苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.3 第1课时 等差数列前n项和公式及应用 同步练习(Word含答案

4.2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列前n项和公式及应用
基础过关练
题组一　等差数列中基本量的计算　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022黑龙江大庆实验中学期中)在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,Sn是其前n项和,若ak=S6,则k=(　　)
A.15　　　　B.16　　　　C.17　　　　D.18
2.(多选)(2021江苏盐城响水中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=8,则(　　)
A.Sn=2n2-6n　　　　B.Sn=n2-3n C.an=4n-8　　　　D.an=2n
3.(2021江苏宿迁桃州中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a5=　　　　.
题组二　数列的前n项和Sn与an的关系
4.(多选)(2022江苏连云港期中)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+2a3=S5,则下列结论中正确的是(　　)
A.S7是Sn的最小值　　　　B.S13=0
C.S4=S9　　　　D.a7=0
5.(1)已知数列{bn}的前n项和Tn=2n2+n+3,求数列{bn}的通项公式;
(2)设各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn=(an+1)2,求an.
题组三　求等差数列的前n项和
6.在数列{an}中,an=+…+(n∈N*),又bn=,则数列{bn}的前n项和Sn为(　　)
A.
7.已知数列{an}的通项公式为an=lg,则其前n项和Sn=　　　　.
8.(2021河北邯郸摸底考试)已知各项均不为0的数列{an}满足a1=anan+1(n∈N*).
(1)证明数列为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{anan+1}的前n项和,证明:Sn<.
能力提升练
题组一　数列的前n项和Sn与an的关系　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)(2022江苏常州教育学会质量监测)已知等差数列{an}的公差d≠0,前n项和为Sn,若S6=S12,则下列结论中正确的有(　　)
A.a1∶d=-17∶2
B.S18=0
C.当d>0时,a6+a14>0
D.当d<0时,|a6|>|a14|
2.(2021江苏无锡锡山高级中学期中)数列{an}满足a1=(n∈N*),其中Sn为数列{an}的前n项和,则an=　　　　,若不等式(t-2)an≥2n2-5n-12对任意n∈N*恒成立,则实数t的最小值为　　　　.
3.(2020浙江衢州二中期末)设数列{an}(非常数列)的前n项积为Tn,an=λ-Tn(λ为常数),且是等差数列.
(1)求λ的值及数列{Tn}的通项公式;
(2)设Sn是数列{bn}的前n项和,且bn=(2n+3)Tn,求S2n-Sn-2n的最小值.
题组二　求等差数列的前n项和
4.(2022江苏泰州中学期中)已知等差数列{an},且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}的前13项之和为(　　)
A.24　　　　B.39　　　　C.104　　　　D.52
5.(2021江苏盐城伍佑中学月考)在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)
A.S4C.S66.(2021浙江精诚联盟开学考试)设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2.若存在常数λ,使得a2n=λan(n∈N*)恒成立,则Sn取得最大值时,n=　　　　.
7.(2021湖南长沙长郡中学月考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,=Sn+1+Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由ak=S6,得a1+(k-1)d=6a1+d,
将a1=0代入,得(k-1)d=15d,因为d≠0,所以k-1=15,解得k=16.
2.AC　设等差数列{an}的公差为d,
则
解得
∴an=a1+(n-1)d=-4+4(n-1)=4n-8,Sn=na1+=-4n+2n(n-1)=2n2-6n.
故选AC.
3.答案　8
解析　∵{an}是等差数列,∴S9==9a5=72,∴a5=8.
4.BCD　设等差数列{an}的公差为d.
由2a1+2a3=S5,得2a1+2(a1+2d)=5a1+d,即a1+6d=0,所以a7=0,故D正确;
对于A,S7=7a1+d=7(a1+3d)=-21d,无法判断其是不是Sn的最小值,故A错误;
对于B,S13=×13=13a7=0,故B正确;
对于C,S9-S4=a9+a8+a7+a6+a5=5a7=0,所以S4=S9,故C正确.故选BCD.
5.解析　(1)∵Tn=2n2+n+3,∴当n=1时,b1=T1=2×12+1+3=6;
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=2n2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.
当n=1时,b1=6≠4×1-1,
∴bn=
(2)当n=1时,a1=S1=(a1+1)2,所以a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1+1)2,即4an=+2an-1+1),
∴-2(an+an-1)=0,
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
∵数列{an}的各项均为正数,∴an+an-1>0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2,
∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
6.A　因为an=+…+·,
所以bn=,
所以Sn=4,
故选A.
7.答案　lg(n+1)
解析　由已知得an=lg(n+1)-lg n,
所以Sn=a1+a2+…+an=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+…+[lg(n+1)-lg n]=lg(n+1).
8.解析　(1)由an-an+1=anan+1,两边同时除以anan+1,得,又,
∴是首项为,公差为的等差数列,
∴n,∴an=.
(2)证明:由(1)得anan+1=,
∴Sn=.
∵n∈N*,∴,
即Sn<.
易错警示
　　在应用裂项相消法求和时应注意:①通项裂项后,是否恰好等于相应的两项之差;②在正、负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,是否还有其他项.
能力提升练
1.ABC　由S6=S12,得S12-S6=a7+a8+a9+a10+a11+a12=0,所以3(a9+a10)=0,所以a9+a10=0.
对于A,由a9+a10=0,得2a1+17d=0,可得a1∶d=-17∶2,故A正确;
对于B,S18==0,故B正确;
对于C,a6+a14=a9+a11=a9+a10+d=d,当d>0时,a6+a14=d>0,故C正确;
对于D,当d<0时,a6+a14=d<0,则a6<-a14,因为d<0,所以a6>0,a14<0,所以|a6|<|a14|,故D不正确.
2.答案　·2n;
解析　因为Sn=an+1-2n+1-,
所以当n≥2时,Sn-1=an-2n-,
所以an=Sn-Sn-1==an+1-an-2n,
所以an+1=2an+2n,即①,
又a1=,
所以a2=7,所以,满足①式,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以,
所以an=·2n.
因为(t-2)an≥2n2-5n-12对任意n∈N*恒成立,所以(t-2)··2n≥2n2-5n-12对任意n∈N*恒成立,即t-2≥对任意n∈N*恒成立,
所以t-2≥,令bn=,则bn+1-bn=.
所以当n<5时,bn+1-bn>0,即bn+1>bn;
当n=5时,b5=b6;
当n>5时,bn+1-bn<0,即bn+1所以,所以t-2≥,即t≥,所以实数t的最小值为.
3.解析　(1)当n≥2时,=λ-Tn,
即Tn=λTn-1-TnTn-1,n≥2,
即λTn-1-Tn=TnTn-1,n≥2,
所以=1,n≥2,
因为是等差数列,所以λ=1,公差d=1,
令n=1,则T1=,所以=2,
所以=2+(n-1)·1=n+1,
所以数列{Tn}的通项公式为Tn=.
(2)由(1)及已知得bn=(2n+3)Tn=2+,
所以S2n-Sn-2n=+…++…+,
令cn=+…+,
所以cn+1-cn=>0,
所以cn+1>cn,所以数列{cn}是递增数列,所以,
即S2n-Sn-2n的最小值为.
4.D　由题意知3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=3×2a4+2×3a10=6(a4+a10)=12a7=48,
所以a7=4,所以S13==13a7=13×4=52.
5.B　在等差数列{an}中,公差d==2,
则an=a2+(n-2)d=-6+2n-4=2n-10,
所以a1=-8,
所以Sn==n(n-9),
则S4=4×(-5)=-20,S5=5×(-4)=-20,S6=6×(-3)=-18,
所以S4=S5,S6>S5,故选B.
6.答案　18或19
解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
当n=1时,a2=λa1,
当n=2时,a4=λa2,所以
解得或(舍去),
所以Sn=na1+=n2+n,
记Tn=(n2+n),
所以.
当1≤n<18,n∈N*时,>1,此时Tn+1>Tn;
当n=18时,=1,此时Tn+1=Tn,即T18=T19;
当n>18,n∈N*时,<1,此时Tn+1所以Sn取得最大值时,n的值为18或19.
7.解析　(1)由=Sn+1+Sn,①
得=Sn+Sn-1(n≥2),②
①-②得=an+1+an(n≥2),
因为an>0,所以an+1-an=1(n≥2),
由a1=1,=a1+a2+a1,解得a2=2(a2=-1舍去),故n=1时也满足an+1-an=1,
因此数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.
(2)bn=··
=,
所以Tn=b1+b2+…+bn=+…+.
解题模板 数列中常见的裂项相消的形式:
(1);
(2);
(3);
(4).
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