苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程 复习提升（Word版 含答案）

第三章圆锥曲线与方程复习提升
易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　　
易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.已知△ABC的周长是20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是　　　　.
2.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清而致错
3.设P(x,y),若=8,则点P的轨迹方程为(　　)
A.=1
C.=1
4.(多选)(2022江苏南京师范大学苏州实验学校质量调研)已知方程mx2+ny2=1(m,n∈R),则(　　)
A.当mn>0时,方程表示椭圆
B.当mn<0时,方程表示双曲线
C.当m=0,n>0时,方程表示两条直线
D.方程不能表示抛物线
易错点3　忽略焦点位置而致错
5.若椭圆=1(m>0)的焦距为2,则m的值是(　　)
A.3　　　　B.15　　　　C.3或5　　　　D.1或5
6.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.
易错点4　忽视判别式对参数的限制而致错
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为4,一条渐近线方程为y=x.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=k(x-1)与双曲线C相交于不同的两点,求实数k的取值范围.
易错点5　忽视直线的斜率不存在的情况而致错
8.如图,点O是坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点M,离心率e=,点P在椭圆C上,延长PF1交椭圆C于点Q,点R是PF2的中点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,试求S的最大值.
思想方法练　　　　　　　　　　　　　　
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,求此动圆圆心的轨迹方程.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
2.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
3.已知点A(1,0),B(5,1),点P为抛物线C:y2=4x上任意一点,则PA+PB的最小值为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.
4.已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且AB=a(a是常数且a≥1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值.
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
5.已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是(　　)
A.y2=16x
B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y
D.y2=16x或x2=8y
6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为α,且cos α=,则双曲线的离心率等于　　　　.
答案全解全析
易混易错练
1.答案　=1(x≠0)
解析　由题意可知AC+AB=20-8=12>BC=8,则点A的轨迹是焦点在y轴上,中心为原点的椭圆,且点A不在y轴上,2a=12,c=4,故b2=20,所以点A的轨迹方程为=1(x≠0).
2.答案　x2-=1(λ≠0,x≠±1)
解析　由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,
所以kPM·kPN=·=λ,整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).
3.B　设F1(0,2),由题意可知,点P(x,y)到点F1(0,2)的距离与其到点F2(0,-2)的距离之和为定值8,并且8>4=F1F2,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中2a=8,2c=4,所以a=4,c=2,所以b2=a2-c2=16-12=4,所以点P的轨迹方程为=1,故选B.
4.BCD　取m=n=1,此时方程表示圆,故A错误;
当mn<0时,方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线,故B正确;
当m=0,n>0时,方程表示两条直线y=±,故C正确;
方程不含有一次项,故它不能表示抛物线,故D正确.
5.C　由椭圆的焦距为2,知c=1,当焦点在x轴上时,a2=4,b2=m,∴4-m=1,即m=3;当焦点在y轴上时,a2=m,b2=4,∴m-4=1,即m=5,∴m的值为3或5.故选C.
易错警示
　　涉及椭圆的标准方程的问题,如果没有明确指出椭圆焦点的位置,一般都要分两种情况进行讨论,不能想当然地认为焦点在x轴上或在y轴上.
6.答案　2或
解析　解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则或.
又b2=c2-a2,所以=3或,所以e2=4或e2=,所以e=2或e=.
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则有或,
所以或,亦可得到e=或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或.
解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e=或e=2;
当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,
则离心率e==2或e=.
综上可得,双曲线的离心率为2或.
7.解析　(1)由条件可知所以所以双曲线C的方程为=1.
(2)联立消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,
因为l与双曲线交于不同的两点,
所以
解得-1故k的取值范围为∪∪.
易错警示
　　解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程并消元后得到的方程是不是一元二次方程,即讨论二次项系数是不是0.
8.解析　(1)由题意得解得a=2,b=,c=1,∴椭圆C的方程为=1.
(2)连接OR,PO,
∵O,R分别为F1F2,PF2的中点,∴OR∥PF1,
∴△PF1R与△PF1O同底等高,
∴,∴S==S△PQO.
①当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=;
②当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),且P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0.
联立得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,
则x1+x2=-,
∴PQ=·,
又点O到直线PQ的距离d=,
∴S=PQ·d=6,
令a=3+4k2,则a∈(3,+∞),
则S=6,
∵a∈(3,+∞),
∴∈,
∴-+1∈(0,1),∴S∈.
综上所述,S∈,则S的最大值为.
思想方法练
1.解析　两定圆圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1,O2(3,0),r2=9,
根据题意直接画出图形,借助图形得出相关关系,体现了数形结合思想.
如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则MO1=1+R,MO2=9-R,
∴MO1+MO2=10>O1O2=6,故点M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b=4,故动圆圆心的轨迹方程为=1.
2.解析　(1)设椭圆方程为=1(a>b>0).
因为直线y=x-与该椭圆相切,
所以方程组只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,
所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN==2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
Δ=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)>0,
所以x1+x2=,
所以PQ=|x1-x2|
=
=2,
同理可得,MN=2.
建立四边形PMQN的面积关于k的函数,再结合不等式求最值,充分体现了函数与方程思想.
所以S四边形PMQN=
=4×
=4×.
因为4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以∈,
所以4× ∈.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.
3.A　易知A点为抛物线y2=4x的焦点,设抛物线的准线为l,则l:x=-1,分别过点P,B作l的垂线,交l于点H,B',如图,则有PA+PB=PH+PB≥BB'=6,
将抛物线上一点到焦点的距离转化为其到准线的距离,体现了转化与化归思想.
当且仅当P,B,B'三点共线时等号成立,所以其最小值为6.故选A.
4.解析　设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3,A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B',连接AA',MM',BB',AF,BF,如图所示.
由抛物线的定义,知AF=AA'=y1+,
将抛物线上一点到焦点的距离转化为其到准线的距离,充分体现了转化与化归的思想.
所以y1=AF-.
又M是线段AB的中点,
所以y2=≥
=(2a-1),
当且仅当AB过焦点F时,等号成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,点M到x轴的距离最小,最小距离为(2a-1).
5.C　当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点为(0,-2)或(4,0).
对焦点的不同进行分类讨论,体现了分类讨论思想.
当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),则p=8,
∴方程为y2=16x;
当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,
∴方程为x2=-8y.故选C.
6.答案　或
解析　设渐近线y=x的倾斜角为θ,
根据双曲线渐近线的斜率与1的大小关系进行分类讨论,充分体现了分类讨论思想.
当0<<1时,依题意有α=2θ,由于cos α=,所以cos 2θ=,即,解得tan2θ=,即,故离心率e=;当>1时,依题意有α=2(90°-θ)=180°-2θ,由于cos α=,所以cos(180°-2θ)=,即,解得tan2θ=2,即=2,故离心率e=.
综上,双曲线的离心率等于或.
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