苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章圆与方程章复习提升（Word含答案）

第二章圆与方程 本章复习提升
易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　　
易错点1　忽视圆的一般方程表示圆的条件致错
1.若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
A.2或1　　　　B.-2或-1
C.2　　　　D.1
2.(2020辽宁六校协作体联考)已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为(　　)
A.1　　　　B.-1
C.-1或1　　　　D.0
3.已知定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,求k的取值范围.
易错点2　忽视特殊点、特殊直线致错
4.(2020江苏扬州中学期中)等腰三角形ABC的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并描述它的轨迹.
5.已知圆C:x2+y2-4x+3=0.
(1)求过点M(3,2)的圆C的切线方程;
(2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为m,求m的取值范围;
(3)已知圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为,且与圆x2+y2=16内切,求圆E的标准方程.
易错点3　忽视隐含条件致错
6.(2020江苏南通启东汇龙中学月考)方程=k(x-2)+3有两个不等实根,则k的取值范围是(　　)
A.
C.
7.(2020江苏如皋搬经中学月考)若直线y=x+b与曲线y=有公共点,求b的取值范围.
思想方法练　　　　　　　　　　　　　　　
一、数形结合思想在圆的方程中的应用
1.(2022浙江温州期末)已知点P是曲线-y=0上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的距离的取值范围是(　　)
A.　　　　B.[1,3]
C.
2.(2020江苏南京大厂高级中学期中)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+(y-2)2的最大值和最小值.
二、函数与方程思想在圆的方程中的应用
3.(2020江苏常州溧阳高级中学期中)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25交于A,B两点,若直线l被圆C截得的弦长为4,则直线l的方程为(　　)
A.x-2y+5=0
B.2x-y-5=0
C.x-2y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+5=0
4.已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当切线长PA=4时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点 若过,求出所有定点的坐标;若不过,请说明理由;
(3)求线段AB的长度的最小值.
三、分类讨论思想在圆的方程中的应用
5.(2020江苏南通如东期中)若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m的值为(　　)
A.16　　　　B.7 C.16或-4　　　　D.-7
四、转化与化归思想在圆的方程中的应用
6.(2020山东淄博桓台第一中学期中)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+,圆C:x2+(y-2)2=4.若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB面积的最大值为(　　)
A.4　　　　B.2
7.(2020江苏泰州泰兴中学期中)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=6,b=8,c=10,点P是△ABC内切圆上任意一点,求点P到顶点A,B,C的距离的平方和S的最大值与最小值.
答案全解全析
易混易错练
1.C　∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2.
2.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
依题意得解得k=-1,故选B.
易错警示
　　关于圆的一般方程问题,解题时易忽视D2+E2-4F>0,从而导致错误,如本题易忽视k4-4k+1>0.
3.解析　由题意得
解得-4.解析　设另一个端点C的坐标为(x,y),依题意得AC=AB,即,化简得(x-4)2+(y-2)2=10.
因为C是三角形ABC的顶点,A、B、C三点不共线,所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5),其轨迹是以点A(4,2)为圆心,为半径的圆,但去掉(3,5)和(5,-1)两点.
5.解析　(1)圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.
若切线的斜率不存在,则切线方程为x=3,符合题意.
若切线的斜率存在,设切线的斜率为k,则切线方程为 y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,由圆心到切线的距离等于半径,得=1,解得k=,此时切线方程为3x-4y-1=0.
综上可得,所求切线方程为x=3或3x-4y-1=0.
(2)当直线l⊥CN时,弦长m最短,易知CN=,所以mmin=2;
当直线l经过圆心时,弦长最长,mmax=2.
所以m∈[,2].
(3)设圆E:(x-a)2+y2=r2(r>0),圆E与圆C相交于A,B两点(点A在第一象限),∵AB=,∴A,B两点的纵坐标分别为,将y2=代入圆C的方程,得x2+-4x+3=0,解得x=或x=,
∴或在圆E上.
∵圆E内切于圆x2+y2=16,
∴圆E经过点(4,0)或(-4,0).
若圆E经过点和(4,0),则其标准方程为;
若圆E经过点和(4,0),则其标准方程为(x-3)2+y2=1;
若圆E经过点和(-4,0),则其标准方程为;
若圆E经过点和(-4,0),则其标准方程为.
易错警示
　　对于切线问题,不要忽略了斜率不存在的情况.当直线l垂直于x轴时,也可能成为一条切线.而对于圆的方程的求解,求得的结论要注意检验,要关注一些特殊情况是否符合.
6.D　令y==k(x-2)+3.由y=得x2+y2=4(y≥0),其表示的是一个半圆.
而y=k(x-2)+3表示的是过定点(2,3)的直线,
如图所示,当直线与半圆相切时,k=,当直线过点(-2,0)时,k=,所以方程=k(x-2)+3有两个不等实根时,7.解析　如图,在平面直角坐标系内作出曲线y=,
设直线l1:y=x-2,l2:y=x+2,作出直线l1,l2.
当直线l:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1,l2)时,l与已知曲线y=有公共点,所以b的取值范围为[-2,2].
易错警示
　　审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下研究其他问题,圆与圆只有一个交点时,要考虑两圆是内切还是外切等.
思想方法练
1.D　由-y=0,可得y=,则y≥0,
将等式y=的两边平方并整理,得x2+y2=1(y≥0),
所以曲线-y=0为圆x2+y2=1的上半圆,该圆的半径r=1,
作出曲线-y=0与直线3x-4y-10=0,如图:
设点P到直线3x-4y-10=0的距离为d,
当点P在点A(1,0)处时,d取最小值,dmin=.
原点O到直线3x-4y-10=0的距离为=2,由图可知,dmax=2+r=2+1=3,
因此,点P到直线3x-4y-10=0的距离的取值范围是.
直接分析点P到直线3x-4y-10=0的距离不太容易,则可作出相对应的图形,通过图形的帮助找到距离的最大与最小值,体现了数形结合的思想.
2.解析　方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
直接对式子x2+(y-2)2求解比较棘手,思路也不容易找到,而利用其几何意义,作出图形辅助求解,则比较简单易行,体现了数形结合思想.
x2+(y-2)2可看作圆上一点与点(0,2)的距离的平方,由图可知,此式在点(0,2)与圆心(2,0)的连线与圆的两个交点B、A处分别取得最大值与最小值,
又圆心到点(0,2)的距离为,
所以[x2+(y-2)2]max=(2,
[x2+(y-2)2]min=(2.
思想总结
　　“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想.利用数形结合解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小.
3.C　若直线l的斜率不存在,则l:x=5与圆C相切,不符合题意,则直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-5=k(x-5),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y并整理,
得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0,
求直线被圆所截得的弦长时,可以利用代数法,联立直线与圆的方程,并消元,通过根与系数的关系以及两点间的距离公式求解.
Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.
x1+x2=-,
所以AB=
=
=,
两边平方,整理得2k2-5k+2=0,
解得k=或k=2,均符合题意,
所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
4.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=AM=4,圆心M(0,6),
∵直线PA是圆M的一条切线,∴∠MAP=90°,
∴PM==8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,∴其圆心为N,半径为,
∴圆N的方程为(x-a)2+,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,
根据二元二次方程的特点,分别令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,可得圆恒过的定点坐标.
令解得或
∴圆N过定点(0,6)和.
(3)由(2)知,圆N的方程为(x-a)2+,即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,②
②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0,
此方程即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离d=,
∴AB=2,
把AB的长度表示为关于a的函数,利用二次函数的性质可得AB长度的最小值.
∴当a=时,线段AB的长度取得最小值,最小值为.
思想总结
　　函数思想就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系,并利用函数的性质来研究、解决问题的一种数学思想方法.函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.
5.C　圆C2的方程可化为(x-4)2+(y+4)2=32-m(m<32),
所以圆C2的圆心为C2(4,-4),半径r2=(m<32),
圆C1的圆心为C1(1,0),半径r1=1,
所以C1C2==5,
因为题目中没有明确说明两个圆相切的类型,所以需要分两圆内切和外切两种情况进行讨论并求解.
由两圆相切,可得1+=5或|1-|=5,
解得m=16或m=-4.故选C.
6.C　由圆的方程x2+(y-2)2=4可知其圆心为C(0,2),半径r=2,
由y=kx+,可知直线l过定点(0,),该点为线段OC的中点,
所以S△OAB=S△ABC,设∠ACB=θ,又CA=CB=r=2,
利用三角形的面积公式转化为求正弦型函数的最值问题,利用正弦型函数的性质来解决.
所以S△ABC=CA·CB·sin θ=×2×2sin θ=2sin θ,
当k=0时,直线l的方程为y=,此时θ最小,为,则θ∈.
当θ=时,S△ABC=2sin θ取得最大值,最大值为2.故选C.
7.解析　由题意知,△ABC是直角三角形,设△ABC的内切圆圆心为O',在AB,BC,CA上的切点分别为D,E,F,则AD+DB+EC=×(10+8+6)=12,
又AD+DB=c=10,所以内切圆的半径r=EC=2.
分析题意,考虑以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,建立函数求解.
如图,建立平面直角坐标系,则内切圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
设圆上动点P的坐标为(x,y),
则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2
=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2
=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x.
将问题转化为函数的最值问题来处理.
因为点P在内切圆上,所以0≤x≤4,
故S最大值=88-0=88,
S最小值=88-16=72.
思想总结
　　转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想,即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化、使抽象问题具体化.本章主要体现在圆上的点到直线的距离的最值问题、直线与圆构成的三角形面积的范围问题等.
11