苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及综合应用 同步练习(Word含答案

第2课时　等差数列前n项和的性质及综合应用
基础过关练
题组一　等差数列前n项和的性质　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是(　　)
A.0.5,0.5　　　　B.0.5,1
C.1,0.5　　　　D.0.5,2
2.(2021山西大学附属中学开学考试)已知等差数列{an}的前10项和为30,前30项和为210,则其前20项和为(　　)
A.100　　　　B.120　　　　C.390　　　　D.540
3.(多选)(2022江苏无锡青山高级中学期中)已知{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn,若S5S8,则下列结论正确的是　(　　)
A.d<0　　　　B.a7=0
C.S9>S5　　　　D.S17<0
题组二　等差数列的综合问题
4.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数的和为(　　)
A.765　　　　B.665　　　　
C.763　　　　D.663
5.(2021湖南长沙长郡一中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=23,Sn=360,当n>5时,Sn-5=183,则n=　　　　.
6.(2021陕西咸阳百灵中学月考)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且,则=　　　　.
7.(2020湖南长沙一中期末)已知等差数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1+a5=,S7=63.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn.
题组三　等差数列前n项和的实际应用
8.“嫦娥”奔月,举国欢庆.据科学计算,运载“嫦娥”飞船的“长征三号甲”火箭点火1分钟内通过的路程为2 km,以后每分钟内通过的路程都增加2 km,在到达离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是(　　)
A.10分钟　　　　B.13分钟
C.15分钟　　　　D.20分钟
9.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管数最少,那么剩余钢管的根数为　　　　.
10.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月为分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月应付款多少元 付清全部贷款后,买这件家电实际花费多少元
能力提升练
题组一　等差数列的综合问题　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)(2022广东中山第一中学统测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=2a6,a1>0,则下列说法正确的是(　　)
A.a11>0
B.a10=0
C.数列{an}是递减数列
D.S9为Sn的最大值
2.(2020河南濮阳期末)已知数列{an}的各项均为正数,且+…+=n2+n(n∈N*),则数列的前n项和为(　　)
A.n2+2n+1　　　　B.2n2+2n
C.3n2+n　　　　D.2n2+n
3.(2021江苏盐城一中、射阳中学等五校期中联考)已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,数列{bn}满足bn+1-bn=anbn,且b1=2.
(1)证明数列是等差数列,并求其通项公式;
(2)解关于n的不等式:题组二　等差数列前n项和的性质及综合应用
4.(2021江苏苏州星海中学期中)已知数列{an}中,a2=2,若对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an,则a4=　　　　,=　　　　.
5.(2022江苏扬州大学附属中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若ap=q,aq=p,且p≠q,则ap+q=　　　　;若Sp=q,Sq=p,则Sp+q=　　　　.
题组三　等差数列前n项和公式的实际应用
6.(2022江苏无锡第一中学期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,这些数列的前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项作差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列{an},其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为(　　)
A.184　　　　B.174　　　　C.188　　　　D.160
7.某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年所需的维护费用比上一年要增加10万元.
(1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(x∈N*)的函数关系;
(2)这套设备使用多少年,可使年平均利润最大 最大年平均利润为多少万元
答案全解全析
基础过关练
1.A　设此等差数列为{an},公差为d,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,前n项和为Sn,由S偶-S奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.
故S10=10a1+×0.5=15+12.5=27.5,解得a1=0.5.
2.A　设{an}的前n项和为Sn.由等差数列的性质得S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-30)=30+(210-S20),解得S20=100.故选A.
3.ABD　由S6=S7,可得S7-S6=a7=0,故B正确;
由S50,由S7>S8,可得S8-S7=a8<0,
所以a8S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0,所以S9因为等差数列{an}是递减数列,且a8<0,所以a9<0,
所以S17==17a9<0,故D正确.
4.B　被7除余2的自然数构成等差数列,设该等差数列为{an},则an∈N,其首项a1=2,公差d=7,则an=a1+(n-1)d=7n-5,n∈N*,又an<100,an∈N,∴7n-5<100,∴n<15,n∈N*,∴n的最大值为14,∴满足条件的最大的自然数为a14=93,∴这些数的和为×14=665.
5.答案　18
解析　由题意知S5=a1+a2+a3+a4+a5=23,当n>5时,Sn-Sn-5=an+an-1+an-2+an-3+an-4=177,两式相加并整理,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=23+177=200,所以a1+an=40,则Sn=n×=20n=360,解得n=18.
6.答案　6
解析　由,可设Sn=k(7n+5)·n,Tn=k(n+3)n,k≠0,
则a7=S7-S6=(7×7+5)×7k-(7×6+5)×6k=96k,
b7=T7-T6=(7+3)×7k-(6+3)×6k=16k,
则=6.
7.解析　(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d,由题意,得an>0,且
∴故an=2n+1.
解法二:设等差数列{an}的公差为d.
∵{an}是等差数列,且a1+a5=,
∴2a3=.又an>0,∴a3=7.
∵S7==7a4=63,∴a4=9,
∴d=a4-a3=2,∴an=a3+(n-3)d=2n+1.
(2)∵bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,
∴bn+1-bn=2n+3,易得b1=a1=3.
∴当n≥2时,
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2),
当n=1时,b1=3,满足此式,
∴bn=n(n+2),
∴,
∴Tn=+…+
=
=
=.
8.C　由题设条件知,火箭每分钟内通过的路程数构成以2为首项,2为公差的等差数列,设其前n项和为Sn,则Sn=2n+×2=n2+n=n(n+1),令Sn=240,解得n=15或n=-16(舍去).
9.答案　10
解析　由题意可知,从上到下各层钢管数构成了一个等差数列,最上面一层的钢管数为1,逐层增加1.设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,
则Sn=1+2+3+…+n=,n∈N*.
当n=19时,S19=190;
当n=20时,S20=210>200.
所以当n=19时,剩余钢管的根数最少,最少为10.
10.解析　购买家电时支付150元,则欠款为1 000元,每月付50元,则需20次付清,设交付150元后的每个月的付款数额依次构成数列{an},
则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
……
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,
即分期付款的第10个月应付款55.5元.
故{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,且1≤n≤20,n∈N*,
所以a1+a2+…+a20=×20=1 105,
所以付清全部贷款后,买这件家电实际花费1 105+150=1 255(元).
所以分期付款的第10个月应付款55.5元,付清全部贷款后,买这件家电实际花费1 255元.
能力提升练
1.BCD　设等差数列{an}的公差为d,∵a2=2a6,∴a1+d=2(a1+5d),又a1>0,
∴d=-a1<0,∴数列{an}是递减数列,∴C正确.
a11=a1+10d=a1+10a1<0,∴A错误.
a10=a1+9d=a1+9=0,∴B正确.
Sn=na1+,
其对应的抛物线开口向下,对称轴方程为n=,∵n∈N*,∴当n=10或n=9时,Sn取得最大值,∴D正确.
2.B　∵+…+=n2+n,①
∴当n=1时,=2,
当n≥2时, +…+=(n-1)2+(n-1),②
①-②并整理,得=2n(n≥2),
经检验,当n=1时也满足此式,
∴=2n,n∈N*,即an=4n2,n∈N*.
∴=4n,∵=4,
∴是首项为4,公差为4的等差数列,它的前n项和为=2n2+2n.故选B.
3.解析　(1)由an+1=得,故,即,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列.所以,即an=.
(2)易知{bn}的各项均不为0.由bn+1-bn=anbn得,∴,……,,
以上各式累乘得,bn=n(n+1),
则不等式1,
令cn=,n∈N*,
当n=1时,c1=1,不符合;
当n=2时,c2=>1,符合;
当n=3时,c3=>1,符合;
当n=4时,c4=>1,符合;
当n=5时,c5=<1,不符合;
当n>5,n∈N*时,cn+1-cn=<0,
故当n>5,n∈N*时均不符合.
综上所述,n∈{2,3,4}.
4.答案　4;
解析　若对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an,则令m=n=2,得a4=a2+a2=4.
令m=n=1,得a2=a1+a1=2,所以a1=1,
令m=1,则an+1=a1+an=an+1,∴an+1-an=1,
∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴an=n,
∴.
5.答案　0;-(p+q)
解析　设等差数列{an}的公差为d.易得ap=a1+(p-1)d=q,aq=a1+(q-1)d=p,
两式作差,得(p-q)d=q-p,即d=-1,故ap+q=ap+[(q+p)-p]d=q-q=0.
设Sn=An2+Bn(A≠0),则Sp=Ap2+Bp=q,Sq=Aq2+Bq=p,
两式作差,得1+A(q+p)+B=0,
所以Sp+q=A(p+q)2+B(p+q)=(p+q)[A(p+q)+B]=-(p+q).
6.B　3,4,6,9,13,18,24,…的前后两项作差得到新数列:1,2,3,4,5,6,…,
所以an-an-1=n-1(n≥2),a1=3,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(n-1)+(n-2)+…+1+3=+3.
所以a19=+3=174.
7.信息提取　(1)用180万元购买一套新设备;(2)该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入;(3)第一年需要各种维护费用10万元;(4)从第二年开始,每年所需的维护费用比上一年增加10万元.
数学建模　本题是以企业生产利润为情境的实际问题,由题中信息“每年所需的维护费用比上一年要增加10万元”,可构建等差数列模型求解.企业总利润等于总收入减去总支出,其中维护费用逐年递增,这些数值构成等差数列,利用等差数列的前n项和公式求出x年的总维护费用,建立总利润y(万元)与使用年数x(x∈N*)的函数关系,再利用基本不等式求其最大值.
解析　(1)由题意知,x年的总收入为100x万元,x年的总维护费用为10(1+2+3+…+x)=5x(x+1)万元,
∴y=100x-5x(x+1)-180=-5x2+95x-180,x∈N*.
(2)由(1)知,年平均利润为万元,+95,x∈N*,∵x+≥2=12,当且仅当x=,即x=6时等号成立,
∴当x=6时,有最大值,且=35.
∴这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大年平均利润为35万元.
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