苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章圆与方程 综合拔高练（Word含答案）

第二章圆与方程 综合拔高练
考点1　点与圆的位置关系　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
考点2　直线与圆的位置关系
2.(多选)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
3.(2020全国Ⅱ,5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)
A.　　　　
C.
4.(2021北京,9)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2,则m的取值为(　　)
A.±2　　　　B.±
　　　　D. ±3
5.(2020全国Ⅰ,6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
7.(2019浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=　　　　,r=　　　　.
8.(2021天津,12)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则AB=　　　　.
考点3　圆的方程的综合应用
9.(2020全国Ⅲ,10)若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为(　　)
A.y=2x+1　　　　B.y=2x+　　　　
C.y=
10.(2020全国Ⅰ,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当PM·AB最小时,直线AB的方程为　(　　)
A.2x-y-1=0　　　　B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0　　　　D.2x+y+1=0
11.(2018课标全国Ⅲ,8)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2,6]　　　　B.[4,8]
C.[]
12.(2018江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为　　　　.
考点4　圆的方程在实际生活中的应用
13.(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
　　　　　　　　　　　
应用实践
1.(2020山东烟台莱州一中期中)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则△OAB的外接圆的方程是(　　)
A.(x-2)2+(y-1)2=5
B.(x-2)2+(y-1)2=20
C.(x+2)2+(y+1)2=5
D.(x+4)2+(y+2)2=20
2.(2020江苏赣榆高级中学月考)已知圆O:x2+y2=4上恰有三个点到直线l:y=x+b的距离等于1,则实数b的值为(　　)
A.或-　　　　B.2或- C.-或-2　　　　D.-2或2
3.(2020江苏泰州姜堰中学期中)设点M(3,4)在圆O:x2+y2=r2(r>0)外,若圆O上存在点N,使得∠OMN=,则r的取值范围是(　　)
A.
C.
4.(2020江苏泰州靖江高级中学期中)平面上的两个向量和|=cos α,||=sin α,α∈·=0,若向量(λ,μ∈R),且(2λ-1)2cos2α+(2μ-1)2sin2α=,则||的最大值为(　　)
A.
5.(多选)(2020山东潍坊期中)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y+m=0,则下列结论正确的是　(　　)
A.当m=2时,直线l与圆C相交
B.Q(x1,y1)为圆C上的点,则(x1-1)2+(y1-2)2的最大值为9
C.若圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1,则m的取值范围是()
D.若直线l上存在一点P,圆C上存在两点A、B,使∠APB=90°,则m的取值范围是[-4,4]
6.(2020江苏常州高级中学期中)2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆组成“卡通鼠”的形象,如图所示,其中Q(0,-3)是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O;点L、S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O,若直线l被圆L、圆S、圆Q所截得的弦长均等于d,则d=　　　　.
7.(2022湖北黄石有色第一中学期末)已知圆H经过点A(0,0),B(1,1),　　　　.
从下列三个条件中选取一个补充在横线上,并解答问题.
①过点C(2,0);②圆H恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分;③与y轴相切.
(1)求圆H的方程;
(2)过点P(3,0)的直线l与圆H相交于Q,N两点,求QN的中点M的轨迹方程.
8.(2022山东潍坊一中期中)如图,已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).
(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率以及直线PQ被圆C所截得的弦PE的长度;
(2)若N(x,y)是直线x+y+1=0上任意一点,过N作圆C的切线,切点为A,当切线长NA最小时,求点N的坐标,并求出这个最小值;
(3)若M(a,b)是圆C上任意一点,求的最大值和最小值.
9.疫情期间,作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息,王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域,如图,l1、l2分别是经过王阿姨家(点O)的东西和南北走向的街道,李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向的点C处,以点O为坐标原点,l1、l2分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,已知健康检查点M(100,400)和平安检查点N(400,700)是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.
(1)求出k,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程;
(2)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,需在姑山路(直线l:x-y+1 000=0)上碰头见面,你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)
迁移创新
10.(2020广东佛山一中期中)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程;
(2)如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动 (3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4,0)可以向能碰到目标球C(7)的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可).
图①
图②
答案全解全析
1.A　设圆心为A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,所以圆心A到原点的距离的最小值为-1=5-1=4.故选A.
2.ABD　圆心C(0,0)到直线l:ax+by-r2=0的距离d=.
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2|r|,则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
3.B　设圆心为P(x0,y0),半径为r,∵圆与x轴,y轴都相切,∴|x0|=|y0|=r,又圆经过点(2,1),∴x0=y0=r且(2-x0)2+(1-y0)2=r2,∴(r-2)2+(r-1)2=r2,解得r=1或r=5.
①r=1时,圆心P(1,1),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为;
②r=5时,圆心P(5,5),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为.故选B.
4.C　圆C:x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,
则圆心到直线l:y=kx+m的距离d=,则弦长为2,
则当k=0时,弦长取得最小值,所以2=2,解得m=±.
5.B　由x2+y2-6x=0得圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC垂直时,弦长最小,易知|AC|=,所以弦的长度的最小值为2=2,故选B.
6.ACD　设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M,
则M(5,5),半径r=4.
直线AB的方程为=1,即x+2y-4=0,
则圆心M到直线AB的距离d=>4,所以点P到直线AB的距离的最小值为-4<2,最大值为+4<10,故A正确,B错误;
当∠PBA最大或最小时,PB与圆M相切,P为切点,则PM⊥PB,
所以BM=,MP=4,由勾股定理可得BP=,故C,D均正确.
故选ACD.
7.答案　-2;
解析　设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,
∴kAC=,解得m=-2,∴C(0,-2),
∴r=AC=.
8.答案　
解析　设直线AB的方程为y=x+b,则点A(0,b).设圆x2+(y-1)2=1的圆心为C,则C(0,1),该圆的半径为1.
因为圆C与直线AB相切,所以圆心C到直线AB的距离为=1,解得b=-1或b=3,所以AC=2,
又因为BC=1,所以AB=.
9.D　由选项知直线l的斜率为2或,不妨假设为2,设直线l与曲线y=的切点为P(x0,y0),则=2,解得x0=,则y0=,即P,显然点P在圆x2+y2=内,不符合题意,所以直线l的斜率为,又直线l与圆x2+y2=相切,所以只有D项符合题意,故选D.
10.D　如图,由题可知,AB⊥PM,
PM·AB=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM)=2(PA+PB),
∵PA=PB,
∴PM·AB=4PA
=4
=4,
当PM最小时,PM·AB最小,易知PMmin=,
此时PA=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),
圆心M到直线AB的距离d=,
AB=,∴d2+=MA2,
即=4,解得b=-1或b=7(舍去).
综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.
11.A　圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为,圆的半径为,
设点P到直线的距离为d,
则dmin=2,
易知A(-2,0),B(0,-2),∴|AB|=2,
∴(S△ABP)min=·AB·dmin==2,
(S△ABP)max=·AB·dmax==6.
∴△ABP面积的取值范围是[2,6].故选A.
12.答案　3
解析　设A(a,2a),a>0,D(xD,yD),则C,
∴圆C的方程为+a2,
由可得
∴·=(5-a,-2a)·+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,
又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标为3.
13.解析　解法一:
(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,
DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=.
所以PB==15.
因此道路PB的长为15百米.
(2)不能,理由如下:
①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E外)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD==10,从而cos∠BAD=>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,
此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.
解法二:
(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,
直线PB的方程为y=-.
所以P(-13,9),PB==15.
因此道路PB的长为15百米.
(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),
又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,
因为OM==5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9).
此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.
1.A　由题意知,O、A、B、P四点共圆,∴所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1),半径r=,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,故选A.
2.A　∵圆O:x2+y2=4,直线l:y=x+b,圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1,
∴圆心O(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=1,
∴=1,解得b=或b=-.故选A.
3.C　如图所示:
若圆O:x2+y2=r2(r>0)上存在点N,使得∠OMN=,则∠OMN的最大值大于或者等于时,一定存在点N,使得∠OMN=,当MN与圆相切时,∠OMN取得最大值,又OM=5,所以在Rt△ONM中,sin∠OMN=≥,解得ON≥,即r≥.因为M(3,4)在圆外,所以32+42>r2,所以r<5.综上所述,≤r<5.故选C.
4.B　∵·=0,∴⊥,∴OA⊥OB,
∵||=cos α,||=sin α,α∈,
∴||=1,
取AB的中点D,则|),
∴,
∴·,∴|,∴点C在以D为圆心,为半径的圆上,
∴||的最大值为.故选B.
5.AD　对于A选项,当m=2时,直线l的方程为x+y+2=0,圆C的圆心为C(0,0),圆心C到直线l的距离d=<2,则直线l与圆C相交,A选项正确;
对于B选项,点Q与点(1,2)之间的距离的最大值为+2=5,所以(x1-1)2+(y1-2)2的最大值为25,B选项错误;
对于C选项,当圆C上有且仅有两个不同的点到直线l的距离为1时,如图①所示,
图①
由于圆C的半径为2,因此圆心C到直线l的距离d满足|2-d|<1,解得1对于D选项,当直线l与圆C有公共点时,只需点P为直线l与圆C的公共点,AB为圆C的一条直径(A、B不与点P重合),则∠APB=90°.
当直线l与圆C无公共点时,直线l与圆C相离,过点P作圆C的两条切线,切点分别为M、N,如图②所示,
由题意可得∠MPN≥∠APB=90°,
所以∠CPM≥45°,所以CP=≤2,
设点P(x,y),则≤2,即x2+(-x-m)2≤8,即2x2+2mx+m2-8≤0,
图②
则存在x∈R,使得2x2+2mx+m2-8≤0,所以Δ=4m2-8(m2-8)=64-4m2≥0,解得-4≤m≤4,D选项正确.
故选AD.
6.答案　
解析　由题意得圆L与圆S关于原点对称,
设S(a,0)(a>0),则=2+3,所以a=4,
即S(4,0),则L(-4,0).
由题意知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),点L,S,Q到该直线的距离分别为d1,d2,d3,则d1=,
则d2=4(4-),
即4-,
解得m=0,k2=,则d2=4×,
所以d=(负值舍去).
7.解析　(1)选①.设圆H的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意可得解得
则圆H的方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1.
选②.直线mx-y-m=0恒过点(1,0),
因为圆H恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分,所以直线mx-y-m=0恒过圆心,所以圆心为(1,0),
设圆的标准方程为(x-1)2+y2=r2(r>0),
由圆H经过点A(0,0),得r2=1,
则圆H的方程为(x-1)2+y2=1.
选③.设圆H的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题意得解得
则圆H的方程为(x-1)2+y2=1.
(2)因为M为弦QN的中点,H为圆心,所以HM⊥QN,
所以点M在以HP为直径的圆上,该圆的方程为(x-2)2+y2=1,所以点M的轨迹是以HP为直径的圆落在圆H内的一段弧(不包括该弧的两个端点),
由解得x=,
所以点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1.
8.解析　(1)将点P的坐标(m,m+1)代入圆C的方程,得m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,所以m=4,故P(4,5),
故直线PQ的斜率k=,因此直线PQ的方程为y-5=(x-4),即x-3y+11=0,
将圆C的方程化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心C(2,7),圆C的半径r=2,圆心C到直线PQ的距离d=,
所以PE=2.
(2)由(1)知,圆C的半径r=2,则NA=,
所以当NC最小,即NC⊥l时,NA最小,
所以NCmin=,此时NA=.
易得过点C且与直线x+y+1=0垂直的直线的方程为x-y+5=0,联立解得所以N(-3,2).
(3)表示直线MQ的斜率k',当直线MQ为圆C的切线时,斜率取得最值.
设直线MQ的方程为y-3=k'(x+2),即k'x-y+2k'+3=0.
当直线MQ与圆C相切时,圆心C到直线MQ的距离为,
两边平方并整理,得(4k'-4)2=8(k'2+1),解得k'=2-或k'=2+.
所以的最大值和最小值分别为2+和2-.
9.解析　(1)易知王阿姨负责区域边界的曲线方程为x2+y2=2002.
设李叔叔家所在的位置为C(c,c),由题知,点C(c,c)离M(100,400)和N(400,700)的距离相等,故(c-100)2+(c-400)2=(c-400)2+(c-700)2,
所以c=400,故C(400,400),CN==300,
故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x-400)2+(y-400)2=3002.
(2)易知O,C在直线l的同侧,设圆心O关于直线l:x-y+1 000=0的对称点为P(a,b),连接PC,交直线l于点Q,则在点Q处碰头见面最为便捷、省时间.
由题意得解得
所以斜率kPC=,
所以直线lPC:y=-,
由得
所以点Q的坐标为(-300,700),
故王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,可选择在地点(-300,700)碰面,此时距离之和最短.
10.解析　(1)过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0, 由题意知,A,B两球碰撞时,球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时AB=2.设A,B两球碰撞时球A的球心为A'(a,b),
则有解得
即A,B两球碰撞时球A的球心为A'(4-),所以碰撞前母球A运动的直线方程为y=x.
(2)不能.如图,由(1)知A'(4-),又A(0,-2),B(4,0),所以),
所以·)·(->0,故∠AA'B为锐角.
所以点B(4,0)到线段AA'的距离小于2,故球A的球心未到直线BB'上的点A'之前就会与球B碰撞.
故不能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动.
(3)a的最小值为-2.要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B1处撞击目标球C.如图所示,
设B1(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有
即所以
所以B1(8),所以直线CB1的倾斜角为45°,所以直线A'B的倾斜角为135°,易得A'(3).过A'(3)作倾斜角为45°的直线,交y轴于点A,易得A(0,-2),若a<-2,则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-2.
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