苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册3.2.2　双曲线的几何性质同步练习（Word含答案）

3.2.2　双曲线的几何性质
基础过关练
题组一　根据双曲线的标准方程研究其几何性质　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)(2022江苏连云港期中)下列有关双曲线2x2-y2=8的说法正确的是(　　)
A.离心率为　　　　B.顶点坐标为(0,±2)
C.实轴长为4　　　　D.虚轴长为4
2.(2021江苏扬州高邮期中)双曲线=1的渐近线方程为 (　　)
A.y=±x
C.y=±x
3.(2020江苏南通教学质量调研)若实数k满足0A.离心率相等　　　　B.虚半轴长相等
C.实半轴长相等　　　　D.焦距相等
4.(2022浙江台州第一中学期中)已知双曲线C:=1(a>0),F为左焦点,若对于双曲线C上任意一点P,线段PF的长度的最小值为1,则实数a的值为　　　　.
题组二　由双曲线的几何性质求其标准方程
5.(2021江苏南京六合大厂高级中学学情调研)以椭圆=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线的方程为(　　)
A.=1
C.=1
6.(2022上海一模)过双曲线C:=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心,2为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(　　)
A.=1
C.=1
7.(2022江苏常州北郊高级中学期中)具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系.已知双曲线C1:=1与双曲线C2有共同的渐近线,则双曲线C2的渐近线方程是　　　 　　,若双曲线C2还经过点M(,4),则双曲线C2的离心率为　　　　.
8.(2022湖北襄阳检测)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,且过点P.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在直线的方程;如果不存在,请说明理由.
题组三　双曲线的渐近线问题
9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　)
A.y=±x 　　　　B.y=±x C.y=±x　　　　D.y=±2x
10.(2021江苏无锡江阴第一中学期中)已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的两倍,则它的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　
C.y=±2x　　　　D.y=±x
11.(2022湖南、河北新高考联考)已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,O为坐标原点.若点M是线段F2N的中点,且NF1⊥NF2,则b=(　　)
A.1　　　　B.
C.2　　　　D.
12.(2021江苏徐州沛县歌风中学调研)已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点.若△AOF的面积为2,则实数a的值为(　　)
A.2　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
题组四　求双曲线的离心率的值(或范围)
13.(2021江苏泰州中学期中)在平面直角坐标系xOy中,若点P(4,0)到双曲线C:=1(a>0)的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.
14.(2020江苏淮安淮阴中学期末)若双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)
A.2　　　　B.　 　　　　D.
15.(2021江苏南京秦淮中学段考)若双曲线C:=1 (a>0,b>0)的渐近线与圆(x-3)2+y2=1无交点,则C的离心率的取值范围为(　　)
A.　　　　
C.
16.(2022江苏淮安阳光学校月考)已知双曲线=1的离心率e=,且经过点P(2,-).
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的焦点到渐近线的距离.
能力提升练
题组　双曲线的几何性质及其应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020江苏常州前黄高级中学期末)设双曲线C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在C的一条渐近线x+y=0上,O为坐标原点,若OF=PF,且△POF的面积为2,则C的方程为(　　)
A.=1 C.=1
2.(2022湖南部分重点高中期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若∠F1AF2=,则双曲线的离心率为(　　)
A.+1
C.
3.[2022福建福州八县(市)一中期中]已知双曲线C:=1(a>0,b>0),斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点为P(2,4),则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±2x　　　　B.y=±x
C.y=±x
4.(2022湖南三湘名校期中)过点P(2,0)作圆O:x2+y2=1的切线,切点分别为A,B.若A,B恰好分别在双曲线C:=1的两条渐近线上,则双曲线C的离心率为(　　)
A.
C.2　　　　D.
5.(2021江苏徐州第一中学期中)过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于P,若,则双曲线的渐近线方程为　(　　)
A.y=±x
C.y=±x
6.(多选)(2021江苏宿迁沭阳修远中学、洪翔中学联考)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且·=0,则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.△PF1F2的面积为1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2
D.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
7.(2021江苏扬州中学期中)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1>PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为　　　　.
8.[2021新高考八省(市)联考]双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,AF=BF.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
9.已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.ACD　由2x2-y2=8,得=1,所以a2=4,b2=8,
所以a=2,b=2,所以离心率e=,实轴长2a=4,虚轴长2b=4,顶点坐标为(±2,0),故选ACD.
2.A　双曲线=1中,a=2,b=,所以双曲线=1的渐近线方程为y=±x.故选A.
3.D　∵00,25-k>0,
∴双曲线=1的实半轴长为5,虚半轴长为,焦距为2,离心率为,
双曲线=1的实半轴长为,虚半轴长为3,焦距为2,离心率为,
因此,两双曲线的焦距相等.故选D.
4.答案　1
解析　易得F(-c,0),c2=a2+3,
依题意,若使线段PF的长度最小,则点P必在该双曲线的左支上,设P(x0,y0),则x0≤-a,=1,
所以PF=≤=c-a=1,因此c2=(a+1)2=a2+3,解得a=1.
5.B　由椭圆=1得焦点为(±1,0),左、右顶点分别为(2,0),(-2,0).
∴双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3.
则双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
6.B　由题知FO=2,C的渐近线方程为y=±x,故c=2,不妨设点A在渐近线y=x上,且A(a,b).
故22=b2+(2-a)2,结合a2+b2=c2,解得a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
7.答案　y=±x;2
解析　C1:=1的渐近线方程为=0,整理,得y=±x.
因为双曲线C1,C2有共同的渐近线,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x.
设双曲线C2的方程为=k(k≠0,k≠1),将点M(,4)的坐标代入,得=k,解得k=-5,
所以双曲线C2的方程为=1,离心率e==2.
方法小结
　　与双曲线=1有共同的渐近线的双曲线的方程可设为=k(k≠0,k≠1).
8.解析　(1)由题意可设双曲线方程为x2-=λ(λ≠0),将P的坐标代入,可得λ=1,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)假设存在被点B(1,1)平分的弦MN,记弦MN所在的直线为l.设B(1,1)是弦MN的中点,且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为点M,N在双曲线C上,所以它们的坐标满足双曲线方程,即两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)·(y1+y2)=0,所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以kMN==2,所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立直线l与双曲线方程,得消去y,得2x2-4x+3=0,显然Δ=16-4×2×3=-8<0,所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在,故不存在被点B(1,1)平分的弦.
9.B　双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,即.
又,所以,即.
故双曲线的渐近线方程为y=±x.故选B.
10.A　因为双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的两倍,所以2a=4b,故,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.
11.D　易知OM是△NF1F2的中位线,所以OM∥NF1,
由NF1⊥NF2,得OM⊥NF2,从而△ONF2是等腰三角形,∠MOF2=∠MON,
又∠MOF2=∠NOF1,所以∠MOF2=∠MON=∠NOF1=60°,
即渐近线y=bx的倾斜角为60°,因此b=tan 60°=.故选D.
12.A　因为双曲线的离心率为,所以c=a,
则c2=2a2=a2+b2,所以a=b,
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,则∠AOF=45°,
易知∠OAF=90°,所以△AOF为等腰直角三角形,
所以S△AOF=c·c=2,解得c=2(负值舍去),所以a=2.故选A.
13.A　双曲线C:=1(a>0)的渐近线方程为3x±ay=0,则=6,所以a=,故e==2.故选A.
14.A　双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±ay=0,
则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离d=,即=3,整理可得c2=4a2,
故双曲线的离心率e==2.故选A.
15.C　由题意知,双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,
不妨取y=x,即bx-ay=0,则圆心(3,0)到此直线的距离d=>1,
解得8b2>a2,即8(c2-a2)>a2,即e2>,又e>1,
所以离心率的取值范围为e>.故选C.
16.解析　(1)由题意可得解得所以双曲线的方程为x2-y2=1.
(2)由(1)知双曲线的焦点为(±,0),渐近线方程为x±y=0,
故双曲线的焦点到渐近线的距离为=1.
能力提升练
1.B　∵直线x+y=0为双曲线C:=1(a>b>0)的一条渐近线,
∴设双曲线C的方程为=1(λ>0),则右焦点为F(,0),
故右焦点F到直线x+y=0的距离d=,
∴OP=2,
∴S△POF=OP·d=,
∴λ=2,故C的方程为=1.故选B.
2.D　由题可知∠F1OA=,∵∠AF1O=∠F2F1A,∠F1OA=∠F1AF2,∴△F1OA∽△F1AF2,所以,可得F1A=c.
在△F1AF2中,由余弦定理可得F1-2AF1·AF2cos ,
即Ac·AF2-2c2=0,∴AF2=c.
∴双曲线的离心率e=.
3.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减,得=0,
所以,又线段AB的中点为P(2,4),直线AB的斜率为1,
所以1=,即,所以渐近线方程为y=±x.
4.C　设切点A(cos α,sin α),则·=-1,解得cos α=,故sin α=±,
所以不妨设A,
因为A,B两点分别在双曲线的两条渐近线上,所以,所以e==2.
5.A　结合题意画出图形,记右焦点为F1,如图:
由,知E为FP的中点,又O是FF1的中点,所以OE是△FPF1的中位线,所以OE∥PF1.
由题意知OE⊥EF,所以FP⊥F1P.
由题知OE=,所以F1P=,结合双曲线的定义可得FP=2a+F1P=,又△FPF1为直角三角形,所以FP2+,即=(2c)2,即a2=c2,即a2=(a2+b2),则,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.
6.AB　对于A,双曲线的渐近线方程为y=±x,所以A正确;
对于B,由双曲线C:x2-y2=1,可得a=1,b=1,c=,则F1(-,0),设P(x,y),则-x,-y),
所以·-x)+(-y)2=0,得x2+y2=2,
因为点P在双曲线上,所以x2-y2=1,解得|y|=,所以△PF1F2的面积为F1F2·|y|==1,所以B正确;
对于C,F1(-,0)到渐近线x±y=0的距离为=1,所以C错误;
对于D,由于 F1(-,0),所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为,所以圆的方程为x2+y2=2,所以D错误.
故选AB.
7.答案　6+
解析　设椭圆对应的参数为a1,b1,c,双曲线对应的参数为a2,b2,c,
由于线段PF1的垂直平分线过F2,所以F1F2=PF2=2c.
根据双曲线和椭圆的定义有两式相减得4c=2(a1-a2),即a1-a2=2c,所以a1=2c+a2.
所以≥6+2,当且仅当c=2a2时取等号,
故的最小值为6+.
8.解析　(1)当BF⊥AF时,BF=,
∵AF=BF,∴a+c=,则a2+ac=c2-a2,
故(e-2)(e+1)=0,所以e=2(e=-1舍去).
(2)证明:由=2,得c=2a, 故双曲线C的方程为=1,设B(x0,y0),x0>0,y0>0,
当x0≠c时,tan∠BAF=,tan∠BFA=,
则tan 2∠BAF=
=,
因为B在双曲线C上,所以-a2),
则tan 2∠BAF=
==tan∠BFA,故∠BFA=2∠BAF.
当x0=c时,BF⊥AF,则AF=BF,∴∠BFA=90°,∠BAF=45°,∴∠BFA=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.
9.解析　(1)由题意知a=2,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±2y=0,所以,所以b2=3.
所以双曲线的方程为=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程代入双曲线方程,得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.
所以所以
由,得(16t,3t),
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
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