专题强化练3 椭圆与双曲线的综合应用
一、选择题
1.(2022江苏盐城五校期中联考)若椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1(m,n>0)有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则PF1·PF2的值是( )
A.(a2-m)
C.a2-m D.a2-m2
2.(2021江苏南京田家炳高级中学月考)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),以及动点C是△ABC的三个顶点,且sin A·sin B+cos C=0,则动点C的轨迹Γ的离心率是( )
A.
C.
3.(2020江苏上冈高级中学期中)已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点,若PO=PF,则S△OPF的最小值为( )
A. C.1 D.2
4.(多选)(2021江苏南通如东高级中学、泰州高级中学联考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,且PF1=2PF2,若sin∠F1PF2=,则下列结论正确的是( )
A.e= B.e=4
C.b=a
5.(2021江苏扬州宝应中学期中)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于D,E两点,DF1=5F1E,DF2=,且DF2⊥x轴.若点P是圆O:x2+y2=1上的一个动点,则PF1·PF2的取值范围是( )
A.[3,5] B.[2,5]
C.[2,4] D.[3,4]
6.(2021江苏南通如皋期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,关于原点对称的两点A,B分别在双曲线的左、右两支上,·且点C在双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. D.2
7.(2021江苏常州北郊高级中学期中)我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:=1(a>b>0),A1,A2,B1,B2分别为左、右、上、下顶点,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是( )
A.A1F1·A2F2=F1
B.∠F1B1A2=90°
C.PF1⊥x轴,且PO∥A2B1
D.四边形A1B2A2B1的一个内角为60°
二、填空题
8.(2022江苏南通如皋、盐城射阳联考)椭圆与双曲线有相同的焦点F1(-c,0),F2(c,0),椭圆短轴的一个端点为B,直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,若椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2= ;3的最小值为 .
9.(2021江苏南通海安期中)F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,PF1=10,过F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为 .
三、解答题
10.(2022河南重点高中联考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点A是椭圆C的右顶点,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N,当△AMN的面积为时,求k的值.
11.(2021江苏镇江期中)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的长轴长为8,定直线x=的方程为x=,与椭圆C1共焦点的双曲线C2的离心率是椭圆C1的离心率的2倍.
(1)求椭圆C1和双曲线C2的标准方程;
(2)过点M(4,1)的直线l与双曲线C2交于P,Q两点,且M为线段PQ的中点,求直线l的方程.
答案全解全析
一、选择题
1.D 由题意,得PF1+PF2=2a,|PF1-PF2|=2m,
两式平方并相减,得4PF1·PF2=4a2-4m2,所以PF1·PF2=a2-m2.故选D.
2.D 由sin Asin B+cos C=0可得sin Asin B-cos(A+B)=0,
即sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=0,
即2sin Asin B=cos Acos B,
所以tan Atan B=,所以kAC·kBC=-,
设C(x,y),x≠±1,所以·,即x2+=1(x≠±1),所以a2=1,b2=,则c2=a2-b2=,则轨迹Γ的离心率e=.故选D.
3.B 由题意知,双曲线C:-y2=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,设F(c,0),P(xP,yP)在渐近线y=x上,
因为PO=PF,所以点P的横坐标xP=,代入渐近线方程可得yP=,所以点P的坐标为,所以S△OPF=≥2,当且仅当时,即a=1时,等号成立,所以S△OPF的最小值为.故选B.
4.ACD ∵PF1=2PF2,∴由双曲线的定义可知PF1-PF2=PF2=2a,∴PF1=4a.
由sin∠F1PF2=,得cos∠F1PF2=±,在△PF1F2中,
由余弦定理可得cos∠F1PF2=,
解得=4或=6,∴c=2a或c=a,∴b=a或b=a,e=2或e=,故选ACD.
5.A 由题意可知D(c,,将D,E的坐标代入椭圆方程得
解得a2=8,b2=4,
所以椭圆方程为=1,
所以椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).因为P在圆x2+y2=1上,所以可设P(cos θ,sin θ),
所以PF1·PF2=·∈[3,5],所以PF1·PF2的取值范围为[3,5].故选A.
6.B 设B(x,y),则A(-x,-y),
设F(c,0),C(m,n),
则=(m-c,n).
∵3,
∴ 即C(4c-3x,-3y).
易得=(c+x,y),
∴·=(c+x,y)·(x-c,y)=0,即c2=x2+y2①.
又点B,C均在双曲线上,∴=1②,=1③.
由①②③结合c2=a2+b2可得a2+2c2=3a,
两边同时除以a2可得1+2e2=3,
两边同时平方,得(1+2e2)2=9(2e2-1),
即2e4-7e2+5=0,∴(2e2-5)(e2-1)=0,
又双曲线的离心率e>1,∴e2=,即e=.故选B.
7.B 易知A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0).
对于A,若A1F1·A2F2=F1,则(a-c)2=(2c)2,∴e=,不满足题意,故A不符合条件;
对于B,若∠F1B1A2=90°,则A2,
∴(a+c)2=a2+a2+b2,∴c2+ac-a2=0,∴e2+e-1=0,
解得e=或e=(舍去),故B符合条件;
对于C,若PF1⊥x轴,且PO∥A2B1,则P,且kPO=,∴,解得b=c,∵a2=b2+c2,
∴a=c,∴e=,不满足题意,故C不符合条件;
对于D,若四边形A1B2A2B1的一个内角为60°,则三角形A1B2B1是等边三角形,∴a=b,
∴e2=1-,∴e=,故D不符合条件.故选B.
二、填空题
8.答案 1;2
解析 由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,双曲线的实轴长为2a',虚轴长为2b',B为椭圆的上顶点,因为直线F1B与双曲线的一条渐近线平行,所以,即,平方得,化简得,所以,所以,
即e2=,所以e1e2=1.
因为e1,e2均为正数,所以3≥2,当且仅当3,e1e2=1,即时取等号,所以3的最小值为2.
9.答案 2
解析 延长F1M,交PF2的延长线于点N,如图所示:
由椭圆C:=1可得a=8,
由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=16,
又PF1=10,所以PF2=6.
易得△PNM≌△PF1M,所以PN=PF1=10,
所以NF2=PN-PF2=10-6=4,易得OM为△F1F2N的中位线,所以OM=NF2=2.
三、解答题
10.解析 (1)因为椭圆C的离心率为,所以e=,
即c2=a2,又c2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=2b2.
双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,
将y=±x代入椭圆C的方程,消去y,得=1,即=1,所以x2=b2,解得x=±b,
则双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点的坐标为.
所以以这四个交点为顶点的四边形的面积为4×,解得b2=2,则a2=4.
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)由消去y,可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,则Δ=16k4-4(1+2k2)(2k2-4)=16+24k2>0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=.
所以MN=··.
又点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积S=MN·d=,化简得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.
11.解析 (1)由椭圆C1:=1(a>b>0)的长轴长为8,得2a=8,即a=4,
由,解得c=,
所以b==3,
故椭圆C1的标准方程为=1,离心率e1=.
设双曲线的标准方程为=1(a1>0,b1>0),则c2=7=,
由题意可知双曲线的离心率为,则,解得a1=2,所以b1=,
所以双曲线C2的标准方程为=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则 两式作差可得(x1+x2)·(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,
即×2×(y1-y2)=0,
即=3,所以直线l的斜率为3,
所以直线l的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.
8专题强化练4 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1.(2020江苏南通第一次教学质量调研)过点M(1,0)的直线l与椭圆+y2=1交于A,B两点,若AM=2MB,则直线l的斜率为( )
A.
C.±
2.(2021江苏南京师大附中阶段检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点H,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过点A,B作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,如图所示.
①以线段AB为直径的圆与准线l相切;
②以A1B1为直径的圆经过焦点F;
③A,O,B1(其中点O为坐标原点)三点共线;
④若已知点A的横坐标为x0,且T(-x0,0),则直线TA与该抛物线相切.
则以上说法中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(多选)(2022江苏南通如皋中学月考)设F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若PF1=OP,则下列说法正确的是( )
A.F2P=b
B.双曲线的离心率e=
C.双曲线的渐近线方程为y=±x
D.点P在直线x=a上
4.(多选)(2022山东德州二模)抛物线C:x2=4y的焦点为F,P为C上一动点,设直线l与抛物线C相交于A,B两点,点M(2,2),则下列结论正确的是( )
A.PM+PF的最小值为3
B.抛物线C上的动点P与点H(0,3)之间的距离的最小值为3
C.存在直线l,使得A,B两点关于直线x+y-3=0对称
D.若分别过A,B的抛物线的两条切线交准线于点T,则A,B两点的纵坐标之和的最小值为2
二、填空题
5.(2021江苏南京五校联合调研)设F为抛物线C:y2=6x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则线段AB的中点到x轴的距离为 .
6.(2021江苏徐州沛县歌风中学学情调研)设过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)的直线l与双曲线的一条渐近线垂直相交于点A,则点A的横坐标可用a,c表示为 ;若l与另一条渐近线交于点B,且,则C的离心率为 .
三、解答题
7.(2020吉林长春实验中学期中)如图所示,斜率为1的直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A,B两点,M为抛物线弧上的动点.
(1)若AB=8,求抛物线的方程;
(2)求S△ABM的最大值.
8.(2021江苏南通海门中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1的焦点在x轴上.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),B是椭圆C的上顶点,直线BF1与椭圆C的另一交点为M.
①求椭圆C的方程;
②求MF1的长.
9.(2021江苏南通平潮高级中学期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰为椭圆+x2=1(a>1)的一个顶点,且抛物线的通径(过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦)的长等于椭圆的两准线间的距离.
(1)求抛物线及椭圆的标准方程;
(2)过点F作两条直线l1,l2,且l1,l2的斜率之积为-1.
①设直线l1交抛物线于A,B两点,l2交抛物线于C,D两点,求的值;
②设直线l1,l2与椭圆的另一个交点分别为M,N,求△FMN面积的最大值.
答案全解全析
一、选择题
1.C 设直线l的方程为my=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立消去x,得(m2+2)y2+2my-1=0,∴Δ>0,y1+y2=-.
∵AM=2MB,即,
∴0-y1=2(y2-0),即y1=-2y2.
联立解得m2=.
∴m=±,∴直线l的斜率k=.故选C.
2.D 对于①,设AF=a,BF=b,则AA1=a,BB1=b,所以线段AB的中点到准线的距离为,所以以线段AB为直径的圆与准线l相切,故①正确;对于②,连接A1F,B1F,如图,
因为AA1=AF,BB1=BF,∠BAA1+∠ABB1=180°,
所以(180°-2∠AFA1)+(180°-2∠BFB1)=180°,所以2(∠AFA1+∠BFB1)=180°,
所以∠AFA1+∠BFB1=90°,即∠A1FB1=90°,
所以以A1B1为直径的圆经过焦点F,故②正确;对于③,设直线AB:x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入抛物线方程,化简得y2-2pmy-p2=0,则Δ>0,y1y2=-p2,又,
所以·y2=·y1=-y1,
所以∥,所以A,O,B1三点共线,故③正确;对于④,由题可知A(x0,),则kAT=,则直线AT:x=·y-x0,将此方程代入抛物线方程,化简得y2-2py+2px0=0,
则Δ=-8px0=0,所以直线TA与该抛物线相切,故④正确.故选D.
3.ABD 由双曲线的性质可知,双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,焦点F1(-c,0),F2(c,0).
不妨设点P在渐近线bx-ay=0上,
所以F2P==b,故A正确;
在Rt△OPF2中,OP==a,
又PF1=OP,所以PF1=a,
在△OPF1中,根据余弦定理可知,cos∠F1OP=,
又cos∠F1OP=cos(180°-∠F2OP)=-cos∠F2OP=-,所以,化简,得3a2=c2,所以=3,即e2=3,解得e=或e=-(舍),故B正确;
由e=,得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故C错误;
由题意及上述分析可设P(x,x)(x>0),由OP=a,可知OP=x=a,解得x=a,故D正确.故选ABD.
4.AD 由题意可得,抛物线的准线方程为y=-1.对于A,如图,过M作准线的垂线,垂足为N,此时MN与抛物线的交点P能使PM+PF的值最小,连接PF,则PF=PN,则PM+PF=PM+PN,此时(PM+PF)min=2+1=3,故A正确;
对于B,设P(x,y),则x2=4y,所以PH=,根据二次函数的性质,知当y=1时,PH取得最小值,此时PHmin=,故B错误;
对于C,假设存在直线l,使得A,B两点关于直线x+y-3=0对称,设直线l的方程为x-y+m=0,A(xA,yA),B(xB,yB),线段AB的中点为Q(x0,y0),由得x2-4x-4m=0,所以Δ=16+16m>0,解得m>-1,则xA+xB=4,所以x0==2,y0=x0+m=2+m,因为点Q在直线x+y-3=0上,
所以2+2+m-3=0,解得m=-1,这与直线l与抛物线相交于两个点矛盾,故不存在这样的直线l,故C错误;
对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y,得y=x2,可得切线AT的方程为y-y1=x1(x-x1),即y=,同理可得,切线BT的方程为y=,
由解得由题意知,T在准线y=-1上,
所以x1x2=-1,所以x1x2=-4,
所以y1+y2=(x1+x2)2+2,
所以当x1+x2=0时,y1+y2取得最小值,此时(y1+y2)min=2.故D正确.
二、填空题
5.答案 3
解析 依题意可知抛物线C:y2=6x的焦点为F,直线AB的方程为y=,代入抛物线方程得x2-21x+=0,可得xA+xB=21,设线段AB的中点坐标为(x0,y0),∴x0=,∴y0=,故线段AB的中点到x轴的距离为3.
6.答案
解析 易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,不妨设过右焦点F(c,0)的直线l与渐近线y=x垂直,可得直线l的方程为y=-(x-c),
联立解得
所以A,联立
解得所以B,
因为,所以,化简得3c4-11a2c2+8a4=0,所以3e4-11e2+8=0,则e2=或e2=1(舍去),解得e=(负值舍去),故答案为.
三、解答题
7.解析 (1)由条件知lAB:y=x-,与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p2=0,则xA+xB=3p.由抛物线的定义得AB=xA+xB+p=4p.又因为AB=8,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)解法一:由(1)知AB=4p,且lAB:y=x-,设M,
则M到直线AB的距离d=.
因为点M在直线AB的上方,所以<0,
则d=
=.
当y0=p时,dmax=p.
故S△ABM的最大值为p2.
解法二:由(1)知AB=4p,且lAB:y=x-,
设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,
代入抛物线方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.
令Δ=4(m-p)2-4m2=0,解得m=.
所以与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+,
两平行直线间的距离d=p,故S△ABM的最大值为p2.
8.解析 (1)因为椭圆C:=1的焦点在x轴上,
所以解得k>1+,
所以实数k的取值范围为k>1+.
(2)①由题意知椭圆的半焦距c=1,所以(k2-1)-k=1,解得k=3或k=-1(舍去),
所以椭圆C的方程为=1.
②由①知,B(0,),则,直线BF1:y=,
由化简可得5x2+8x=0,解得x=0或x=-,所以点M的横坐标为xM=-,则点M的纵坐标为yM=-,所以MF1=.
9.解析 (1)由题意得椭圆的右顶点为(1,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
∴p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x.∵抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离,∴2p=4=,
∴a2=2c=b2+c2=c2+1,∴c=1,∴a=,
∴椭圆的标准方程为+x2=1.
(2)①设l1:y=k(x-1),代入y2=4x消元得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=1,
∴AB=·|x1-x2|=·,
易知kCD=-,
同理可得CD==4(k2+1),则.
②设l1:y=k(x-1),代入椭圆方程+x2=1,消元得k2(x-1)2+2x2-2=0,即(x-1)·[(k2+2)x+2-k2]=0.
∵xF=1,xM=,
∴FM=·|xF-xM|=·,
同理,FN=·,由l1与l2的斜率之积为-1可得l1⊥l2,
∴S△FMN=FM·FN=·.
∵k2+≥2=2(当且仅当k=±1时,等号成立),
令t=,则t≥=2(当且仅当k=±1时,等号成立),k2+=t2-2,
∴S△FMN=,
∵y=2t+在 [2,+∞)上是增函数,
∴当t=2,即k=±1时,ymin=,
∴(S△FMN)max=,
∴△FMN面积的最大值为.
9专题强化练5 定点、定值及探究性问题
一、选择题
1.(2020四川成都期中)已知双曲线=1,O为坐标原点,P,Q为双曲线上两动点,且OP⊥OQ,则=( )
A.2 B.1 C.
2.如图,在抛物线y2=2px(p>0)的准线上任取一点P(异于准线与x轴的交点),连接PO并延长,交抛物线于A,过P作平行于x轴的直线交抛物线于B,则直线AB与x轴的交点坐标为( )
A.与P点位置有关
B.(2p,0)
C.(p,0)
D.
3.(2021浙江金华曙光学校阶段考试)黄金分割比ω=≈0.618被誉为“人间最巧的比例”.离心率e=的椭圆被称为“优美椭圆”.在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,“优美椭圆”C上有一动点P(异于椭圆的左、右顶点),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2为( )
A.
二、填空题
4.(2020江苏南京六校联合体期中)若直线l与抛物线y2=8x交于两点,且两交点的纵坐标分别为y1,y2,若y1·y2=-3,则直线l恒过定点 .
5.(2020江苏南通如东高级中学、栟茶高级中学等四校期中)已知抛物线y2=2px(p>0)和动直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),连接OA,OB,记直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,且kOAkOB=恒成立,则当k变化时,直线l恒经过的定点为 .
三、解答题
6.(2021江苏连云港期中)如图,过抛物线y2=4x的焦点F任作直线l,与抛物线交于A,B两点,AB与x轴不垂直,且点A位于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.
(1)若,求AB所在直线的方程;
(2)求证:为定值.
7.(2021江苏泰州姜堰第二中学期中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点与上顶点之间的距离为2,且经过点(2,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C相交于P,Q两点,M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足,求证:△PQN的面积S为定值.
8.(2022江苏南京五校调研)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,1),P是动点,且kOP+kOA=kPA.
(1)求动点P的轨迹C的方程,并说明它是什么曲线;
(2)过点A作斜率为1的直线与C相交于点B,若点T(0,t)(t>0),直线AT与BT分别交C于点A1,B1,设直线A1B1的斜率为k,是否存在常数λ,使得t=λk 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.D 由题意设直线OP的方程为y=kx,直线OQ的方程为y=-x,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则由 ,
由 ,
所以,
即.
故选D.
2.D 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,设P,t≠0,则直线OP的方程为y=-x,与抛物线方程联立可得A,在y2=2px中,令y=t,可得B,
所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为y-t=·,令y=0,解得x=,所以直线AB与x轴的交点坐标为.故选D.
3.A 设P(m,n)(m≠±a),将(m,n)代入椭圆方程,得=1,由离心率e=,可得,
∴,整理得n2=-(m2-a2),
又k1=,
∴k1k2=.
故选A.
二、填空题
4.答案
解析 由题意设直线l:x=my+n,联立 消去x并整理,得y2-8my-8n=0,
则y1·y2=-8n=-3,解得n=,故直线l:x=my+,即m(y-0)=x-,故直线l恒过定点.
5.答案
解析 联立消去y,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,
∴x1+x2=.
∵kOAkOB=,∴y1y2=x1x2,
∴y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=·,
解得b=,∴y=kx+,
令x=-,得y=0,
∴直线l过定点.
三、解答题
6.解析 易知直线l的斜率不为0,F(1,0),设直线l:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)∵A点在x轴上方,∴y1>0,y2<0,
由得y2-4ty-4=0,
∴y1+y2=4t,y1y2=-4.
∵,∴(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),
∴-y1=2y2,
由得代入y1y2=-4,得8t(-4t)=-4,∵y1>0,∴t>0,∴t=,
∴AB所在直线的方程为2=0.
(2)证明:设线段AB的中点为N(xN,yN),∴yN==2t,xN=2t2+1,∴N(2t2+1,2t),
∴AB的中垂线l':y-2t=-t(x-2t2-1),
令y=0,得D(2t2+3,0),
∴DF=|2t2+3-1|=2t2+2,
易求得AB=
=
=
==4t2+4,
∴=2(定值).
7.解析 (1)椭圆C的左顶点为(-a,0),上顶点为(0,b).因为左顶点与上顶点之间的距离为2,
所以,即a2+b2=12①.
因为椭圆经过点(2,),
所以=1,②
由①②解得a2=8,b2=4或a2=6,b2=6(舍去),所以椭圆C的方程为=1.
(2)证明:当直线PQ的斜率不存在时,N(±2,0),直线方程为x=±,易得PQ=.
此时S=.
当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=kx+m(m≠0),
联立得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-4)=0,
由Δ=(4km)2-8(1+2k2)(m2-4)>0,得0设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,因此PQ的中点为M.∵,所以N,
将点N的坐标代入椭圆方程,得=1,
化简得2k2+1=m2,符合(*)式.
记点O到直线l的距离为d,
则S=4S△OPQ=2PQ×d=2|x1-x2|×d
=2,将2k2+1=m2代入,得S=.
综上,△PQN的面积S为定值.
8.解析 (1)设P(x,y)(x≠-2且x≠0),
由题意可得kOP=,
又kOP+kOA=kPA,所以,整理可得x2=4y(x≠-2且x≠0),
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y,其中x≠0且x≠-2.它表示以(0,1)为焦点的抛物线,去掉(0,0),(-2,1)两点.
(2)存在.由题意,知直线AB的方程为y-1=x+2,即y=x+3,
代入曲线C的方程可得x2-4x-12=0,
解得x=6或x=-2,可得B(6,9).
设A1().易得直线AT的方程为y=x+t,代入曲线C的方程可得x2-2(t-1)x-4t=0,所以-2·=-4t,所以=2t,所以=t2,所以A1(2t,t2).
同理可得,直线BT的方程为y=x+t,
代入曲线C的方程可得x2+x-4t=0,
所以6·=-4t,所以,所以,所以B1.
由题意可得k=,所以t=3k,
又t=λk,所以λ=3,满足题意.
所以存在常数λ=3,使得t=λk.
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