苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册5.3.1　单调性同步练习（Word含答案）

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　单调性
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.如图所示的是导函数y=f'(x)在[a,b]上的图象,那么函数y=f(x)在[a,b]上的单调递减区间是(　　)
A.(x1,x3)　　　　B.(x2,x4)
C.(x4,x6)　　　　D.(x5,x6)
2.(2020江苏宿迁宿豫中学月考)如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么其导函数y=f'(x)的图象可能是(　　)
3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)
4.已知函数f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是　　　　.
题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.(2020江苏泰州期末)函数f(x)=x2-2ln x的单调递增区间为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(0,1)　　　　
C.(0,+∞)　　　　D.(2,+∞)
6.(2020吉林期末)函数f(x)=x+sin x在区间(0,π)上的单调性为(　　)
A.单调递增
B.单调递减
C.在上单调递增,上单调递减
D.在上单调递减,上单调递增
7.(2022江苏无锡太湖高级中学期中)函数f(x)=(2-x)ex的单调递减区间为　　　　.
8.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3x2-2ln x;
(2)f(x)=x2·e-x;
(3)f(x)=x+.
9.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-ln x的导函数f'(x)的一个零点为x=1.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
10.(2020江苏常熟期中)若函数f(x)=x3-3bx+2在区间(2,3)内单调递增,则实数b的取值范围是(　　)
A.(-∞,4]　　　　B.(-∞,4)　　　　
C.[4,+∞)　　　　D.(4,+∞)
11.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3)∪(3,+∞)　　　　B.[3,+∞)
C.(0,3]　　　　D.(0,3)
12.(2020江苏宿迁期中)函数y=x3+2x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是　　　　.
13.(2020江苏徐州期中)若函数f(x)=x3-ax2+4在区间[0,2]上不单调,则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　
14.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
15.(2020江苏淮安马坝高级中学期中)已知函数f(x)=ln x+ax.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=4x+1平行,求a的值;
(2)试讨论f(x)的单调性.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.(2020浙江杭州六校期中)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
2.(2021江苏苏州中学测试)函数f(x)=的图象大致是(　　)
3.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的单调递减区间为　　　　.
4.(2020黑龙江牡丹江一中期末)已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为　　　　.
题组二　导数与函数的单调性及其应用
5.(2022江苏常州联考)设函数f(x)=aln x+bx2,若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(0,1)　　　　B.
C.
6.(2020江苏南京临江高级中学期中)已知函数f'(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数x都有f(x)-f'(x)>0,设F(x)=,则不等式F(x)<的解集为(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(1,+∞)　　　　
C.(1,e)　　　　D.(e,+∞)
7.(2022江苏南通期末)已知a-4=ln <0,b-3=ln <0,c-2=ln <0,则(　　)
A.cC.a8.(多选)(2022江苏南通一模)若函数f(x)=的值域为[2,+∞),则(　　)
A.f(3)>f(2)　　　　
B.m≥2
C.f < f 　　　　
D.logm(m+1)>log(m+1)(m+2)
9.(2020江西上饶段考)已知函数f(x)=x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则的最小值为　　　　.
10.(2022北京石景山期末)设函数f(x)=aln x+,a∈R.
(1)设l是函数f(x)图象的一条切线,求证:当a=0时,l与坐标轴围成的三角形的面积与切点的位置无关;
(2)若函数g(x)=f(x)-x在定义域上单调递减,求a的取值范围.
11.(2020河南濮阳期末)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求不等式f(x)-f >0的解集.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
12.(2020江苏南京师范大学附属中学期中)定义在R上的可导函数f(x)满足f'(x)<1,若f(m)-f(1-2m)≥3m-1,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1]　　　　B.　　　　
C.[-1,+∞)　　　　D.
13.(2020江苏淮安地区五校联考)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,则实数k的取值范围是(　　)
A.
C.
14.(2020江苏扬州期中)已知f(x)=aln x+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有 >2成立,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1]　　　　B.(1,+∞)　　　　
C.(0,1)　　　　D.[1,+∞)
15.(2020江苏无锡锡东高级中学质检)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B　原函数的单调递减区间就是其导函数的值小于零的区间.故选B.
2.A　y=f(x)的图象为先增后减,再增再减,因此y=f '(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零,结合选项可知A符合,故选A.
3.A　因为函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)的图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.
4.答案　(-2,4)
解析　由题图知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-20时,由f(x)<1=f(4),得05.A　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2x-,
令f '(x)>0,得x>1,∴函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),故选A.
6.A　由f(x)=x+sin x,可得f '(x)=1+cos x,
易知f '(x)≥0在(0,π)上恒成立,故f(x)=x+sin x在区间(0,π)上单调递增.故选A.
7.答案　(1,+∞)
解析　易知函数f(x)的定义域为R.由f(x)=(2-x)ex,得f'(x)=-ex+(2-x)ex=(1-x)ex,
由f'(x)=(1-x)ex<0,解得x>1,所以函数f(x)=(2-x)ex的单调递减区间为(1,+∞).
8.解析　(1)易知函数的定义域为(0,+∞).
f '(x)=6x-,令f '(x)=0,解得x1=,x2=-(舍去),当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f '(x) - +
f(x) ↘ ↗
∴函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).
f '(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2),令f '(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) (0,2) (2,+∞)
f '(x) - + -
f(x) ↘ ↗ ↘
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
f '(x)=1-,令f '(x)=0,得x=-1或x=1,当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞)
f '(x) + - - +
f(x) ↗ ↘ ↘ ↗
∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
易错警示
　　要注意函数的单调区间是其定义域的子区间,故用导数法求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
9.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f '(x)=2ax+2-,
由f '(1)=2a+=0,得a=-.
(2)由(1)得f(x)=-ln x(x>0),
则f '(x)=-.
令f '(x)=0,得x=1或x=2;
令f '(x)>0,得1令f '(x)<0,得02.
因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).
10.A　f(x)=x3-3bx+2,则f '(x)=3x2-3b,
∵函数f(x)=x3-3bx+2在区间(2,3)内单调递增,
∴f '(x)=3x2-3b≥0在(2,3)上恒成立,则b≤x2在x∈(2,3)上恒成立,故b≤4.
11.D　由题意得f '(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f '(x)有两个不同的零点,
∴Δ=36-12a>0,解得0∴实数a的取值范围是(0,3).故选D.
12.答案　
解析　令y=f(x)=x3+2x2+mx+1,则f '(x)=3x2+4x+m,
结合二次函数的性质可知,若函数f(x)是R上的单调函数,则函数f(x)只能是R上的单调递增函数,所以f '(x)=3x2+4x+m≥0在R上恒成立,故Δ=16-12m≤0,解得m≥.
13.答案　(0,3)
解析　易得f '(x)=3x2-2ax,∵函数f(x)=x3-ax2+4在区间[0,2]上不单调,
∴3x2-2ax=0在(0,2)内有解,可知a=x,
又x∈(0,2),∴a∈(0,3).
14.解析　由题意得f '(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)·(3x+2a-3).
(1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f '(x)=0的两个根,
∴=1,∴a=0.
经检验,a=0时符合题意,∴a=0.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f '(x)≤0在(-1,1)内恒成立.
又二次函数y=f '(x)的图象开口向上,方程f '(x)=0的一个根为-1,∴≥1,∴a≤0.
∴实数a的取值范围是{a|a≤0}.
15.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=a+,所以f '(1)=a+1,即切线的斜率k=a+1,
又切线与直线y=4x+1平行,所以a+1=4,即a=3.
(2)由(1)得f '(x)=a+,f(x)的定义域为(0,+∞).
若a=0,则f '(x)=>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
若a>0,则f '(x)=>0,此时函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
若a<0,则当ax+1>0,即00,当ax+1<0,即x>-时,f '(x)<0,此时函数f(x)在上为单调递增函数,在上为单调递减函数.
综上所述,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数;
当a<0时,函数f(x)在上为单调递增函数,在上为单调递减函数.
能力提升练
1.D　设导函数y=f '(x)的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1,x2,x3,其中x1<0,x3>x2>0,故y=f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增.故选D.
2.A　因为f(x)=,
所以f '(x)=(x>0),
令f '(x)=0,得x=e,当00,当x>e时,f '(x)<0,
所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,又当x>1时,f(x)>0,所以结合选项可知选A.
3.答案　(0,1),(4,+∞)
解析　g'(x)=,
由题中图象可知,当x∈(0,1)时,f '(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0;
当x∈(4,+∞)时,f '(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0,
故函数g(x)=的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).
4.答案　∪(2,+∞)
解析　由题中y=f(x)的图象可知f(x)在和(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,
所以f '(x)>0的解集为∪(2,+∞),f '(x)<0的解集为,
由xf '(x)>0得或
所以xf '(x)>0的解集为∪(2,+∞).
5.C　f(x)=aln x+bx2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2bx(x>0),
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,
所以解得
所以f'(x)=-+2x(x>0),
令f'(x)=-+2x>0,所以x>,
故函数f(x)的单调递增区间为,故选C.
6.B　∵F(x)=,∴F'(x)=,
∵对任意实数x都有f(x)-f '(x)>0,
∴F'(x)<0在R上恒成立,即F(x)在R上单调递减.
又∵f(1)=,∴F(1)=,∴不等式F(x)<等价于F(x)方法技巧
　　利用导数解抽象不等式,实质是利用导数研究相应函数的单调性,而相应函数需要构造.常见的构造函数的方法如下:已知f '(x)7.C　令f(x)=x-ln x,则f'(x)=1-(x>0),
令f'(x)=0,解得x=1.
当0当x>1时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增.
由a-4=ln <0,可得0同理,f(b)=f(3),0因为4>3>2>1,所以f(4)>f(3)>f(2),
所以f(a)>f(b)>f(c),
因为f(x)在(0,1)上单调递减,所以a8.ABD　当x≥1时,f(x)=x+1-ln x,则f'(x)=1-≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=2,且f(3)>f(2),A正确.
当x<1时,f(x)=-x3-x+2+m,则f'(x)=-3x2-1<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(x)>f(1)=m.故当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>m,因为f(x)的值域是[2,+∞),所以m≥2,B正确.
令g(x)=,则g'(x)=,当00,所以g(x)单调递增,
所以g(2)又<1,f(x)在(-∞,1)上单调递减,
所以f,C错误.
令h(x)=,则h'(x)=,x>0且x≠1,
令H(x)=xln x,易知H'(x)=ln x+1>0在x>1时恒成立,所以H(x)在(1,+∞)上单调递增,
因此x>1时,xln x<(x+1)ln(x+1),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上是减函数,
因为m≥2,所以h(m)>h(m+1),即,即logm(m+1)>log(m+1)(m+2),D正确.故选ABD.
9.答案　1
解析　易得f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f '(x)=1+cos x≥0在R上恒成立且不恒为0,
所以f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0 f(4a)=f(9-b) 4a=9-b 4a+b=9,又a>0,b>0,
所以≥=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即的最小值为1.
10.解析　(1)证明:当a=0时,f(x)=,易知x>0,f'(x)=-,
设f(x)的图象与l相切于点P,则切线l的斜率k=f'(x0)=-,切线方程为y-(x-x0).
令x=0,解得y=;令y=0,解得x=2x0.
故切线与坐标轴围成的三角形面积S=·|2x0|=2.
所以l与坐标轴围成的三角形的面积与切点的位置无关.
(2)由题意知,函数g(x)的定义域为(0,+∞).
因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以g'(x)=-1≤0在(0,+∞)上恒成立,
即当x∈(0,+∞)时,a≤x+恒成立,
所以a≤,
当x∈(0,+∞)时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
所以a≤2.
所以a的取值范围为(-∞,2].
11.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=(x>0).
①若a≤0,则f '(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②若a>0,则当00,当x>时,f '(x)<0.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),
∴
又∵a>0,∴0设F(x)=f(x)-f
=ln x-ax-ln
=ln x-ln-2ax+2,x∈,
则F'(x)=≥0,
∴F(x)在上单调递增,
又F=0,∴当x∈时,F(x)<0,当x∈时,F(x)>0,
∴f(x)-f>0的解集为.
12.B　令g(x)=f(x)-x(x∈R),则g'(x)=f '(x)-1<0,故函数g(x)在R上单调递减.
原不等式可化为f(m)-m≥f(1-2m)+2m-1,
即g(m)≥g(1-2m),∴m≤1-2m,解得m≤.
因此,m的取值范围是.
13.C　函数f(x)=2x2-ln x的定义域为(0,+∞),
且f '(x)=4x-,令f '(x)=0,解得x=(负值舍去),
当x∈时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
要使得函数f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不单调,
则应满足解得1≤k<,
故实数k的取值范围是.故选C.
14.D　由>2,
得 >0,
令g(x)=f(x)-2x=aln x+x2-2x(a>0),则g(x)为定义域上的增函数,
所以g'(x)=+x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a≥x(2-x)在x>0时恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a≥1.
方法技巧
　　解决不等式恒成立问题时,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式+x-2≥0(x>0,a>0)中的a分离出来,即为a≥x(2-x)(x>0).
15.解析　(1)a=时,f(x)=x(ex-1)-x2,
则f '(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f '(x)>0;当x∈(-1,0)时,f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f '(x)>0.故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
(2)f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax,则g'(x)=ex-a.
若a≤1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥0.
若a>1,则当x∈(0,ln a)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,而g(0)=0,
从而当x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即f(x)<0.
综上可知,a的取值范围为(-∞,1].
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