专题强化练12 导数与函数的单调性及其应用
一、选择题
1.(2020广西百色期末)定义域为R的函数f(x)满足f(-3)=6,且f'(x)>x2+1对x∈R恒成立,则f(x)>x3+15的解集为( )
A.(-3,+∞) B.(-∞,-3)
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
2.(2022江苏南通启东期中)设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 020,则不等式f(x)>2 019e-x+1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(-∞,0)∪(2 019,+∞)
C.(0,+∞)
D.(2 019,+∞)
3.(2020江苏扬州大学附属中学测试)若函数f(x)=x+asin 2x在上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B.[-1,+∞)
C.
4.(2022浙江金华义乌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且sin(a4-1)+2a4-5=0,sin(a8-1)+2a8+1=0,则下列结论正确的是( )
A.S11=11,a4
a8
C.S11=22,a4a8
5.(多选)已知函数f(x)=xln x,若0A.x2 f(x1)B.x1+f(x1)C.<0
D.当ln x>-1时,x1 f(x1)+x2 f(x2)>2x2 f(x1)
二、填空题
6.(2020江苏江阴高级中学月考)已知函数f(x)=3x-2sin x,若f(a2-3a)+f(3-a)<0,则实数a的取值范围是 .
7.(2021江苏南通如皋中学测试)已知函数f(x)=(x2-a)e-x的图象过点(,0),若函数f(x)在(m,m+1)上是增函数,则实数m的取值范围为 .
三、解答题
8.(2020辽宁省实验中学期末)已知a∈R,函数f(x)=ex+ax2.
(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有f 成立.
答案全解全析
一、选择题
1.A 构造函数F(x)=f(x)-x3,
则F'(x)=f '(x)-x2,
由f '(x)>x2+1对x∈R恒成立得,F'(x)>1>0,
∴F(x)是R上的单调递增函数.
又f(-3)=6,∴F(-3)=f(-3)-×(-3)3=15.
∴f(x)>x3+15 f(x)-x3>15 F(x)>F(-3),
由F(x)的单调性知此不等式的解集为(-3,+∞),故选A.
2.C 令g(x)=ex[f(x)-1],
则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)-1],易知g'(x)>0,所以g(x)在R上是增函数,
由f(0)=2 020,可得g(0)=2 019,
不等式f(x)>2 019e-x+1可化为ex[f(x)-1]>2 019,
即g(x)>g(0),所以x>0,所以不等式的解集是(0,+∞).
3.C 若函数f(x)=x+asin 2x在上单调递增,则f '(x)=1+2acos 2x≥0在上恒成立,
所以2a≥在上恒成立,
又当x∈时,04.B 设f(x)=sin x+2x,x∈R,
∵f(-x)=sin(-x)+2(-x)=-sin x-2x=-f(x),
∴f(x)为R上的奇函数.
易得f'(x)=cos x+2>0,∴f(x)为R上的增函数.
由sin(a4-1)+2a4-5=0,得sin(a4-1)+2(a4-1)=3,
由sin(a8-1)+2a8+1=0,得sin(a8-1)+2(a8-1)=-3,
令x1=a4-1,x2=a8-1,则f(x1)=-f(x2)=f(-x2),
∴x1=-x2,
即a4-1=1-a8,∴a4+a8=2,
∵{an}为等差数列,其前n项和为Sn,
∴S11==11.
又f(x)为增函数且f(x1)>f(x2),∴x1>x2,即a4-1>a8-1,∴a4>a8.故选B.
5.AD 对于A,令g(x)==ln x,易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x1)对于B,令h(x)=x+f(x)=x+xln x,则h'(x)=1+ln x+1=2+ln x,当x∈(0,e-2)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以x1+f(x1)对于C,由f(x)=xln x可得f'(x)=ln x+1,当x∈(0,e-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(e-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以<0不恒成立,故C错误;
对于D,当x∈(e-1,+∞),即ln x>-1时,f(x)单调递增,由e-1f(x1),所以x1[f(x1)-f(x2)]-x2[f(x1)-f(x2)]=(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1),
由A中分析可知x2 f(x1)2x2·f(x1),故D正确.故选AD.
二、填空题
6.答案 (1,3)
解析 易知f(x)=3x-2sin x的定义域为R,
∴f(-x)=-3x+2sin x=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数,
易得f'(x)=3-2cos x>0,
∴函数f(x)在R上单调递增,
f(a2-3a)+f(3-a)<0,即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3),
∴a2-3a解得17.答案 [-1,2]
解析 因为函数f(x)=(x2-a)e-x的图象过点(,0),所以3-a=0,解得a=3,
所以函数f(x)=(x2-3)e-x,f '(x)=-(x-3)·(x+1)e-x,令f '(x)≥0,可得-1≤x≤3,
所以函数f(x)的单调递增区间为[-1,3],因为函数f(x)在(m,m+1)上是增函数,
所以解得-1≤m≤2,所以实数m的取值范围为[-1,2].
三、解答题
8.解析 (1)由已知得f '(x)=ex+2ax,
则g(x)=f '(x)=ex+2ax,则g'(x)=ex+2a.
①若a≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意;
②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),
∵g'(x)是单调递增函数,
∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a≤-,
此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.
由①②可得,使函数g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a的取值范围是∪[0,+∞).
(2)证明:∵x1≠x2,∴不妨设x1取x1为自变量构造函数F(x1)=f,
则F'(x1)=f '
=,
∵a>0,∴f '(x)=ex+2ax在R上单调递增,
又>0,
∴f '>f '(x1),即F'(x1)>0.
∴关于x1的函数F(x1)在R上单调递增,
∴F(x1)∴f.
5专题强化练14 函数的最大(小)值及其应用
一、选择题
1.(2020江苏苏州中学调研)函数y=在(0,2)上的最小值是( )
A. D.e
2.(2021江苏连云港期中调研)函数f(x)=xln x-x+2a+2,若f(x)与f(f(x))有相同的值域,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0] B.
C. D.[0,+∞)
3.(2020江苏徐州一中一调)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln 的图象分别与直线y=m交于A,B两点,则AB的最小值为( )
A.2+ln 2 B.2-ln 2
C.2+2ln 2 D.2-2ln 2
4.(2020江苏连云港赣榆线上质检)已知函数f(x)=2x-e2x(e为自然对数的底数),g(x)=mx+1(m∈R),若对于任意的x1∈[-1,1],总存在x0∈[-1,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,1-e2]∪[e2-1,+∞)
B.[1-e2,e2-1]
C.(-∞,e-2-1]∪[1-e-2,+∞)
D.[e-2-1,1-e-2]
5.(多选)(2021江苏南通如皋中学段测)已知函数f(x)=ex+aln x,则下列结论正确的是( )
A.当a=0时,函数f(x)有最大值
B.对于任意的a<0,函数f(x)一定存在最小值
C.对于任意的a>0,函数f(x)是(0,+∞)上的增函数
D.对于任意的a>0,都有函数f(x)>0
二、填空题
6.若不等式ex-1≥kx+ln x对于任意的x∈(0,+∞)恒成立,则k的最大值为 .
7.(2020福建师范大学附属中学期末)若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
8.(2020北京石景山期末)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a=3, f(x)的图象与y轴交于点A,求曲线y=f(x)在点A处的切线方程;
(3)在(2)的条件下,证明:当x>0时, f(x)>x2-3x+1恒成立.
9.(2020江苏扬州邗江中学期中)有一块半圆形的空地,直径AB=200米,政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃ABCD,如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上,其余为绿化部分,设∠BOC=θ.
(1)记花圃的面积为f(θ)平方米,求f(θ)的最大值;
(2)若花圃的造价为10元/平方米,在花圃的边AB、CD上铺设具有美化效果的灌溉管道,铺设费用为500元/米,两腰AD、BC不铺设,求θ满足什么条件时,总造价最大.
10.(2022江苏常州联考)已知函数f(x)=x-aln x+,a,b∈R.
(1)若a>0,b>0,且1是函数f(x)的极值点,求的最小值;
(2)若b=a+1,且存在x0∈,使f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
11.(2021江苏百校联考)已知函数f(x)=cos x+a(ex-1).
(1)当a=1时,求f(x)在(0,π)上的单调性;
(2)若 x0∈(0,+∞),f(x0)答案全解全析
一、选择题
1.D ∵y=,∴y'=,令y'=0,得x=1.当00,
∴函数y=在x=1处取得极小值,也是最小值,即ymin=e.故选D.
2.B 由题意得f'(x)=ln x,∴当x>1时,f'(x)>0,当0∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)的极小值,也是最小值,为f(1)=2a+1,且x→+∞时,f(x)→+∞,即f(x)的值域为[2a+1,+∞),∵函数f(x)与f(f(x))有相同的值域,且f(x)的定义域为(0,+∞),∴0<2a+1≤1,解得-3.A 由题意可知A(ln m,m),B(2,m),m>0,其中2>ln m,
故AB=2-ln m,设h(x)=2-ln x=ex-ln x(x>0),则h'(x)=,因为y=ex在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,故h'(x)在(0,+∞)上单调递增,又h'=0,所以当0时,h'(x)>0,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以当x=时,h(x)取得极小值,也是最小值,为2+ln 2.故选A.
4.A ∵f '(x)=2-2e2x,∴f(x)在区间[-1,0]上为增函数,在区间[0,1]上为减函数.
∵f(-1)-f(1)=(-2-e-2)-(2-e2)=e2-e-2-4>0,∴f(-1)>f(1),又f(0)=-1,∴函数f(x)在区间[-1,1]上的值域为[2-e2,-1],记A=[2-e2,-1].当m>0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为[-m+1,m+1],记B=[-m+1,m+1].依题意有A B,则解得m≥e2-1.当m=0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为{1},不符合题意.当m<0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为[m+1,-m+1],记C=[m+1,-m+1].依题意有A C,则解得m≤1-e2.综上,实数m的取值范围为(-∞,1-e2]∪[e2-1,+∞).故选A.
5.BC 对于A,当a=0时,函数f(x)=ex,根据指数函数的单调性可知,f(x)单调递增,故无最大值,故A错误;
对于B,∵ f(x)=ex+aln x,∴ f'(x)=ex+,易知对于任意的a<0,f'(x)在(0,+∞)上单调递增,当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→0时,f(x)→-∞,∴存在f'(x0)=0,∴当0x0时, f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(x0),故B正确;
对于C,∵ 函数f(x)=ex+aln x,∴ f'(x)=ex+ , ∵a>0,x>0,∴f'(x)>0,∴函数f(x)是(0,+∞)上的增函数,故C正确;
对于D,当x→0时,ex→1,ln x→-∞,可得f(x)→-∞,故D错误.故选BC.
二、填空题
6.答案 e-1
解析 由题意得,k≤对任意的x∈(0,+∞)恒成立,
令h(x)=,x>0,则h'(x)=,x>0,
易得h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故当x=1时,h(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为e-1,故k的最大值为e-1.
7.答案 (-1,0)
解析 ∵f(x)=3x-x3,∴f'(x)=3-3x2,
令f'(x)=0,得3-3x2=0,解得x=±1,
x (-∞, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∵f(x)在(a-1,a)上有最小值,∴-1∈(a-1,a),
∴所以-1易得f(-1)=-3-(-1)=-2,
令f(x)=-2,得x3-3x-2=0,
即(x+1)2(x-2)=0,所以x=-1或x=2,
因此a≤2.②
由①②知a的取值范围是(-1,0).
易错警示
由函数的最大(小)值确定参数的取值范围时不仅要考虑极值点,还要考虑端点处的函数值.
三、解答题
8.解析 (1)依题意得f'(x)=ex-a,
当a≤0时, f'(x)>0恒成立,
所以f(x)在R上单调递增,
当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a.
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln a) ln a (ln a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当a>0时, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
综上所述,当a≤0时, f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间,
当a>0时, f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
(2)当a=3时, f(x)=ex-3x,则f '(x)=ex-3.
令x=0,得f(0)=1,则A(0,1),
因为f'(x)=ex-3,所以f'(0)=1-3=-2,
所以曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-1=-2(x-0),即y=-2x+1.
(3)证明:令g(x)=f(x)-(x2-3x+1)=ex-x2-1(x>0),则g'(x)=ex-2x.
令h(x)=ex-2x(x>0),则h'(x)=ex-2,
当0当x>ln 2时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)≥h(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-2ln 2>0,
即g'(x)>0恒成立,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(0)=1-0-1=0,
所以ex-x2-1>0,
即当x>0时, f(x)>x2-3x+1恒成立.
9.信息提取 (1)花圃ABCD的形状为等腰梯形;(2)设∠BOC=θ,记花圃的面积为f(θ)平方米,求f(θ)的最大值;(3)在花圃的边AB、CD上铺设具有美化效果的灌溉管道, 两腰AD、BC不铺设;(4)求θ满足什么条件时,总造价最大.
数学建模 本题以生活中的造价问题为背景构建关于角度的函数模型,利用数形结合及已知条件得到函数解析式,再利用导数求得函数的最值.对于(1),根据梯形的面积公式可得f(θ)=104(sin θ+cos θsin θ),θ∈,再利用导数求f(θ)的最大值;对于(2),求出花圃的总造价,再利用导数确定总造价最大时θ的值.
解析 (1)设半圆形空地的半径为r米,则r=100,
如图,作CE⊥AB,垂足为E,
因为∠BOC=θ,所以CE=OC·sin θ=rsin θ,OE=rcos θ,
所以CD=2OE=2rcos θ,
所以f(θ)=×(2r+2rcos θ)×rsin θ
=r2(sin θ+cos θsin θ)
=104(sin θ+cos θsin θ),θ∈.
则f'(θ)=104(cos θ+2cos2θ-1)
=104(cos θ+1)(2cos θ-1),θ∈,
所以当0<θ<时,f'(θ)>0,f(θ)单调递增;当时,f'(θ)<0,f(θ)单调递减.
所以当θ=时,f(θ)最大,最大值为f=7 500.
(2)设花圃总造价为W(θ)元,则W(θ)=10f(θ)+500(2r+2rcos θ)=105(sin θ+1)(1+cos θ),θ∈,
所以W'(θ)=105(cos 2θ+cos θ-sin 2θ-sin θ)
=105(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ+1).
令W'(θ)=0,则cos θ-sin θ=0,
又θ∈,所以θ=.
当0<θ<时,W'(θ)>0,函数W(θ)单调递增,
当时,W'(θ)<0,函数W(θ)单调递减,
所以当θ=时,函数W(θ)有最大值,即总造价最大.
10.解析 (1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=1-,
因为1是函数f(x)的极值点,所以f'(1)=1-a-b=0,即a+b=1.
此时f'(x)=1-,b>0,
故当01时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,符合题意.
所以.
因为a>0,b>0,
所以≥2当且仅当,即a=时等号成立,
所以的最小值为3+2.
(2)当b=a+1时,f(x)=x-aln x+,
则f'(x)=1-(x>0),
存在x0∈使f(x0)<0成立,即函数f(x)在上的最小值小于0.
①当1+a≥1,即a≥0时,f(x)在上单调递减,
所以f(x)在上的最小值为f(1)=1+a+1=a+2,故a+2<0,解得a<-2,矛盾,故舍去;
②当1+a≤,即a≤-1时,f(x)在上单调递增,
所以f(x)在上的最小值为f,故(e+1)a+e+<0,
解得a<-,又a≤-1,所以a<-;
③当<1+a<1,即-1所以f(x)在上的最小值为f(1+a)=a+1+1-aln(a+1)=a[1-ln(a+1)]+2,
因为<1+a<1,所以-1所以a>a[1-ln(a+1)]>2a,所以f(1+a)=a[1-ln(a+1)]+2>2a+2>0,不符合题意,故舍去.
综上,a的取值范围是.
11.解析 (1)当a=1时,f(x)=cos x+ex-1,
则f'(x)=-sin x+ex.
因为x∈(0,π),所以-sin x∈[-1,0),ex>1,从而f'(x)>0,
所以f(x)在(0,π)上单调递增.
(2)f(x0)0.
令g(x)=x-a(ex-1)(x>0),
则g'(x)=1-aex.
当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(0)=0恒成立.
当a>0时,令g'(x)=0,得x=ln .
若00,x∈时,g'(x)>0;
x∈时,g'(x)<0.
所以g(x)在上单调递增,在上单调递减,
从而g(x)max=g=ln -1+a.
令h(a)=ln -1+a,a∈(0,1),
则h'(a)=-+1<0,
所以h(a)在(0,1)上单调递减,所以h(a)>h(1)=0,即g(x)max>0,符合题意.
若a≥1,则ln ≤0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,则g(x)综上,a的取值范围为(-∞,1).
10专题强化练13 函数极值的求解及其应用
一、选择题
1.(2020江苏南京江宁高级中学期中)若函数y=f(x)存在n-1(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为( )
A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数 D.5折函数
2.(多选)(2022江苏盐城一中、大丰高级中学等四校期末)2018年世界著名的国际科技期刊《Nature》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention》的论文,该论文以12个不同领域的数据指出双指数型函数f(x)=C1(C1,C2,λ1,λ2为常数,且均不为零)在描绘人类行为时的普适作用.关于该函数,下列说法中正确的有 ( )
A.当C1C2>0且λ1≠λ2时,函数f(x)有零点
B.当C1C2<0且λ1≠λ2时,函数f(x)有零点
C.当C1C2λ1λ2<0且λ1≠λ2时,函数f(x)有极值
D.当C1C2λ1λ2>0且λ1≠λ2时,函数f(x)有极值
3.(2020江西上饶阶段测试)已知函数f(x)=ax-x2-ln x存在极值,若这些极值的和大于5+ln 2,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,4) B.(4,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
4.(多选)(2020江苏连云港海头高级中学四检)已知f(x)是定义在R上的函数,f'(x)是f(x)的导函数,给出下列四个结论,其中正确的是( )
A.若f(-1)=2,且f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞)
B.若f'(x)+ >0,且f(0)=e,则函数xf(x)有极小值0
C.若f'(x)+f(x)>0,且f(0)=1,则不等式exf(x)<1的解集为(0,+∞)
D.若f'(x)-f(x)>0,则 >f(2 019)
二、填空题
5.已知函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,则实数a的取值范围是 .
6.(2020江苏扬州仙城中学阶段测试)已知函数f(x)=(x-3)ex+a(2ln x-x+1)在(1,+∞)上有两个极值点,且f(x)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
7.(2020江苏苏州四中质检)定义:若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“YZ函数”.
(1)判断函数f(x)=-1是不是“YZ函数”,并说明理由;
(2)若函数g(x)=ln x-mx(m∈R)是“YZ函数”,求实数m的取值范围;
(3)已知h(x)=b,x∈(0,+∞),a、b∈R,求证:当a≤-2,且0答案全解全析
一、选择题
1.C 由题意得f '(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)(ex-3x-2),
令f '(x)=0,得3x+2=ex或x+2=0,结合直线y=3x+2与函数y=ex的图象,可得方程3x+2=ex有两个实根,且均不为-2.故函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2有3个极值点,故选C.
2.BC 令f(x)=C1=0,则C1,∴-,
∵>0,∴->0,即C1C2<0,∴A错误,B正确.
易得f'(x)=C1λ1,若函数f(x)有极值,则f'(x)=0有解,
令f'(x)=0,则C1λ1,∴-,
∵>0,∴->0,∴C1C2λ1λ2<0,故D错误.
当C1C2λ1λ2<0时,不妨设C1λ1>0,C2λ2<0,λ1>λ2,
则f'(x)=+C2λ2],由f'(x)=0,得x=ln ,记x0=,
因此当x>x0时,f'(x)>0;当x故选BC.
3.B ∵f(x)=ax-x2-ln x(x>0),
∴f'(x)=-(x>0).
∵f(x)存在极值,
∴f'(x)=0在(0,+∞)上有实根,
即2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有解,
即a=2x+在(0,+∞)上有解.
由2x+≥2当且仅当x=时取“=”,得a>2时无极值).
此时, f'(x)=0有两个不相等的正实数根,设为x1,x2,则x1+x2=,
∴f(x1), f(x2)是f(x)的两个极值,
依题意得f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-()-(ln x1+ln x2)=+1+ln 2>5+ln 2,
化简得a2>16,又a>2,
∴a>4.
∴a的取值范围是(4,+∞),故选B.
解题模板
与函数的极值有关的问题,在解题时常用“整体代入”的方法,如本题中用根与系数的关系整体代入,有时还需将f'(x0)=0整体代入f(x0),进而解决相关的极值问题.
4.ABD 设g(x)=f(x)-2x-4,因为f(-1)=2,且f '(x)>2,
所以g'(x)=f '(x)-2>0,所以g(x)是R上的增函数,又因为g(-1)=f(-1)+2-4=0,
所以当x>-1时,g(x)=f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞),故A正确.
设h(x)=xf(x),则h'(x)=f(x)+xf '(x),
因为f '(x)+>0,
所以当x∈(-∞,0)时,h'(x)=f(x)+xf '(x)<0,h(x)为减函数;
当x∈(0,+∞)时,h'(x)=f(x)+xf '(x)>0,h(x)为增函数,故当x=0时,h(x)=xf(x)取得极小值,极小值为h(0)=0,故B正确.
设m(x)=exf(x),则m'(x)=exf(x)+exf '(x)=ex·[f(x)+f '(x)],因为f '(x)+f(x)>0,ex>0,所以m'(x)>0,故m(x)是R上的增函数.又因为f(0)=1,所以m(0)=e0f(0)=1,
所以当x∈(0,+∞)时,m(x)=exf(x)>1,故C错误.
设n(x)=,则n'(x)=,因为f '(x)-f(x)>0,所以n'(x)=>0,故n(x)是R上的增函数,所以n(2 020)>n(2 019),即 ,即 >f(2 019),故D正确.
故选ABD.
二、填空题
5.答案 (-28,4)
解析 易得f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
令f'(x)>0,得x<-1或x>3;
令f'(x)<0,得-1所以f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减.
所以当x=-1时, f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=4,当x=3时, f(x)取得极小值,极小值为f(3)=-28.
因为函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,
所以-286.答案 (2e2,+∞)
解析 由f(x)=(x-3)ex+a(2ln x-x+1),
可得f '(x)=ex+(x-3)ex+a=(x-2)·=(x-2)·,
又函数f(x)在(1,+∞)上有两个极值点,
所以f '(x)=0,即(x-2)·=0在(1,+∞)上有两个解,
即xex-a=0在(1,+∞)上有一个不等于2的解,令g(x)=xex(x>1),则g'(x)=(x+1)·ex>0(x>1),所以函数g(x)=xex在(1,+∞)上单调递增,
所以a>g(1)=e且a≠g(2)=2e2,又f(x)在(1,2)上单调递增,所以f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,即(x-2)·≥0在(1,2)上恒成立,即xex-a≤0在(1,2)上恒成立,
即a≥xex在(1,2)上恒成立,
由函数g(x)=xex在(1,+∞)上单调递增,可得a≥g(2)=2e2.
综上所述,实数a的取值范围是(2e2,+∞).
三、解答题
7.解析 (1)函数f(x)=-1是“YZ函数”.
理由:因为f(x)=-1,所以f '(x)=.
当x<1时,f '(x)>0;当x>1时,f '(x)<0,
所以函数f(x)=-1的极大值为f(1)=-1<0,故函数f(x)=-1是“YZ函数”.
(2)易得函数g(x)=ln x-mx的定义域为(0,+∞),g'(x)=-m.
当m≤0时,g'(x)=-m>0,函数g(x)单调递增,无极大值,不满足题意;
当m>0时,令g'(x)=-m>0,得0令g'(x)=-m<0,得x>,故函数g(x)在上单调递减,
所以函数g(x)的极大值为g-m·=-ln m-1,
易知g=-ln m-1<0,解得m>,
因此实数m的取值范围是.
(3)证明:易得h'(x)=x2+ax+b,因为a≤-2,00,
所以h'(x)=x2+ax+b=0有两个不等实根,设为x1、x2,
易得所以x1>0,x2>0,
不妨设0当0x2时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增;
当x1所以函数h(x)的极大值为h(x1)=b,
由h'(x1)=+ax1+b=0得-bx1,
因为a≤-2,0所以h(x1)=b
=b
=b
≤-b(b-1)<0.
所以函数h(x)是“YZ函数”.
6专题强化练10 导数几何意义的简单应用
一、选择题
1.(2020江苏南通如东高级中学期中)曲线y=x3+x在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2x B.y=-x
C.y=2x D.y=x
2.(多选)下列命题正确的是( )
A.若f'(x0)=0,则曲线f(x)在x=x0处无切线
B.曲线y=f(x)的切线与曲线可以有两个公共点
C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,则当Δx→0时,→1
D.若函数f(x)的导数f'(x)=x2-2,且f(1)=2,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y-3=0
3.(2020山西晋中模拟)若曲线f(x)=的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为( )
A.
C.或或
4.曲线f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是( )
A.10 B.9
C.8 D.3
二、填空题
5.(2020江苏镇江扬中高级中学期中)曲线y=f(x)=的所有切线的斜率的最小值为 .
6.(2022江苏常州教育学会学业水平监测)函数y=x+b的图象与函数y=2的图象有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围为 .
三、解答题
7.设A、B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)若M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
8.已知函数y=f(x)=ax2+1(a>0),y=g(x)=x3+bx.若f(x)与g(x)在它们的图象的交点(1,c)处有公切线,求a,b的值.
答案全解全析
一、选择题
1.D 由题意得,切线的斜率k=
=[(Δx)2+1]=1,
所以曲线y=x3+x在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.
2.BD 若f'(x0)=0,则曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率为0,并不是无切线,故A错误;
曲线y=f(x)的切线与曲线可以有两个公共点,例如曲线f(x)=x3-3x在x=1处的切线为y=-2,与曲线还有一个公共点(-2,-2),故B正确;
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以f'(1)=2,
又 =-
=-f'(1)=-1≠1,故C错误;
因为函数f(x)的导数f'(x)=x2-2,
所以f'(1)=12-2=-1,
又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2),斜率为-1,所以切线方程为y-2=-(x-1),化简得x+y-3=0,故D正确.故选BD.
3.C 设切点坐标为(x0,),由导数的定义,
得f'(x)=,
则切线的斜率k=,切线方程为y-(x-x0),将(8,3)代入,得x0=4或x0=16,所以k=或k=.
4.B 由f(x)=ax2+bx,得
f'(x)=
==2ax+b,
又曲线f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+=1,
则
=+5≥2+5=9,
当且仅当即时等号成立,所以的最小值是9,故选B.
二、填空题
5.答案 4
解析 由题意得, f'(x)=
=
=≥2=4,当且仅当x2=,即x=±时取等号.
6.答案 (-∞,0)∪{1}
解析 由幂函数的性质作出y=2的图象,观察图象可知,两个图象有一个公共点的情况有两种:
①当直线y=x+b与y=2的图象相切时,只有一个公共点.
令y=f(x)=2,
则f'(x)=.
设切点为(x0,y0),则f'(x0)==1,解得x0=1,
因为点(x0,y0)在函数y=2的图象上,所以y0=2,所以切点为(1,2),
因为切点在切线y=x+b上,所以2=1+b,解得b=1.
②当b<0时,两图象只有一个公共点.
综上,实数b的取值范围为(-∞,0)∪{1}.
三、解答题
7.解析 (1)由题意可设A(x1≠x2),则x1+x2=4.
所以直线AB的斜率k=×4=1.
(2)设直线AB的方程为y=x+t,代入曲线C:y=,可得x2-4x-4t=0,
则Δ=16+16t>0,解得t>-1,
易求得x1+x2=4,x1x2=-4t,
由y=得y'=
=x,
设M,则曲线C在点M处的切线斜率为m,
由曲线C在点M处的切线与直线AB平行,
可得m=1,解得m=2,即M(2,1),
由AM⊥BM可得,kAM·kBM=-1,
即·=-1,
化简得x1x2+2(x1+x2)+20=0,
即-4t+28=0,解得t=7,
∴直线AB的方程为y=x+7.
8.解析 因为f'(x)=
==2ax,
所以f'(1)=2a,即函数f(x)的图象在点(1,c)处的切线的斜率k1=2a.
因为g'(x)=
==3x2+b,
所以g'(1)=3+b,即函数g(x)的图象在点(1,c)处的切线的斜率k2=3+b.
因为f(x)与g(x)在它们的图象的交点(1,c)处有公切线,
所以2a=3+b,且c=a+1,c=1+b,
所以解得
5专题强化练11 导数的运算法则及其应用
一、选择题
1.(多选)(2022山东师范大学附属中学期中)下列结论中正确的是( )
A.若y=cos,则y'=
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=ln(5x),则y'=
D.若y=e2x,则y'=e2x
2.(2020江苏无锡锡东高级中学检测)若函数f(x)=2xf '(1)+x2,则 等于( )
A.-
3.(2021江苏常州教育学会监测)已知函数f(x)=x2+aln x,a>0,若曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线是曲线y=f(x)的所有切线中斜率最小的,则a=( )
A. D.2
4.(2020江苏泰州中学检测)函数f(x)=x-g(x)的图象在x=2处的切线方程是y=-x-1,则g(2)+g'(2)=( )
A.7 B.4 C.0 D.-4
5.(2021山东潍坊期中联考)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0·,其中P0为初始时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为 ( )
A.20天 B.30天 C.45天 D.60天
二、填空题
6.已知某物体的运动方程是s=则该物体在t=1时的瞬时速度为 ;在t=4时的瞬时速度为 .
7.(2021江苏无锡江阴开学检测)设曲线f(x)=ex在点(0,1)处的切线与曲线g(x)=(x>0)上点Ρ处的切线垂直,则点Ρ的坐标为 .
8.(2020江苏扬州期中)设f0(x)=cos x,f1(x)=f '0(x),f2(x)=f '1(x),……,fn+1(x)=f 'n(x)(n∈N),若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+f3(A)+…+f2 022(A)=0,则sin A= .
三、解答题
9.(2020江苏苏州张家港期中联考)已知a,b,c∈R,函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的导函数为f '(x).
(1)若b=c,求曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线方程;
(2)求的值.
答案全解全析
一、选择题
1.AB 对于A,y'=-sin·,A正确;对于B,y'=cos x2·(x2)'=2xcos x2,B正确;对于C,y'=·(5x)'=,C错误;对于D,y'=e2x·(2x)'=2e2x,D错误.
2.C f '(x)=2f '(1)+2x,令x=1,得f '(1)=2f '(1)+2,∴f '(1)=-2,∴f '(x)=2x-4,f(x)=-4x+x2,∴f '(-1)=-6,又f(-1)=5,∴.故选C.
3.D f '(x)=2x+,由题意及导数的几何意义可知当x=1时,f '(x)取得最小值,
因为a>0,x>0,所以f '(x)=2x+≥2×,
当且仅当2x=,即a=2x2时, f '(x)取得最小值,又因为x=1时f '(x)取得最小值,所以a=2×12=2,故选D.
4.A ∵f(x)=x-g(x),∴f '(x)=1-g'(x),∵函数f(x)=x-g(x)的图象在x=2处的切线方程是y=-x-1,∴f(2)=-3,f '(2)=-1,∴g(2)+g'(2)=2-f(2)+1-f '(2)=7,故选A.
5.答案 D
信息提取 (1)某放射性同位素的含量P与时间t满足函数关系P(t)=P0·;(2)t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-;(3)求放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间.
数学建模 本题以化学中放射性同位素的衰变为背景,构建函数模型,将放射性同位素的瞬时变化率转化为导数来求解.由已知可得P'(15)=-,根据该等式列出关于P0的方程并求出P0,再令P(t)=4.5,解出t即得结果.
解析 由P(t)=P0·得P'(t)=-·P0··ln 2,因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,所以P'(15)=-,解得P0=18,则P(t)=18·,
当该放射性同位素含量为4.5贝克,即P(t)=4.5时,
有18·=4.5,即,所以-=-2,解得t=60.故选D.
二、填空题
6.答案 6;6
解析 当t=1时,Δs=3(1+Δt)2+2-3×12-2=3(Δt)2+6Δt,
∴=3Δt+6,∴=6,
即该物体在t=1时的瞬时速度为6.
当t=4时,Δs=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,
∴=3Δt+6,∴=6,
即当t=4时的瞬时速度为6.
7.答案 (1,1)
解析 设P(x0,y0)(x0>0).对f(x)=ex求导得f '(x)=ex,令x=0,得f'(0)=1,故曲线f(x)=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1,故曲线g(x)=(x>0)在点P处的切线的斜率为-1,即x=x0时,g '(x0)=-=-1,得x0=1(负值舍去),则y0=1,所以点P的坐标为(1,1).
8.答案
解析 由题意得,f1(x)=f '0(x)=-sin x,f2(x)=f '1(x)=-cos x,f3(x)=f '2(x)=sin x,f4(x)=f '3(x)=cos x,f5(x)=f '4(x)=-sin x,……,所以{fn(x)}是周期为4的周期数列,且f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
∴f1(A)+f2(A)+f3(A)+…+f2 022(A)=f1(A)+f2(A)=-sin A-cos A=0,即tan A=-1,又A是三角形ABC的内角,∴A=135°,故sin A=.
三、解答题
9.解析 (1)若b=c,则f(x)=(x-a)·(x-b)2,
所以f '(x)=(x-b)2+(x-a)·2·(x-b),
则f '(b)=(b-b)2+(b-a)·2·(b-b)=0,即曲线y=f(x)在点(b,f(b))处的切线的斜率为0,
又f(b)=(b-a)(b-b)2=0,
所以所求切线方程为y=0.
(2)由f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)得f '(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)·[(x-b)(x-c)]'=(x-b)(x-c)+(x-a)·(x-c)+(x-a)(x-b),
所以f '(a)=(a-b)(a-c), f '(b)=(b-a)(b-c), f '(c)=(c-a)(c-b),
因此
=·
=·
=-=0.
5