苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.2.1　双曲线的标准方程同步练习（Word含答案）

3.2　双曲线
3.2.1　双曲线的标准方程
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　双曲线的定义及其应用
1.(2021江苏扬州大学附属中学月考)已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是　(　　)
A.-10
C.k≥0　　　　D.k>1或k<-1
2.(2022河北沧州七校联盟期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线C的左支于A,B两点,且AB=6,若△ABF2的周长为24,则a的值是(　　)
A.3　　　　B.6
C.9　　　　D.12
3.(2022福建宁德期中联考)双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是C的右支上一点,且点P不在x轴上,PQ是∠F1PF2的平分线,过点F1作PQ的垂线,垂足为Q,O为坐标原点,则OQ的值为(　　)
A.3
B.4
C.5
D.不确定,随P点位置变化而变化
4.(2021江苏淮安高中校协作体期中)已知点P为双曲线C:=1上的动点,点A(-10,0),点B(10,0).若PA=16,则PB=　　　　.
题组二　双曲线的标准方程及其应用
5.(2021江苏镇江期中)若椭圆=1与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,则m的值为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.9
6.(2021江苏南京师范大学附属中学教学质量调研)已知动点M(x,y)的坐标满足方程=8,则M的轨迹方程是(　　)
A.=1
C.=1(y>0)
7.已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是(　　)
A.=1
C.=1
8.(2021江苏扬州邗江中学期中)已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,2).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若双曲线上的点M满足MF1⊥MF2,求△MF1F2的面积.
题组三　直线与双曲线的位置关系
9.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(　　)
A.
C.
10.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则AB=　　　　.
11.(2021江苏无锡锡山高级中学期中)已知双曲线C的标准方程为=1,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点.
(1)若点P在双曲线的右支上,且△F1PF2的面积为3,求点P的坐标;
(2)若斜率为1且经过右焦点F2的直线l与双曲线交于M,N两点,求线段MN的长度.
题组四　双曲线方程的综合运用
12.(2021江苏泰州中学质量检测)对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
13.(2021江苏镇江中学期初测试)人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质,比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线.如图,从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时(其中P为入射点),∠F1F2P的大小为(　　)
A.
14.(2020湖南长沙长郡中学期中) 设F1,F2是双曲线=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且PF1∶PF2=2∶1,求△PF1F2的面积.
能力提升练
题组　双曲线的标准方程及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022河南开封期中联考)已知F是双曲线C:=1的右焦点,P为C右支上一点,A(4,1),则PA+PF的最小值为(　　)
A.-6 C.+6　　　　D.2
2.(2021江苏南京东山外国语学校月考)已知△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC内切圆的圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.=1(y>2)
C.=1
3.(多选)(2021江苏泰州中学期中)已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,b∈R),则下列判断正确的是(　　)
A.当ab=1时,E一定是椭圆
B.当ab=-1时,E是双曲线
C.当a=b>0时,E是圆
D.当ab=0且a2+b2≠0时,E是直线
4.已知F1,F2分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1F2=2,若P是该双曲线右支上一点,且满足PF1=2PF2,则△PF1F2面积的最大值是(　　)
A.1　　　　B. C.　　　　D.2
5.(2021江苏南通如皋教学质量调研)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆与直线y=±x相切,该圆与双曲线在第一象限的交点为P,则·=　(　　)
A.8　　　　B.8
6.(2020江苏徐州铜山大许高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(4,0),点A,B在双曲线C:-y2=1上,且,则直线AB的斜率为(　　)
A.±
7.已知点P在曲线C1:=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则PQ-PR的最大值是(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12
8.(2021江苏徐州沛县学情调研)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线上一点,若∠F1MF2=60°,则△F1MF2的面积为　　　　.
9.(2020江苏淮安阳光学校月考)已知动点P到点F(2,0)的距离是其到直线x=的距离的2倍,设P点的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程,并指出C的形状;
(2)当P点坐标为(2,t)时,过P作斜率为3的直线与C有另一个交点A,求线段PA的中点坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A　由方程=1表示双曲线,得(1+k)(1-k)>0,解得-12.A　由双曲线的定义可得AF2-AF1=BF2-BF1=2a,则AF2+BF2-(AF1+BF1)=4a,因为AB=AF1+BF1=6,所以AF2+BF2=4a+6,因为△ABF2的周长为24,所以AB+AF2+BF2=24,所以AF2+BF2=18,则4a+6=18,解得a=3.
3.B　延长F1Q,交PF2的延长线于M,易知三角形PF1M为等腰三角形,故Q为F1M的中点,由双曲线的定义知PF1-PF2=PM-PF2=F2M=2a=8,由三角形的中位线定理可得OQ=F2M=a=4.
4.答案　28或4
解析　依题意可知a=6,b=8,则c==10,
所以A,B分别是双曲线的左、右焦点,
根据双曲线的定义可知|PA-PB|=|16-PB|=2a=12,所以PB=28或PB=4,
由于c-a=10-6=4,所以PB≥4.
故答案为28或4.
5.D　将双曲线方程化为标准方程为-y2=1,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),由于椭圆与双曲线有相同的焦点,所以m=25-16=9.故选D.
6.C　由题意知,点M到点(-5,0)的距离与其到点(5,0)的距离之差为8,由8<10,知点M的轨迹是双曲线的右支,
其中,c=5,2a=8,即a=4,故b==3,所以M的轨迹方程是=1(x>0),故选C.
7.B　解法一:由双曲线的左焦点坐标可知c=.设双曲线的右焦点为F2,则F2(,0).因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以P点的坐标为(,4),所以PF2⊥x轴,且PF2=4,点P在双曲线的右支上,所以PF1==6,所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,所以a2=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.
解法二:设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
8.解析　(1)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),因为F1(-4,0),F2(4,0),且该双曲线过点P(6,2),所以2a=,所以a=2,
所以a2==12,
又c=4,所以b2=42-12=4,
所以双曲线的标准方程为=1.
(2)由题意得|MF1-MF2|=4=64,所以MF1·MF2=8,
所以MF1·MF2=4.
9.D　由得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得
解得-10.答案　3
解析　依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,
所以AB=·|x1-x2|
=
=
=3.
11.解析　(1)由题意知双曲线的焦距F1F2=2×=6,
设点P(m,n),m>0,则F1F2·|n|=3|n|=3,解得n=±1,
代入双曲线方程可得m=,所以点P的坐标为或.
(2)由题意得F2(3,0),则直线MN:y=x-3,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y,可得x2+6x-15=0,
则x1+x2=-6,x1x2=-15,
所以MN=·.
12.C　方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线 mn>0,所以“mn>0”是“方程mx2-ny2=1表示的曲线是双曲线”的充要条件.故选C.
13.答案　D
信息提取　(1)从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,反射光线的反向延长线经过左焦点;(2)双曲线方程为x2-y2=1;(3)F2P⊥PE.
数学建模　本题以入射光线经双曲线镜面反射为背景,构建与双曲线有关的问题.通过F2P⊥PE构建方程,再结合余弦函数的定义求解.
解析　由双曲线的标准方程为x2-y2=1,得a=1,b=1,c=.
设PF2=m(m>0),则PF1=2+m.
所以m2+(m+2)2=,
解得m=-1舍去).
所以cos∠F1F2P=,
所以∠F1F2P=.故选D.
14.解析　∵F1,F2是双曲线=1的两个焦点,∴不妨设F1(-3,0),F2(3,0),∴F1F2=6,
设PF2=x(x>0),则PF1=2x.
由双曲线的性质知2x-x=2,解得x=2,
∴PF1=4,
∴cos∠F1PF2=,
∴sin∠F1PF2=.
∴△PF1F2的面积为=12.
能力提升练
1.B　记双曲线C的左焦点为F',则F'(-4,0),
因为P为C右支上一点,所以由双曲线的定义可得PF'-PF=2a=6,
所以PA+PF=PA+PF'-6≥AF'-6=-6,
当且仅当F',P,A三点共线时,等号成立.故选B.
2.A　如图,设△ABC的三边与内切圆的切点分别为G,E,F,
由题意得AG=AE=7,BF=BG=3,CE=CF,所以CA-CB=7-3=4<10.
根据双曲线的定义可知所求轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支(不含与x轴的交点),且2a=4,2c=10,
故其方程为=1(x>2).故选A.
3.BCD　对于A,若a=1,b=1,则ax2+by2=ab变为x2+y2=1,表示圆,故A错误;对于B,若ab=-1,则ax2+by2=ab可化为-ax2=1,表示双曲线,故B正确;对于C,若a=b>0,则方程变为x2+y2=a,表示圆,故C正确;对于D,若a=0,b≠0,则ax2+by2=ab变为y=0,表示直线,同理,当b=0,a≠0时,ax2+by2=ab也表示直线,故D正确.故选BCD.
4.B　设PF1=m,PF2=n,∠F1PF2=θ,m>0,n>0,由题意得m=2n,c=1,
由双曲线定义得m-n=2a,所以n=2a,
所以2a≥c-a=1-a,所以a≥,所以n≥,所以n2≥,
由余弦定理得cos θ=,
故mnsin θ=n2
= ,
易知当n2=时,△PF1F2的面积最大,最大值是.
5.A　易知焦点F2(5,0)到直线的距离d==4,
因为以F2为圆心的圆与直线相切,
所以PF2=4,由双曲线的定义可知PF1=10,又F1F2=10,所以由余弦定理得cos∠F1PF2=,
所以·|·||cos∠F1PF2=40×=8.故选A.
6.B　当直线AB的斜率为0时显然不满足题意,故设直线AB的方程为x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去x,得(m2-4)y2+8my+12=0,
所以Δ>0,m2≠4,
所以y1+y2=,①
又,所以(4-x1,-y1)=3(x2-4,y2),
所以-y1=3y2,②
由①②可得,即5m2=4,
所以m=±,所以直线AB的斜率为.故选B.
7.C　设C1:=1的左、右焦点分别是F1,F2,则F1(-5,0),F2(5,0),而这两点恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆的半径都为1,
若PQ-PR取得最大值,则P在双曲线C1的右支上,故PF1-PF2=8,
所以PQmax=PF1+1,PRmin=PF2-1,
所以PQ-PR的最大值为(PF1+1)-(PF2-1)=PF1-PF2+2=8+2=10.故选C.
8.答案　12
解析　不妨设点M在双曲线的右支上,则MF1-MF2=2a=8,即-2MF1·MF2=64,由余弦定理可得4c2=112=M-MF1·MF2,两式相减得MF1·MF2=48,
所以MF1·MF2·sin 60°=12.
9.解析　(1)设P点坐标为(x,y),由题意可得,两边平方并整理,
可得曲线C的方程为x2-=1,故C的形状为双曲线.
(2)将点P的坐标(2,t)代入x2-=1,可得t=±3,
①当t=3时,P点坐标为(2,3),直线方程为y=3x-3,
联立可得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,
所以A点坐标为(1,0),线段PA的中点坐标为;
②当t=-3时,P点坐标为(2,-3),直线方程为y=3x-9,
联立可得x2-9x+14=0,解得x=2或x=7,
所以A点坐标为(7,12),此时线段PA的中点坐标为.
综上可得,线段PA的中点坐标为或.
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