第5章 导数及其应用
5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
基础过关练
题组一 函数的平均变化率
1.(2022天津河西期末)设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,函数的平均变化率是( )
A.2.1 B.0.21 C.1.21 D.0.121
2.(2020陕西西安中学期中)函数y=f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.(2020山西朔州应县一中期末)在x=1附近,取Δx=0.3,则下列四个函数①y=f(x)=x;②y=f(x)=x2;③y=f(x)=x3;④y=f(x)=中,平均变化率最大的是 .(填序号)
4.已知函数y=f(x)=x2.
(1)计算f(x)从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2,②1,③0.1,④0.01;
(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势
题组二 平均变化率的应用
5.(2020吉林东北师大附中月考)某物体沿水平方向运动,其位移s(米)与时间t(秒)的关系式为s(t)=5t+2t2,则该物体在[0,2]上的平均速度为( )
A.18米/秒 B.13米/秒
C.9米/秒 D.米/秒
6.泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释,并用数学语言量化CD段曲线的陡峭程度.
7.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V);
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时半径r的平均变化率;哪段半径变化得快(精确到0.01) 此结论可说明什么意义
答案全解全析
基础过关练
1.A Δx=1.1-1=0.1,Δy=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21,所以当自变量x由1变到1.1时,函数f(x)=x2-1的平均变化率是=2.1.
2.D 根据题意,函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为=m+1,则有m+1=3,解得m=2.
3.答案 ③
解析 ,所以在x=1附近取Δx=0.3,则平均变化率为,要比较平均变化率的大小,只需比较Δy=f(1.3)-f(1)的大小即可,下面逐项判定:
①中,由函数y=x,得Δy=f(1.3)-f(1)=0.3;
②中,由函数y=x2,得Δy=f(1.3)-f(1)=0.69;
③中,由函数y=x3,得Δy=f(1.3)-f(1)=1.197;
④中,由函数y=,得Δy=f(1.3)-f(1)≈-0.23.
所以平均变化率最大的是③.
4.解析 (1)因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12=(Δx)2+2Δx,
所以=Δx+2.
①当Δx=2时,=Δx+2=4;
②当Δx=1时,=Δx+2=3;
③当Δx=0.1时,=Δx+2=2.1;
④当Δx=0.01时,=Δx+2=2.01.
(2)当Δx越来越小时,由(1)中=Δx+2,得函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变小,并逐渐接近常数2.
5.C ∵s(t)=5t+2t2,∴该物体在运动前2秒的平均速度为=9(米/秒).
故选C.
方法总结
要求物体的平均速度,就要知道物体在一段时间的位移,位移除以时间即为平均速度.
6.解析 从A处到B处,山的高度的平均变化率为,
从B处到C处,山的高度的平均变化率为,
因为,所以BC段比AB段更陡峭,
故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.
CD段曲线的陡峭程度可用从C处到D处的山的高度的平均变化率来描述,因为,
所以CD段曲线的陡峭程度为.
7.解析 (1)∵V=πr3,∴r3=,
∴r=,即r(V)=.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率为≈0.62(dm/L),
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率为≈0.16(dm/L).
显然体积V从0 L增加到1 L时,半径变化得快,这说明气球刚开始膨胀得快,随着体积的增大,半径增加得越来越慢.
方法技巧
在比较平均变化率的大小时,若所得的结果是根式,则一般通过平方法或取近似值法比较大小.
4 5.1.2 瞬时变化率——导数
基础过关练
题组一 曲线的割线、切线的斜率
1.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割线AB,BC,CD的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1C.k32.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率为 ;当Δx=0.001时,割线的斜率为 .
3.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点O,则实数c的值为 .
题组二 瞬时速度与瞬时加速度
4.(2020江苏无锡锡东高级中学检测)若小球自由落体的运动方程为s(t)=gt2(g为常数),该小球在t=1到t=3的平均速度为,在t=2的瞬时速度为v2,则和v2的大小关系为( )
A.C.=v2 D.不能确定
5.(2020江苏无锡一中期中)一辆汽车做直线运动,位移s与时间t的关系为s=at2+1,若汽车在t=2时的瞬时速度为12,则a=( )
A. C.2 D.3
6.(2020江苏常熟期中)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去( )
A. s B.2 s
C. s D. s
题组三 导数的定义及其几何意义
7.(2020江苏南京中华中学段测)函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)为函数f(x)的导函数,则下列结论正确的是( )
A.0B.0C.0D.08.函数y=f(x)=在x=0处的导数为 .
9.(2020江苏连云港赣榆智贤中学月考)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+3,则f(1)+f'(1)= .
题组四 求曲线的切线方程
10.(2021江苏镇江八校期中联考)曲线y=f(x)=x-x2在点(1,0)处的切线方程是 ( )
A.x-2y-1=0 B.x+2y-1=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
11.若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )
A.a=-1,b=1 B.a=1,b=-1
C.a=-2,b=1 D.a=2,b=-1
12.(2020广东实验中学期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .
能力提升练
题组一 导数的定义及其几何意义
1.(多选)(2021江苏无锡一中检测)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列结论正确的是( )
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都已达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强
2. (2021江苏南京期末)若函数f(x)满足f'(x0)=-3,则当h无限趋近于0时,无限趋近于 .
3.服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义: .
题组二 曲线的切线方程及其应用
4.(2022江苏盐城模拟)已知函数f(x)=2x3-x+1,直线l与f(x)的图象相切于点P(x1,f(x1)),且交f(x)的图象于另一点Q(x2,f(x2)),则下列关系中一定成立的是( )
A.2x1-x2=0 B.2x1-x2-1=0
C.2x1+x2+1=0 D.2x1+x2=0
5.(2020江苏淮安淮阴中学期末)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 .
6.已知曲线f(x)=ax2+bx+与直线y=x相切于点A(1,1),若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,则所有满足条件的实数t组成的集合为 .
7.(2020福建厦门二中期中)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=,过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率)
答案全解全析
基础过关练
1.A k1==16-9=7,则k12.答案 2.1;2.001
解析 ∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,
∴=2+Δx,
∴割线的斜率为2+Δx.
当Δx=0.1时,割线的斜率为2+0.1=2.1.
当Δx=0.001时,割线的斜率为2+0.001=2.001.
3.答案 4
解析 设抛物线在点P处的切线的斜率为k,
则k= ==-5,
因为点P的横坐标是-2,
所以点P的纵坐标是6+c,
故直线OP的斜率为-,
根据题意有-=-5,解得c=4.
4.C =2g,
因为gΔt,所以当Δt无限趋近于0时,2g+gΔt无限趋近于2g,所以v2=2g,即=v2.故选C.
5.D 因为=aΔt+4a,所以当Δt无限趋近于0时,aΔt+4a无限趋近于4a,所以汽车在t=2时的瞬时速度为4a,即4a=12,解得a=3.故选D.
6.B 设当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去x s,
则
=
=0.4+1.2x+0.6Δt,
当Δt无限趋近于0时,0.4+1.2x+0.6Δt无限趋近于0.4+1.2x,所以0.4+1.2x=2.8,解得x=2.故选B.
7.B 由题图可知,f(x)在x=2处的切线斜率大于其在x=3处的切线斜率,且斜率为正,
∴0∵f(3)-f(2)=,
∴f(3)-f(2)可看作是过点(2,f(2))和点(3,f(3))的割线的斜率,由题图可知f'(3)即08.答案 0
解析 Δy=
=,
∴,
∴当Δx→0时, →0,
即=0,∴f(x)在x=0处的导数为0,即f'(0)=0.
9.答案 5
解析 由导数的几何意义可得,f'(1)=1,又M(1,f(1))在切线上,所以f(1)=1+3=4,则f(1)+f'(1)=4+1=5.
10.D 由题意得,f'(1)=
=
=(-Δx-1)=-1,
所以曲线y=f(x)=x-x2在点(1,0)处的切线方程为y=-1×(x-1),即x+y-1=0,故选D.
11.B 由题意得,f'(1)=
=
==2+a.
∵曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,
∴2+a=3,解得a=1.
又∵点(1,1)在曲线y=f(x)=x2+ax+b上,
∴1+a+b=1,解得b=-1,
∴a=1,b=-1.故选B.
12.答案 2x-y-1=0
解析 设切点坐标为(x0,y0),y=f(x)=x2,则由题意可得,切线斜率f'(x0)==2x0=2,所以x0=1,则y0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
能力提升练
1.ABC 设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-,由题图易知y甲>y乙,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,A正确;
由题意知,在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,B正确;
在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,C正确;
由计算式-可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,D错误.
2.答案 -12
解析 因为f'(x0)=-3,所以=-3,
所以
=4×=-3×4=-12.
3.答案 f'(10)=1.5表示服药后10 min时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL(表达合理即可)
4.D 易知f(x)的图象在点P处的切线的斜率k=f'(x1)=-1,又切线过点Q(x2,f(x2)),
∴k=)-1,
∴2(-1,化简得=0,即(x2+2x1)(x2-x1)=0,
∵x1≠x2,∴x2+2x1=0.
5.答案 4x-y-2=0
解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-x3-(a-1)x2-ax,即a=1,∴f(x)=x3+x,
∴f'(1)=
=
=[(Δx)2+3Δx+4]=4,f(1)=2,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
6.答案 {4}
解析 f'(1)=
=
=(2a+b+aΔx)=2a+b.
因为曲线f(x)=ax2+bx+与直线y=x相切于点A(1,1),所以
解得
所以f(x)=,
由f(x-t)≤x(1≤x≤9)得≤x(1≤x≤9),
解得≤t≤(1≤x≤9),
由此可得=4≤t≤=4(1≤x≤9),
所以所有满足条件的实数t组成的集合为{4}.
7.解析 由得故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线的切线斜率分别为f'(1)=(Δx+2)=2,
g'(1)=
==-1.
所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x轴的交点坐标分别为,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为.
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