苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.1.1　椭圆的标准方程同步练习（Word含答案）

第3章　圆锥曲线与方程
　3.1　椭圆
　　　　　　　　　 3.1.1　椭圆的标准方程
基础过关练
题组一　椭圆的定义及应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022山东临沂期中)设M是圆P:x2+(y+2)2=36上的一个动点,定点Q(0,2),线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,则N点的轨迹方程为(　　)
A.=1
C.=1
2.(2021江苏连云港赣榆智贤中学月考)已知椭圆=1上的一点P到左焦点F1的距离为6,点M是线段PF1的中点,O为坐标原点,则OM=(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.7　　　　D.14
3.(2020江苏无锡青山高级中学期中)点F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　)
A.32　　　　B.16　　　　C.8　　　　D.4
题组二　椭圆的标准方程及其应用
4.(2020江苏扬州邗江期中)“45.已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足·|,则动点P的轨迹C的方程为　　　　　　　　　.
6.(2021江苏苏州第一中学期中)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)与椭圆+y2=1有相同的焦点,且经过点;
(2)经过A两点.
题组三　直线与椭圆的位置关系
7.(2020江苏镇江中学月考)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点的个数为(　　)
A.2　　　　B.0或1　　　　C.1　　　　D.0
8.(2020江苏南京六合大厂高级中学调研)直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为1,则m=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
9.(2020江苏盐城响水中学期中)已知椭圆C:+y2=1,过右焦点的直线l:y=x-1与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为　　　　.
能力提升练
题组一　椭圆的定义与标准方程及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江苏南通平潮高级中学期中)设F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上且OP=3,则△PF1F2的面积为(　　)
A.3　　　　B.6 C.2
2.(2022湖北部分省级示范高中期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A,过原点且与x轴不重合的直线交C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过C的右焦点,则C的方程为(　　)
A.=1
C.=1
3.(多选)(2020江苏南通如皋质量调研)设F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,M为椭圆C上一点且在第一象限,若△MF1F2为等腰三角形,则下列结论正确的是　(　　)
A.MF1=2　 B.MF2=2　　C.点M的横坐标为
4.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点M,F1,F2是椭圆C的两个焦点,F1F2=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且·≤,求点P的横坐标的取值范围.
题组二　直线与椭圆的位置关系
5.(2021黑龙江哈尔滨第六中学期中)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(　　)
A.-3　　　　B.-
C.-或-3　　　　D.±
6.(2020吉林长春实验中学期中)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±5)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为,则该椭圆的标准方程为　　　　　　　　.
7.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.
(1)求四边形PQRS的面积的最大值;
(2)当四边形PQRS的面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M的直线与椭圆相交于A,B两点,且AB的中点恰为M,求直线AB的斜率k的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B　因为线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,
所以MN=QN,而MN+NP=MP=6,
所以QN+NP=6,又Q(0,2),P(0,-2),即N是到定点Q,P的距离和为定长6的动点,且QP=4<6,所以N点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,且a=3,c=2,故N点的轨迹方程为=1.
2.C　由椭圆的定义得PF1+PF2=2a=20,∵PF1=6,∴PF2=14.
∵OF1=OF2,MF1=PM,∴OM为△F1PF2的中位线,∴OM=PF2=7.
3.B　由=1得a=4,由椭圆的定义得AF1+AF2=BF1+BF2=2a,所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16,故选B.
4.答案　必要不充分条件
解析　方程=1表示焦点在x轴上的椭圆 75.答案　=1
解析　设P(x,y),又M(4,0),N(1,0),故=(x-1,y).
由题意可得-3(x-4)=6,
化简得3x2+4y2=12,即=1,
∴动点P的轨迹C的方程为=1.
6.解析　(1)椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),所以c=1,
因为椭圆过点,所以2a==4,
所以a=2,b=,所以椭圆的标准方程为=1.
(2)设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
把A的坐标代入,得解得
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
7.A　∵直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,∴>2,∴08.A　∵x+4y+m=0,∴y=-,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减并整理,得,∵线段AB中点的横坐标为1,∴线段AB中点的纵坐标为,将代入y=-,解得m=-2.
9.答案　
解析　由题意可知椭圆的右焦点为(1,0),又直线l的方程为y=x-1,将其代入+y2=1中,消去x,整理可得3y2+2y-1=0,解得y=-1或y=,
所以S△AOB=.
能力提升练
1.A　由椭圆的标准方程可知a2=12,b2=3,∴c2=a2-b2=9,∴c=3,∵OP=3,∴PF1⊥PF2,∴P.
∵PF1+PF2=2a=4,∴P+2PF1·PF2=48,即4c2+2PF1·PF2=48,即36+2PF1·PF2=48,解得PF1·PF2=6,故·PF1·PF2=3.故选A.
2.C　由题知c=1,设点M(x0,y0),N(-x0,-y0),则B,
记右焦点为F,则F(1,0),且直线BN经过点F,所以∥,
又=(1+x0,y0),所以·y0=(1+x0)·,
解得a=3,所以b2=8,所以椭圆方程为=1.
3.BCD　因为椭圆C:=1,所以a=4,b=,c=3,因为M为椭圆C上一点且在第一象限,△MF1F2为等腰三角形,所以MF1>MF2,MF1=F1F2=2c=6,MF2=2,在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠MF1F2=,
所以点M的横坐标为MF1·cos∠MF1F2-c=6×,sin∠MF1F2=,
所以×MF1×F1F2×sin∠MF1F2=,故选BCD.
4.解析　(1)由题意可得∴
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),∵c=,
∴不妨令F1(-,0),
∴-x,-y),
∴·-x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3,
又+y2=1,即y2=1-,
∴·(3x2-8)≤, 解得-≤x≤,
∵x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,].
5.B　由+y2=1,得a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,则椭圆的焦点为(-1,0),(1,0),
若直线l过右焦点,则直线l的方程为y=x-1,
代入+y2=1,整理得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2=0,x1+x2=,则y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1-,
故·.
6.答案　=1
解析　设椭圆方程为=1(a>b>0),则a2=b2+c2=b2+50.①
设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.
易得x1+x2=2×=3,
∴b2×3×(-1)+a2×1=0,即a2=3b2.②
联立①②得,a2=75,b2=25.
故该椭圆的标准方程为=1.
7.解析　(1)由P(m,n)在椭圆上得=1,
∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=≥2×,当且仅当,即m=2,n=1时,等号成立,
易知S四边形PQRS=2m×2n=4mn≤8,当m=2,n=1时取等号,
故当m=2,n=1时,四边形PQRS的面积取最大值,最大值为8.
(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M的坐标为(t,1),其中-2则有
两式相减得(*),
∵M为线段AB的中点,
∴=1,
∴(*)可化为=-(y1-y2),
∴k=-,故k∈.
8