苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.1.2　椭圆的几何性质同步练习（Word含答案）

3.1.2　椭圆的几何性质
基础过关练
题组一　由椭圆的标准方程探究其几何性质　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江苏扬州邗江中学期中)椭圆=1和椭圆=1(0A.等长的长轴　　　　B.相等的焦距
C.相等的离心率　　　　D.等长的短轴
2.[2021新高考八省(市)联考]椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=　　(　　)
A.1　　　　B.
C.　　　　D.2
3.(2020江苏苏州外国语学校期中)设AB是椭圆=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB 100等分,过每个分点作AB的垂线,依次交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则F1A+F1P1+F1P2+…+F1P99+F1B的值是(　　)
A.99a　　　　B.100a
C.101a　　　　D.102a
题组二　由椭圆的几何性质求标准方程
4.(多选)(2021江苏淮安阳光学校月考)为使椭圆=1的离心率为,正数m的值可以是(　　)
A.1　　　　B.
C.
5.(2021江苏徐州沛县第一次学情调研)过点(2,),焦点在x轴上且与椭圆=1有相同的离心率的椭圆的方程为(　　)
A.=1
C.=1
6.(2021江苏扬州仪征中学期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线交椭圆C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的标准方程为(　　)
A.+y2=1
C.=1
题组三　求椭圆离心率的值(或范围)
7.(2020江苏连云港东海期中)在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(m∈R)的离心率的取值范围为(　　)
A.　　　　
C.
8.(2021江苏盐城响水中学期中)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　　　
C.
9.(2021江苏无锡锡山高级中学期中)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,O为坐标原点.过点F的直线2x+y-4=0与椭圆的交点为Q(点Q在x轴上方),且OF=OQ,则椭圆C的离心率为　　　　.
题组四　椭圆几何性质的应用
10.(多选)(2021江苏徐州第一中学期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一条直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)
A.a-c=m+R
B.a+c=n+R
C.2a=m+n
D.b=
11.(2020江苏南通教学质量调研)已知椭圆C:=1的右焦点为F,若过F的直线l与椭圆C交于A,B两点,则的取值范围是　(　　)
A.
C.
12.(多选)(2021 江苏泰州中学期中)设椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中正确的是(　　)
A.当点P不在x轴上时,△PF1F2的周长是6
B.当点P不在x轴上时,△PF1F2面积的最大值为
C.存在点P,使PF1⊥PF2
D.PF1∈[1,3]
13.(2020广东惠州期末)椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　.
14.(2020福建三明期末)利用圆的面积公式可以类比得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的面积为2π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.
能力提升练
题组　椭圆的几何性质及其应用　　　　　　
1.(2020江苏南通启东中学期中)已知椭圆=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.
C.
2.(2021江苏扬州期中联考)已知A,B分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,且PB平分∠APD,则此椭圆的离心率为　(　　)
A.
3.(2021江苏南京期中)如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为(　　)
A.2
C.4
4.已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且·=0,则||的取值范围为(　　)
A.[0,3)　　　　B.(0,2)
C.[2,3)　　　　D.[0,4]
5.(2022天津第一中学期中)已知A,B分别为椭圆的左、右顶点,F为左焦点,点P为椭圆上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线与线段PF交于M点,与y轴交于E点,若直线BM经过OE的中点,则椭圆的离心率为(　　)
A.
6.(2022湘豫名校联考)椭圆=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点M作向量使得,且△F1F2N为正三角形,则该椭圆的离心率为(　　)
A.
7.(2021广东中山第一中学统测)椭圆=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为椭圆的右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率的最大值为　　　　.
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于A,B两点,且PA=2AB 若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B　依题意知椭圆=1的焦点在y轴上,椭圆=1的焦点在x轴上.对于椭圆=1,有2=8.对于椭圆=1,有2=8,所以两个椭圆有相等的焦距.长轴长、短轴长和离心率均不相等.故选B.
2.C　由题可知a2=m2+1,b2=m2,故b=m,c=1,
∵∠F1AF2=,∴∠F1AO=,其中O为坐标原点,
∴tan∠F1AO=,∴m=.故选C.
3.C　根据椭圆的对称性知F1A+F1P1+F1P2+…+F1P99+F1B=(F1A+F1B)+(F1P1+F1P99)+(F1P2+F1P98)+…+F1P50=2a+2a+…+a=101a.故选C.
4.CD　当0所以e2=,解得m=,符合题意;
当m>2时,焦点在y轴上,此时a2=m,b2=2,所以c2=a2-b2=m-2,
所以e2=,解得m=,符合题意.
综上,正数m的值可以是.
5.D　设所求椭圆方程为=λ(λ>0,λ≠1),将(2,)代入可得=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为=1.故选D.
6.A　已知△AF1B的周长为4,则AB+AF1+BF1=AF2+BF2+AF1+BF1=4a=4,所以a=,
又e=,所以c=1,所以b2=a2-c2=2,所以椭圆C的标准方程为=1.故选A.
7.C　由题意可得a2=m2+4,c2=m2+4-3,
所以e2=<1,当m=0时,e2取最小值,且(e2)min=,故≤e2<1,即≤e<1,故选C.
8.C　不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),直线l经过椭圆的上顶点和右焦点,
则直线l的方程为=1,
由椭圆中心到l的距离为其短轴长的,可得,∴4=b2,∴=3,
即=3,
∴e=,故选C.
9.答案　
解析　因为点F在直线2x+y-4=0上,所以F(2,0),设椭圆的左焦点为F1,则F1(-2,0),c=2,
设点Q(x,-2x+4),则OQ==OF=2,解得x=或x=2(舍去),
所以点Q,所以2a=QF+QF1=,即a=,所以椭圆的离心率e=.
10.ABD　由题可得(*)∴a-c=m+R,a+c=n+R,故A,B正确;
(*)中两式相加得m+n=2a-2R,
可得2a=m+n+2R,故C不正确;由(*)可得两式相乘可得(m+R)(n+R)=a2-c2,∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R) b=,故D正确.故选ABD.
11.C　由题意得F(1,0),设P(x0,y0)(x0∈[-2,2])为椭圆C上任意一点,则=1,解得),由两点间的距离公式可得PF=x0,其中x0∈[-2,2],由上式可得当A为椭圆的右顶点时,AF最小,此时AF=2-1=1,当B为椭圆的左顶点时,BF最大,此时BF=2+1=3,且二者可同时满足,则的最小值为,同理可得的最大值为3,即的取值范围是,故选C.
12.ABD　由椭圆方程可知a=2,b=,从而c==1.对于选项A,根据椭圆定义知,PF1+PF2=2a=4,又F1F2=2c=2,所以△PF1F2的周长是2a+2c=6,故正确;对于选项B,设点P(x0,y0)(y0≠0),因为F1F2=2,则F1F2·|y0|=|y0|,因为0<|y0|≤b=,所以△PF1F2面积的最大值为,故正确;对于选项C,由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时,∠F1PF2最大,此时PF1=PF2=a=2,又F1F2=2,所以△PF1F2为正三角形,∠F1PF2=60°,所以不存在点P,使PF1⊥PF2,故错误;对于选项D,当点P为椭圆C的右顶点时,PF1取得最大值,此时PF1=a+c=3,当点P为椭圆C的左顶点时,PF1取得最小值,此时PF1=a-c=1,所以PF1∈[1,3],故正确.故选ABD.
方法总结
　　以椭圆=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则:
(1)△PF1F2的周长为2a+2c;
(2)当点P为椭圆短轴的一个端点时,∠F1PF2=θ最大;
(3)PF1×PF2×sin θ,当|y0|=b,即点P为椭圆短轴的一个端点时,取得最大值,最大值为bc;
(4)=b2tan .
13.答案　 25;(±3,0)(或分开写(-3,0)或(3,0))
解析　设F1,F2为椭圆的两焦点,则m=PF1·PF2≤=a2=25,当且仅当PF1=PF2=5时,等号成立,即点P为短轴端点时,m取最大值25,此时点P的坐标为(±3,0).
14.解析　(1)依题意得解得
所以椭圆C的标准方程是=1.
(2)由题意得,直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,
由得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-,y1·y2=-,
所以|y1-y2|=,
所以S△OAB=,
令t=(t≥1),则m2=t2-1,
则S△OAB=,t≥1,
因为y=3t+在[1,+∞)上单调递增,
所以当t=1,即m=0时,△OAB的面积取得最大值,为.
能力提升练
1.B　当动点P从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时,∠F1PF2逐渐增大,当且仅当P点位于短轴端点(记为P0)处时,∠F1PF2达到最大值.∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,∴在△F1P0F2中,∠F1P0F2>90°,在Rt△OP0F2中,∠OP0F2>45°,
∴b∴a2<2c2,∴e>,
∵02.D　如图,由题意可得,△AOC∽ADP,所以,
则DP==3b,
所以tan∠BPD=,tan∠APD=,
因为PB平分∠APD,所以tan∠APD=tan 2∠BPD=,则,所以3b2=a2,又b2=a2-c2,所以2a2=3c2,所以离心率e=.故选D.
3.D　如图所示,
设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为点O1,圆柱的底面中心为O,则∠OAB=60°,OA=2,设椭圆的标准方程为=1(a>0,b>0),
可得a=O1A=CD=2,∴c=,
∴椭圆的焦距为4,故选D.
4.B　如图,延长PF2,F1M,交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,|×|PF1-PF2|.由图可知,当P在短轴端点时,||取得最小值,此时||=0,当P在长轴端点时,||取得最大值,此时|,由题意知P不能在坐标轴上,故||的取值范围为(0,2).
5.C　由题意可得F(-c,0),A(-a,0),B(a,0),易知直线AE的斜率存在,故设其方程为y=k(x+a),令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),设OE的中点为H,可得H,由B,H,M三点共线,可得kBH=kBM,即,整理得a=3c,所以e=,故选C.
6.D　∵△F1F2N为正三角形,∴点N必在x轴上,且∠NF1F2=60°,∴ON=tan 60°·OF1=c,
又∵,∴M(c,2c),
又∵点M在椭圆上,∴=1,化简得4e4-8e2+1=0,
解得e2=,又∵07.答案　
解析　因为点B,A关于原点对称,所以点B也在椭圆上,设左焦点为F',因为AF+AF'=2a,BF=AF',所以AF+BF=2a,因为O是直角三角形ABF斜边的中点,所以AB=2c,AF=2csin α,BF=2ccos α,
所以2c(sin α+cos α)=2a,所以,
由于α∈,所以α+∈,易知当α=时,离心率取得最大值,为.
8.解析　(1)由题易得,圆心(0,0)到直线m的距离为,由直线m的倾斜角为30°得,
由e=得a2=2c2,即b2+c2=2c2,
∴b2=c2,将其与联立,得b=c=1,∴a=,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).
①若直线l垂直于x轴,则l与椭圆C交于(0,1),(0,-1),取A(0,-1),B(0,1),满足PA=2AB,此时l的方程为x=0.
②若直线l不垂直于x轴,则设直线l的方程为y=kx+3,代入椭圆方程+y2=1中,整理得(2k2+1)x2+12kx+16=0,
令Δ>0,解得k<-2或k>2,
则x1+x2=(**),
对于PA=2AB,包含两种情况:
(i),即(x1-0,y1-3)=2(x2-x1,y2-y1),
∴x1=2(x2-x1),即x2=x1,
代入(*)(**)得消去x1,
得,解得k=±,
∴l的方程为y=x+3或y=-x+3,即5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.
(ii),即(x1-0,y1-3)=2(x1-x2,y1-y2),
∴x1=2x2,
代入(*)(**)得消去x2,
得2,即2k2=2k2+1,无解.
综上,l的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.
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