苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.3.3第2课时 等比数列的前n项和的性质及其应用同步练习（Word含答案）

第2课时　等比数列的前n项和的性质及其应用
基础过关练
题组一　等比数列前n项和的性质　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020山西大同豪洋中学期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=3,S10=15,则S20=(　　)
A.255　　　　B.375　　　　C.250　　　　D.200
2.在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且其前n项和Sn=3n-2+k,则实数k的值为(　　)
A.-1　　　　B.-
3.等比数列{an}共2n项,其所有项的和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
题组二　等比数列的综合问题
4.已知数列{an}满足a1a2a3…an=(n∈N*),且对任意n∈N*都有+…+A.
C.
5.在等比数列{an}中,a1-a3=3,其前n项和为Sn,且S1,S3,S2成等差数列,则Sn的最大值为　　　　.
6.(2022河南南阳第一中学月考)已知数列{an}中,a1=1,an+1=.
(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足bn=(3n-1)·an,数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ题组三　等比数列的实际应用
7.(2020山东临沂期末)《庄子·天下篇》中有一句话:“一尺之捶,日取其半,万世不竭.”若经过n天,该木棒剩余的长度为an尺,则an与n的关系为(　　)
A.an=1-
C.an=
8.(2020湖北荆州期末)如图所示,正方形的边上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……,如此下去将得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其中最大的正方形的边长为,则其中最小正方形的边长为　　　　.
能力提升练
题组一　等比数列前n项和的性质及综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知数列{an}为等比数列,an>0,且amam+1·am+2=26m,若p+q=6,则apaq=(　　)
A.27　　　　B.28　　　　C.29　　　　D.210
2.(多选)(2020山东淄博期末)在递增的等比数列{an}中,已知公比为q,Sn是其前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　)
A.q=1
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510
D.数列{lg an}是公差为2的等差数列
3.(2021浙江名校协作体开学考试)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n-a,n∈N*,则a=　　　　,设数列{logan}的前n项和为Tn,若Tn>2n+λ对n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围为　　　　.
4.[2021新高考八省(市)联考]已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.
(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;
(2)若a1=,求{an}的通项公式.
题组二　等比数列的实际应用
5.(2022河北石家庄正定中学月考)已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫作传播指数RO.它指的是在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染某种传染病的人会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式:RO=1+确诊病例增长率×系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确诊病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数为5天,根据以上数据计算RO,若甲得了这种传染病,则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(　　)
A.243　　　　B.248
C.363　　　　D.1 092
6.(2020湖北黄冈期末)如图,方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形,每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的边上,且分边长为3∶4.现用13米长的铁丝材料由外到内的顺序制作一个方格蜘蛛网,若最外边的正方形边长为1米,则完整的正方形的个数最多为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　
C.8　　　　D.9
7.(2020广东汕头金山中学期末)如图,P1是一块半径为2a的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得到图形P3,P4,…,Pn,…,记第n块纸板Pn的面积为Sn,则S3=　　　　,若 n∈N*,Sn> 恒成立,则a的取值范围是　　　　.
答案全解全析
基础过关练
1.A　由题意得S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,则有(S10-S5)2=S5(S15-S10),即122=3(S15-15),解得S15=63,同理有(S15-S10)2=(S10-S5)(S20-S15),即482=12(S20-63),解得S20=255.故选A.
2.D　易知an≠0,∵an+1=can,c为非零常数,∴{an}为等比数列,又Sn=3n-2+k=·3n+k,∴根据等比数列前n项和的性质,得k=-.
3.答案　2
解析　设奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶.由题意,得解得∴q==2.
4.D　∵数列{an}满足a1a2a3…an=(n∈N*),∴当n≥2时,a1a2a3…an-1=,
∴an=22n-1(n≥2,n∈N*),又当n=1时,a1=2,符合此式,∴an=22n-1(n∈N*),∴,
∴数列是首项为,公比为的等比数列,
∴+…+.
∵对任意n∈N* 都有+…+∴t的取值范围为.
5.答案　4
解析　设等比数列{an}的公比为q,
由已知得S3-S1=S2-S3,即a2+a3=-a3,
∴a3=-a2,∴q=-,
又a1-a3=a1-a1q2=3,∴a1=4.
当n为奇数时,Sn=≤=4;
当n为偶数时,Sn=.
综上,Sn的最大值为4.
6.解析　(1)由an+1=,得,即,
又,所以是以为首项,3为公比的等比数列.
所以,即an=.
(2)bn=(3n-1)·an=,
所以Tn=1×+…+(n-1)×,
+…+(n-1)×.
两式相减,得+…+,所以Tn=4-,
所以(-1)nλ<4-对一切n∈N*恒成立.令f(n)=4-(n∈N*),易知f(n)单调递增,
若n为偶数,则λ<4-≤f(n),所以λ<3;
若n为奇数,则-λ<4-≤f(n),所以-λ<2,所以λ>-2.
综上,-2<λ<3.
7.C　由题意知每天取的木棒的长度(单位:尺)组成一个以为首项,为公比的等比数列,所以an=1-.故选C.
8.答案　
解析　由题意,由下至上,各层正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列,由下至上,各层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数列.现已知共得到1 023个正方形,设共有n(n∈N*)层正方形,则有1+2+…+2n-1==1 023,解得n=10,故最小正方形的边长为,故答案为.
能力提升练
1.B　由数列{an}为等比数列,an>0,且amam+1am+2=26m,可得=26m,所以am+1=22m,所以an=22n-2,又p+q=6,所以ap·aq=22p-2·22q-2=22(p+q)-4=28.
2.BC　∵∴
解得或
∵{an}为递增数列,∴
∴q==2,∴a1==2,
∴an=2n,∴Sn==2n+1-2,
∴S8=29-2=510,又Sn+2=2n+1,∴数列{Sn+2}是等比数列,故A错误,B、C正确.
又lg an=lg 2n=n·lg 2,∴数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列,故D错误.故选BC.
3.答案　1;(-∞,-2)
解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠1).
∵Sn==2n-a,∴a1=S1=2-a,q=2,
∴(2-a)(2n-1)=2n-a,∴a=1,∴an=2n-1,
∴logan=2(n-1),
∴Tn=n2-n>2n+λ对n∈N*恒成立,即λ<对n∈N*恒成立,结合二次函数的性质知,当n=1或n=2时,取得最小值,最小值为-2,∴λ<-2.
4.解析　(1)证明:∵an+2=2an+1+3an,∴an+2+an+1=3(an+1+an),由题易知an+an+1≠0,
∴{an+an+1}是以a1+a2为首项,3为公比的等比数列.
(2)由题意得a1+a2=2,∵an+2+an+1=3(an+1+an),
∴an+1+an=(a1+a2)·3n-1=2·3n-1,
∴an=2·3n-2-an-1=2·3n-2-(2·3n-3-an-2)=4·3n-3+an-2(n≥3).
当n≥3且n为奇数时,an=4·3n-3+4·3n-5+…+4·30+a1=4··3n-1,当n=1时,a1=满足此式;
当n≥3且n为偶数时,an=4·3n-3+4·3n-5+…+4·31+a2=4··3n-1,当n=2时,a2=满足此式.
综上,an=·3n-1(n∈N*).
5.D　记第1轮感染人数为a1,第2轮感染人数为a2,……,第n轮感染人数为an,则数列{an}是等比数列,公比q=RO,由题意得RO=1+40%×5=3,即q=3,所以a1=3,经过6轮传播后的总人数约为S6==1 092人.故选D.
6.B　依题意,可设方格蜘蛛网中某个正方形的边长为a(a≤1)米,其内接小正方形的边长为b米,则b=a,则每个小正方形的周长为其外接正方形周长的,故正方形的周长米数从外到内构成以4为首项,为公比的等比数列,设此数列为{an},其前n项和为Sn,
则Sn=≤13,
所以≤ n≤ n≤ n≤ n≤ n≤,将lg ≈0.15代入,得n≤7.67,
所以完整的正方形的个数最多为7.故选B.
7.答案　,+∞)
解析　依题意得,S1=π×(2a)2=2πa2,
S1-S2=πa2,
S2-S3=πa2,
∴S3=S2-a2.
以此类推,{Sn+1-Sn}是以S2-S1=-πa2为首项,为公比的等比数列,
记S2-S1=-πa2=S,
则S2-S1=S,
S3-S2=S,
……
Sn-Sn-1=S(n≥2),
∴Sn-S1=
=(n≥2),
∴Sn=S1+
=2πa2-
=(n≥2),
经检验,当n=1时,上式也成立,
∴Sn=(n∈N*).
∵Sn>对任意n∈N*恒成立,且Sn>πa2,
∴只需πa2≥即可,解得a2≥505,
又a>0,∴a≥,
即a的取值范围是[,+∞).
9