-56=0
2.(2021山东聊城期末)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　)
A.　　　　B.6
C.+1
3.(2020上海华师大二附中期中)已知三角形三边所在的直线分别为x+y=-1,2x-y=1,2x+y=3,则该三角形的外接圆的方程为　　　　　　　　.
4.(2020江苏赣榆高级中学期中)已知圆C1的方程为x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求当圆的面积最大时,圆C1的一般方程;
(3)求当圆的面积最大时,圆C1关于直线l:x-y+1=0对称的圆C2的方程.
5.(2021 北京昌平第一中学期中)在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;
②三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知x,y满足方程x2+y4=4,记其构成的平面图形为W,平面图形W为中心对称图形,A(0,t),B(2,0),C(0,),D(-2,0)为平面图形W上不同的四点.
(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;
(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;
(3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程.
题组二　圆的方程的应用
6.(2020江苏宿迁泗阳中学期中)若直线2x-y+a=0始终平分圆x2+y2-4x+4y=0的周长,则a的值为(　　)
A.4　　　　B.6　　　　
C.-6　　　　D.-2
7.(2020山东烟台一中期中)已知方程x2+y2+2mx-2my-2=0表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A,若点A在直线l:mx+ny+1=0上,则2m+2n=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
8.(2020四川成都七中期中)已知点A(3,0),B(0,4),点P在圆x2+y2=1上运动,则PA2+PB2的最小值为　　　　.
9.(2020江苏南京田家炳高级中学月考)如图,某海面上有O、A、B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船M在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险
题组三　动点的轨迹问题
10.(2020河北石家庄二中月考)方程|y|-1=所表示的曲线的长度是(　　)
A.6π　　　　B.2π
C.2　　　　D.6π+12
11.(多选)(2020江苏连云港白塔高级中学期中)“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足.设点P的轨迹为曲线C,则下列结论正确的是(　　)
A.曲线C的方程为(x+4)2+y2=16
B.当A,B,P三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线
C.△PAB的面积最大为12
D.在曲线C上存在点M,使得MO=2MA
12.(2020江苏泰州中学期中)已知线段AB的端点B的坐标是(3,4),端点A在圆(x+2)2+(y-1)2=2上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　　.
13.已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.
答案全解全析
基础过关练
1.C　该方程表示圆的充要条件是E2+(-1)2-4×4>0,即E2>15.故选C.
2.D　圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的圆心坐标为(1,2),将(1,2)代入x+y-a=0,得1+2-a=0,解得a=3.故选D.
3.答案　
解析　圆的方程可化为x2+y2+3x-2y-=0,易得其圆心坐标为,半径为.
4.解析　(1)若命题q为真命题,则m2+3-4m2>0,解得-1(2)由(m-3a)(m-4a)<0(a>0),得3a0,由(1)知,q:m∈(-1,1).
因为p是q的充分不必要条件,
所以(3a,4a) (-1,1),
所以且等号不同时成立,解得05.D　设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为圆心在x轴上,所以-=0,即E=0.
又圆经过点A(1,)和B(2,-2),
所以
即解得
故所求圆的一般方程为x2+y2-6x=0.故选D.
6.答案　x2+y2-7x-3y+2=0
解析　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)在所求的圆上,所以解得
故所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0.
7.答案　x2+y2+2x-4y+3=0
解析　易知圆心C的坐标为.
因为圆心在直线x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2.①
因为,所以D2+E2=20.②
由①②可得或
又圆心在第二象限,所以->0,
即D>0,E<0.
所以
所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
8.A　设线段MN的中点P(x,y),则M(2x-2,2y).
∵M是圆C:x2+y2=1上的动点,
∴(2x-2)2+(2y)2=1,即(x-1)2+y2=.故选A.
9.答案　x2+y2=2
解析　设点P(x,y),
则PA=,
所以,
化简得x2+y2=2.
故点P的轨迹方程为x2+y2=2.
10.解析　(1)设点M的坐标为(x,y),则点A的坐标为(2x,2y),
因为点A在圆上,所以(2x)2+(2y)2-16x=0,
整理得x2+y2-4x=0.
所以点M的轨迹方程为x2+y2-4x=0.
(2)设点N的坐标为(x,y),则点A的坐标为,
因为点A在圆上,
所以-4x=0,
整理得x2+y2-16x=0.
所以点N的轨迹方程为x2+y2-16x=0.
能力提升练
1.C　易得线段AB的中点坐标为(2,4),直线AB的斜率为=1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-4=-(x-2),即y=6-x.
由得所以圆心坐标为(3,3).
又圆的半径r=,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,即x2+y2-6x-6y+8=0.故选C.
2.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
因此圆心为C(-1,m),半径r=,
易知当且仅当m=-2时,半径最小,此时面积也最小,且圆心为C(-1,-2),半径r=1,
因此圆心到坐标原点的距离d=,因为d=>r=1,
所以原点在圆C外,根据圆的性质,可知圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1.
3.答案　x2+y2-7x+3y+2=0
解析　由解得
由解得
由解得
根据题意,可得所求圆过点(0,-1),(4,-5),(1,1),
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
即所求圆的方程为x2+y2-7x+3y+2=0.
4.解析　(1)由题意得,D2+E2-4F=16+4m2-4(2m2-2m+1)>0,即m2-2m-3<0,∴-1故实数m的取值范围是(-1,3).
(2)圆的面积最大,即圆的半径最大.
∵圆的半径r=
=,
又由(1)知,m∈(-1,3),
∴当m=1时,圆的半径最大,为2.
此时圆C1的方程为x2+y2-4x+2y+1=0.
(3)由(2)可得,当圆的面积最大时,圆C1的圆心坐标为(2,-1),半径为2.
设圆C2的圆心坐标为(a,b),则线段C1C2的中点坐标为,且直线C1C2的斜率k=.
由题意可得,直线l垂直平分线段C1C2,
∴解得
故圆C2的方程为(x+2)2+(y-3)2=4,
即x2+y2+4x-6y+9=0.
5.解析　(1)易知点A的坐标满足方程x2+y4=4,
所以t4=4,解得t=-或t=(舍去),
所以A(0,-).
设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-x-2=0.
易知△ABC是锐角三角形,
所以△ABC的最小覆盖圆的方程是x2+y2-x-2=0.
(2)因为线段BD的最小覆盖圆就是以BD为直径的圆,所以线段BD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=4.
又OA=OC=<2,其中O为坐标原点,
所以点A,C均在圆x2+y2=4内,
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2+y2=4.
(3)设P(a,b)是平面图形W上一点,则OP2=a2+b2=-b4+b2+4=-≤b≤,O为坐标原点),
当b2=,即b=±时,OP取最大值,且OPmax=,
所以平面图形W的最小覆盖圆的方程是x2+y2=.
6.C　圆x2+y2-4x+4y=0的圆心坐标为(2,-2),
∵已知直线始终平分圆的周长,∴其必经过圆心,
∴点(2,-2)在直线2x-y+a=0上,
∴4+2+a=0,∴a=-6,故选C.
7.B　方程x2+y2+2mx-2my-2=0可化为x2+y2-2+2m·(x-y)=0.
∵曲线恒过定点A,
∴解得或
∵点A在第三象限,∴A(-1,-1),
又点A在直线l:mx+ny+1=0上,
∴m+n=1,∴2m+2n=2.故选B.
8.答案　17
解析　设P(x,y),则PA2+PB2=(x-3)2+y2+x2+(y-4)2=2×+25,
求(PA2+PB2)min,即求点P(x,y)与间距离d的平方的最小值,
又,
∴(PA2+PB2)min=2×+25=17.
9.解析　(1)由题图可知A(40,40),B(20,0),
设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)易知M(-20,-20),且船M的航线所在直线(记为l)的斜率为1,故直线l:x-y+20-20=0.
由(1)得圆C的圆心为C(10,30),半径r=10.
由于圆心C到直线l的距离d=,故该船有触礁的危险.
10.B　因为方程|y|-1=,
所以|y|-1≥0,所以y≥1或y≤-1.
将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3,
所以曲线为两个半圆,半径为,
所以曲线的长度为2π×π.故选B.
11.ABC　设P(x,y),因为A(-2,0),B(4,0),点P满足,
所以,
整理得(x+4)2+y2=16,故A正确;
当A,B,P三点不共线时,由,可得射线PO是∠APB的平分线,故B正确;
因为AB=6,而点P在圆(x+4)2+y2=16上,所以点P到AB所在直线的最大距离为4,所以△PAB的面积最大为×6×4=12,故C正确;
若在曲线C上存在点M,使得MO=2MA,设M(x,y),则有,化简可得x2+y2+=0,与(x+4)2+y2=16联立,可得方程组无解,故不存在这样的M,故D错误.
故选ABC.
12.答案　(2x-1)2+(2y-5)2=2
解析　设A(x1,y1),M(x,y),
则即
∵端点A在圆(x+2)2+(y-1)2=2上运动,
∴(x1+2)2+(y1-1)2=2,即(2x-1)2+(2y-5)2=2.
∴线段AB的中点M的轨迹方程是(2x-1)2+(2y-5)2=2.
13.解析　(1)设M(x,y),由题意得MA=MB,
又A(2,0),B(8,0),所以 ,
整理得x2+y2=16,
所以动点M的轨迹方程为x2+y2=16.
(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标为(x1,y1).
由于A(2,0),且N为线段AM的中点,
所以x=,所以x1=2x-2,y1=2y.
因为点M在圆x2+y2=16上,
所以(2x-2)2+(2y)2=16,即(x-1)2+y2=4.
所以点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
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