苏教版（2019）高中数学选择性必修第一册5.3.2　极大值与极小值同步练习（Word含答案）

5.3.2　极大值与极小值
基础过关练
题组一　函数极值的概念及其求解
1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2020江苏镇江吕叔湘中学期中)函数f(x)=ln x-x的极大值点为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.e　　　　D.1-e
3.(2020江苏无锡期中)已知函数f(x)=-x+2sin x,x∈,则下列叙述正确的是(　　)
A.函数f(x)有极大值1-　　　　
B.函数f(x)有极小值1-
C.函数f(x)有极大值　　　　
D.函数f(x)有极小值
4.(多选)(2020江苏扬州中学期中)定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则以下结论正确的是(　　)
A.-3是y=f(x)的极小值点
B.-2和-1都是y=f(x)的极大值点
C.y=f(x)的单调递增区间是(-3,+∞)
D.y=f(x)的单调递减区间是(-∞,-3)
5.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=-2;
(3)f(x)=x2-2ln x.
题组二　函数极值的应用
6.(2021四川成都七中月考)“a>2”是“函数f(x)=(x-a)ex在(0,+∞)上有极值”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分又不必要条件
7.(2020江苏徐州期中)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
8.(2021江苏常州华罗庚中学阶段测试)若m>0,n>0,且函数f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=1处取得极值,则mn的最大值为(　　)
A.16　　　　B.25　　　　C.36　　　　D.49
9.(2020江苏苏州四中期中)函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点,则a的取值范围为(　　)
A.　　　　
C.(0,1)　　　　D.(-1,0)
10.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 =　　　　.
11.(2022江苏泰州中学月考)函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=　　　　.
12.(2020山西吕梁期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.
13.(2020江苏常熟期中)已知函数f(x)=ax+bx·ln x, f(x)的图象在x=e处的切线方程是x+y-e=0,其中e是自然对数的底数.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
14.(2022河南中原名校联考)设函数f(x)=a2ln x-2x2(a∈R).
(1)若a∈[-1,1],f(x)的图象在x=1处的切线在坐标轴上的截距之和为g(a),求g(a)的取值范围;
(2)讨论函数f(x)极值的情况,并求出当函数f(x)的极大值为0时实数a的值.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组　函数极值的应用
1.(2021湖北六校联考)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点(1,0),则(　　)
A.f(x)的极大值为,极小值为0　　　　
B.f(x)的极大值为0,极小值为-
C.f(x)的极小值为-,极大值为0　　　　
D.f(x)的极小值为0,极大值为
2.(2020江苏常州教育学会期末)已知函数f(x)=ax3+3x+1的极大值与极小值的差为4,则实数a的值为(　　)
A.-1　　　　B.-　　　　D.1
3.(2020河北邯郸期末)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(　　)
A.(-e,e)　　　　B.[-e,e] C.(-1,1)　　　　D.[-1,1]
4.(多选)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若a≤0,则函数f(x)没有极值
B.若a>0,则函数f(x)有极值
C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是
D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪
5.(2022江苏镇江期中)已知函数f(x)=x3-3x在x∈(5-m2,m-1)的值域为[a,b],则实数m的取值范围为　　　　.
6.(2022江苏盐城模拟)对于函数f(x)=ln x+mx2+nx+1,有下列四个论断:
甲:函数f(x)有两个减区间;
乙:函数f(x)的图象过点(1,-1);
丙:函数f(x)在x=1处取得极大值;
丁:函数f(x)单调.
若其中有且只有两个论断正确,则m的值为　　　　.
7.(2020江苏镇江中学期中)设函数f(x)=ex[ax2-(4a+1)x+4a+3].
(1)a>0时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
8.(2020江苏宿豫中学月考)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a2-1)x.
(1)若f(x)在x=1处取得极小值,求实数a的值;
(2)设x1,x2是g(x)=f(x)-6ax2-3a2x+5a(a>0)的两个极值点,若g(x1)+g(x2)≤0,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由极值点的概念可以得出,若可导函数f(x)的极值点为x0,则f'(x0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.
2.A　因为f(x)=ln x-x(x>0),所以f '(x)=(x>0).当x>1时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当00,函数f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极大值,即函数f(x)=ln x-x的极大值点为1,故选A.
3.C　因为f(x)=-x+2sin x,x∈,所以f '(x)=-1+2cos x,x∈,
令f '(x)=0,则cos x=,可得x=.当x∈时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,所以当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f,函数f(x)无极小值.故选C.
4.ACD　由题图可知,当x<-3时,f '(x)<0,当x∈(-3,+∞)时,f '(x)≥0,
∴-3是函数y=f(x)的极小值点,此函数无极大值点,且其单调递增区间是(-3,+∞),单调递减区间是(-∞,-3).故选ACD.
5.解析　(1)由题意得,f '(x)=3x2-6x-9,
令f '(x)=0,
即3x2-6x-9=0,
解得x=-1或x=3.
当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x=-1时,函数f(x)取得极大值,且f(-1)=10;
当x=3时,函数f(x)取得极小值,且f(3)=-22.
(2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,
f '(x)=.
令f '(x)=0,得x=-1或x=1.
当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴当x=-1时,函数取得极小值,且极小值为f(-1)=-3;
当x=1时,函数取得极大值,且极大值为f(1)=-1.
(3)由题意得,f '(x)=2x-,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),
令f '(x)=0,得x=1或x=-1(舍去),
当x∈(0,1)时,f '(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,f '(x)>0,
∴当x=1时,函数取得极小值,且极小值为f(1)=1,无极大值.
6.A　由f(x)=(x-a)ex,可得f '(x)=(x-a+1)·ex,
令f '(x)=0,可得x=a-1.
当xa-1时,f '(x)>0.所以函数f(x)在x=a-1处取得极小值.若函数f(x)在(0,+∞)上有极值,则a-1>0,即a>1.因此,“a>2”是“函数f(x)=(x-a)ex在(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.故选A.
7.D　易得f '(x)=3x2+2ax+3,又f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,所以f '(-3)=27-6a+3=0,解得a=5.故选D.
8.C　因为f(x)=8x3-mx2-2nx+3,所以f '(x)=24x2-2mx-2n,
又函数f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=1处取得极值,所以f '(1)=24-2m-2n=0,即m+n=12,
因为m>0,n>0,
所以mn≤=36,当且仅当m=n=6时,等号成立.故选C.
9.A　易得f(x)的定义域为(-1,+∞),f '(x)=2x+,
∵函数f(x)=x2+aln(1+x)有两个极值点,∴2x2+2x+a=0在(-1,+∞)上有两个不等的实根,
∴解得010.答案　1
解析　由题意得,m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由题图可知,x=2是函数f(x)的极大值点,x=-1是其极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,
由
解得
∴f'(0)=p=-6m, f'(1)=-6m,∴=1.
11.答案　-7
解析　由题意可得f'(x)=3x2+2ax+b,
由f(x)在x=1处取得极值10,
可得
解得或
若a=-3,b=3,则f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
此时函数f(x)单调递增,函数无极值,不符合题意,舍去;
若a=4,b=-11,则f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),
当x<-或x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当-当x=1时,函数f(x)取得极小值,符合题意.
故a+b=-7.
12.解析　(1)由题意得, f'(x)=6x2+6ax+3b,
由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得解得经检验符合题意.
(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+c,
f'(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1),
令f'(x)=0,得x=1或x=2,
当x<1或x>2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当1∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,
∴ 解得-513.解析　(1)由f(x)=ax+bxln x,得f '(x)=a+b(1+ln x)(x>0),
由f(x)的图象在x=e处的切线方程是x+y-e=0,知切点为(e,0),切线的斜率为-1,
所以
解得
(2)由(1)知f(x)=x-xln x(x>0),
则f '(x)=-ln x(x>0),
令f '(x)=0,得x=1,
当x变化时, f(x),f '(x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f '(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
由表可知,当x=1时,f(x)取得极大值,极大值为f(1)=1,无极小值.
14.解析　(1)因为f(x)=a2ln x-2x2,
所以f'(x)=-4x(x>0),
所以f'(1)=a2-4,又f(1)=-2,
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(-2)=(a2-4)(x-1).
因为a∈[-1,1],所以a2-4∈[-4,-3].
在切线方程y-(-2)=(a2-4)(x-1)中,
令x=0,得y=2-a2;
令y=0,得x=.
所以g(a)=2-a2+-1,
因为函数y=x-在(-∞,0)上单调递增,
所以易得≤g(a)≤,
所以g(a)的取值范围为.
(2)因为f(x)=a2ln x-2x2,x>0,
所以f'(x)=.
①当a=0时,f(x)=-2x2,则f'(x)=-4x,
因为x>0,所以f'(x)<0,
所以f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间,所以f(x)无极值;
②当a<0时,令f'(x)<0,则x>-,令f'(x)>0,则0所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
此时f(x)有极大值f,无极小值,
令a2ln=0,得ln,即a=-2;
③当a>0时,令f'(x)<0,则x>,令f'(x)>0,则0所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,
此时f(x)有极大值f=a2ln ,无极小值,
令a2ln =0,得ln ,即a=2.
综上,当a=0时,函数f(x)无极值;当a<0时,f(x)有极大值f,无极小值;当a>0时,f(x)有极大值f=a2ln ,无极小值.
当函数f(x)的极大值为0时,a=-2或a=2.
能力提升练
1.A　由题意得f '(x)=3x2-2px-q,因为函数f(x)的图象与x轴相切于点(1,0),
所以f '(1)=3-2p-q=0,且f(1)=1-p-q=0,联立解得即f(x)=x3-2x2+x,f '(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),当x∈时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极大值为f,极小值为f(1)=0,故选A.
2.A　∵f(x)=ax3+3x+1,∴f '(x)=3ax2+3,
∵f(x)有极值,∴a<0,令f '(x)=0,解得x=±,
当x<-或x>时,f '(x)<0,当-时,f '(x)>0,所以当x=-时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值.又极大值与极小值的差为4,
∴f=4,
解得a=-1,经检验符合题意,故选A.
3.A　当x>0时, f'(x)=ln x+1-,令h(x)=f'(x),则h'(x)=>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.
函数f(x)的大致图象如图所示.
由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与函数f(x)的图象有四个不同的交点,
故m∈(-e,e),故选A.
4.ABD　由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-,
当a≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值,
当x→0时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→-∞,∴f(x)有且只有一个零点.
当a>0时,在上有f'(x)<0, f(x)单调递减,在上有f'(x)>0, f(x)单调递增,当x=时, f(x)取得极小值,极小值为f=1+ln a,当x→0时,ln x→-∞, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,当1+ln a=0,即a=时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即05.答案　(]
解析　易得f'(x)=3(x2-1),所以在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上,f'(x)>0,此时f(x)单调递增;在(-1,1)上,f'(x)<0,此时f(x)单调递减.
所以f(x)有极大值f(-1)=2,极小值f(1)=-2,由题意知a=-2,b=2,即有又易知f(2)=2,f(-2)=-2,所以根据函数的单调性可将不等式组化为解得易错警示
　　此题注意f(x)在开区间(5-m2,m-1)上的值域为闭区间[a,b],从而确定端点值的取舍.
6.答案　2
解析　易得f'(x)=(x>0).
若甲正确,则函数f(x)在(0,+∞)上有两个减区间,记g(x)=2mx2+nx+1,则g(x)=0在(0,+∞)上有两个解且其图象开口向下,则此不等式组无解集,故甲错误.
因为丙、丁相悖,所以若丁正确,则甲、丙错误,乙、丁正确,
此时f(1)=m+n+1=-1 m+n=-2,
f'(x)=≥0(或≤0)在(0,+∞)上恒成立.
则2mx2-(m+2)x+1≥0(或≤0)在(0,+∞)上恒成立,
所以Δ=[-(m+2)]2-8m=(m-2)2≤0 m=2.
若丁错误,则甲、丁错误,乙、丙正确,此时解得
此时f'(x)=,
易知f(x)在x=1处取得极小值-1,与丙矛盾,舍去.
综上所述,m=2.
7.解析　(1)因为f(x)=ex[ax2-(4a+1)x+4a+3],
所以f '(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)·(x-2)ex.
当a>时,令f '(x)>0,得x<或x>2;
当00,得x<2或x>;
当a=时,f '(x)≥0恒成立.
综上,当a>时,f(x)的单调递增区间是,(2,+∞);
当0当a=时,f(x)的单调递增区间是R.
(2)f '(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)·(x-2)ex.
由(1)得,当a>时,f(x)在x=2处取得极小值;
当0当a=0时,f '(x)=-(x-2)ex,令f '(x)>0,得x<2,
令f '(x)<0,得x>2,
此时x=2是f(x)的极大值点;
当a<0时,令f '(x)>0,得令f '(x)<0,得x<或x>2,此时x=2是f(x)的极大值点.
综上可知,a的取值范围是.
8.解析　(1)∵f(x)=x3+3ax2+3(a2-1)x,
∴f'(x)=3x2+6ax+3(a2-1),
由题意得f'(1)=0,即3+6a+3(a2-1)=0,解得a=0或a=-2.
当a=0时, f'(x)=3x2-3,
当x<-1或x>1时, f'(x)>0;当-1当a=-2时, f'(x)=3x2-12x+9,当x<1或x>3时, f'(x)>0;
当1综上,a=0.
(2)g(x)=x3-3ax2-3x+5a(a>0),
所以g'(x)=3x2-6ax-3,
因为Δ=36a2+36>0恒成立,所以g(x)恒有两个极值点.
由题意可知x1,x2是3x2-6ax-3=0的两根,所以x1+x2=2a,x1·x2=-1.
由g(x1)+g(x2)≤0,得)-3(x1+x2)+10a≤0,
即(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]-3(x1+x2)+10a≤0,
将x1+x2=2a,x1·x2=-1代入整理得a3-a≥0,
因为a>0,所以a-1≥0,解得a≥1.
所以a的取值范围为[1,+∞).
15