苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册4.4　数学归纳法?同步练习（Word含答案）

4.4　数学归纳法
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组　数学归纳法的应用
1.用数学归纳法证明-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn,n∈N*成立.那么,“当n=1时,命题成立”是“对任意n∈N*时,命题成立”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)
A.5k-2k+4×5k-2k
B.5(5k-2k)+3×2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.5(5k-2k)-3×5k
3.用数学归纳法证明不等式+…+-1(n∈N*,n≥2)时,以下说法正确的是(　　)
A.第一步应该验证当n=1时不等式成立
B.从n=k到n=k+1,左边需要增加的代数式是
C.从n=k到n=k+1,左边需要增加2k项
D.从n=k到n=k+1,左边需要增加的代数式是+…+
4.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共点,用f(n)表示这n个圆把平面分割成的区域数,那么f(n+1)与f(n)之间的关系为(　　)
A. f(n+1)=f(n)+n B. f(n+1)=f(n)+2n
C. f(n+1)=f(n)+n+1 D. f(n+1)=f(n)+n-1
5.如图为一个类似于杨辉三角的数阵,则第九行的第二个数为　　　　.
1
3　3
5　6　5
7　11　11　7
9　18　22　18　9
……
6.已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证:对任意的n∈N*,不等式··…·都成立.
7.(2020重庆七校联盟期末联考)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
能力提升练
题组　数学归纳法的应用　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020浙江诸暨中学月考)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,若存在自然数m,使得对任意n∈N*, f(n)都能被m整除,则最大的m的值为　(　　)
A.30　　　　B.9　　　　C.36　　　　D.6
2.(2020浙江绍兴期末)用数学归纳法证明“+…+≥(n∈N*)”,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是(　　)
A.
C.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=-,且Sn++2=an(n≥2),则S2 018=(　　)
A.-
4.观察下列等式:
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
按照以上式子的规律:
(1)写出第5个等式,并猜想第n(n∈N*)个等式;
(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N*)个等式成立.
5.各项都为正数的数列{an}满足a1=1,=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:对一切n∈N*,+…+≤恒成立.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=14,且an=Sn-2n-1(n∈N*).
(1)求、、;
(2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
答案全解全析
基础过关练
1.B　“当n=1时,命题成立”不能推出“对任意n∈N*时,命题成立”,
“对任意n∈N*时,命题成立”可以推出“当n=1时,命题成立”,
所以“当n=1时,命题成立”是“对任意n∈N*时,命题成立”的必要不充分条件,故选B.
2.B　根据数学归纳法,当n=k+1时,应将5k+1-2k+1变形为5(5k-2k)+3×2k,故选B.
3.D　第一步应该验证当n=2时不等式成立,所以A不正确;因为+…++…+,所以从n=k到n=k+1,左边需要增加的代数式是+…+,增加了2k-1项,所以B,C不正确,D正确.故选D.
4.B　依题意得,由n个圆增加到(n+1)个圆时,增加了2n个交点,这2n个交点将新增的圆分成2n段弧,而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块,故增加了2n块区域,因此f(n+1)=f(n)+2n.
5.答案　66
解析　设第n(n≥2且n∈N*)行的第二个数为an,由题图可知a2=3,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3(n≥2),累加可得an=n2-2n+3,所以第九行的第二个数a9=81-18+3=66.
6.证明　由bn=2n,得,
所以··…·×…×.
用数学归纳法证明不等式×…×成立,证明如下:
①当n=1时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,即×…×成立,
则当n=k+1时,×…×,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得对任意的n∈N*,不等式×…×都成立,即原不等式成立.
7.解析　(1)∵Sn=2n-an,
∴当n=1时,S1=2×1-a1 a1=1,
当n=2时,S2=2×2-a2 a2=,
当n=3时,S3=2×3-a3 a3=,
当n=4时,S4=2×4-a4 a4=,
由此猜想an=(n∈N*).
(2)证明:①当n=1时,a1=1,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即ak=,
则当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,
∴2ak+1=2+ak,
∴ak+1=,
∴当n=k+1时,猜想也成立.
综上所述,an=(n∈N*)成立.
能力提升练
1.C　由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,
f(2)=3×36, f(3)=10×36,f(4)=34×36,
由此猜想m的最大值为36.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,显然成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时, f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,
那么,当n=k+1时,
[2(k+1)+7]·3k+1+9
=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1
=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).
∵3k-1-1能被2整除,
∴18(3k-1-1)能被36整除,
∴当n=k+1时, f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对任意n∈N*,都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除.
故m的最大值为36. 故选C.
2.D　当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式左边为+…+,
当n=k+1时,不等式左边为+…++…+,
即由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是,故选D.
3.A　由题意得,Sn++2=Sn-Sn-1(n≥2),
所以Sn=-(n≥2).
当n=1时,S1=a1=-,
当n=2时,S2=-,
当n=3时,S3=-,
……
猜想:Sn=-(n∈N*).
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,左边为S1=a1=-,右边=-,猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立,即Sk=-,
则当n=k+1时,Sk+1=-,所以当n=k+1时猜想也成立.
由①②知Sn=-对任意n∈N*都成立.
所以S2 018=-.
故选A.
4.解析　(1)第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92.
猜想第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,n∈N*.
(2)证明:①当n=1时,等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,
即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,
则当n=k+1时,
(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+…+[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2,即n=k+1时等式也成立.
根据①②,可知对任意n∈N*,等式都成立.
5.解析　(1)因为=2,a1=1,
所以数列{}是首项为1,公差为2的等差数列,
所以=1+(n-1)×2=2n-1,
又an>0,所以an=.
(2)证明:①当n=1时,左边=1,右边=1,所以不等式成立;
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,
即1++…+≤,
那么当n=k+1时,
左边=1++…+≤
=,
所以当n=k+1时不等式也成立.
由①②知,对一切n∈N*,不等式恒成立.
6.解析　(1)∵an=Sn-2n-1(n∈N*),
∴当n=1时,a1=S1=S1-1,解得S1=2,则=1;
当n=2时,a2=S2-S1=S2-2=14,解得S2=16,则=4;
当n=3时,a3=S3-S2=S3-22,解得S3=72,则=9.
(2)由(1)猜想数列的通项公式为=n2(n∈N*).
下面运用数学归纳法证明:
①当n=1时,由(1)可得=1,猜想成立;
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,=k2成立,
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1-2k+1-1,
即Sk+1=Sk-2k=2k·k2-2k=(k2-1)·2k,
则Sk+1=(k+1)(k-1)·2k,
当k=1时,上式显然成立,
当k>1时,Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1,即=(k+1)2,
则当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可得对一切n∈N*,=n2都成立.
9