2.2 充分条件、必要条件、充要条件
基础过关练
题组一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
1.(2022江苏淮安中学期中)已知集合M={x|0
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.(2020江苏南京溧水高级中学月考)已知p:q:则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.(多选)(2021河北唐山第一中学期中)在下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是( )
A.若两个三角形全等,则这两个三角形相似
B.若x>5,则x>10
C.若ac=bc,则a=b
D.若04.(2020江苏连云港海头高级中学期中)如图所示的电路图,条件p:开关S闭合,条件q:灯泡L亮,则p是q的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).
5.若全集为R,数集A,B在数轴上表示如图所示,则“x B”是“x∈A”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
题组二 充分条件、必要条件、充要条件的探究与证明
6.(2020江苏泰兴中学月考)下列条件中,是-2A.-2≤x≤2 B.-2C.07.(2022江苏东台中学月考)关于x的方程x2-(2a+1)x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是( )
A.a>1 B.a>-2
C.a≥- D.a≥-4
8.使得“x>0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.|x|>1 B.x2>0
C.≤2 D.≥0
9.证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
题组三 利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围
10.(2022江苏木渎高级中学期中)已知p:m-1A.(3,5)
B.[3,5]
C.(-∞,3)∪(5,+∞)
D.(-∞,3]∪[5,+∞)
11.(2022江苏南京溧水高级中学期中)已知A=[-1,3],B=[2m-1,m+5],若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为( )
A. B.(-2,0]
C.[-2,0] D.[-2,0)
12.(多选)(2020江苏金陵中学月考)已知p:x2+x-6=0;q:ax+1=0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的值可以是( )
A.-2 B.- C. D.-
13.(2020湖南岳阳、湘潭联考)已知命题p:1-c0),命题q:x>7或x<-1,若p是q的既不充分也不必要条件,则c的取值范围是 .
14.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
15.(2022江苏句容高级中学期中)已知P={x|1≤x≤4},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1)是否存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由;
(2)是否存在m∈R,使x∈P是x∈S的必要条件 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B 2.B 3.BCD 6.A 7.A 8.D 10.B 11.C
12.BC
1.B 易知M N,故“a∈N”是“a∈M”的必要不充分条件.故选B.
2.B 由得a+b>-6,但是ab>9不一定成立,故充分性不成立;
由故必要性成立.
故p是q的必要不充分条件.
3.BCD 对于选项A,若两个三角形全等,则这两个三角形一定相似,但两个三角形相似未必全等,故p是q的充分条件;
对于选项B,由x>5无法推出x>10,如6>5,但6<10,反之成立,故p是q的必要条件;
对于选项C,由ac=bc无法得到a=b,如c=0,a=1,b=2时,有ac=bc,但是a≠b,反之成立,故p是q的必要条件;
对于选项D,若04.答案 充分不必要
解析 当开关S闭合时,灯泡L亮;当灯泡L亮时,开关S、S1至少一个闭合.所以p是q的充分不必要条件.
5.答案 充分不必要
解析 由题图可知 RB A,
∴“x B”是“x∈A”的充分不必要条件.
6.A 因为{x|-2解题模板
探求充分、必要条件问题,应明确“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”,即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”,即得“结论”的充分不必要条件.
7.A 若方程有实数根,则Δ=[-(2a+1)]2-4a2=4a+1≥0,解得a≥-,
∴其充分不必要条件对应的集合只需真包含于即可,∴只有A符合要求.故选A.
8.D 对于A选项,解不等式|x|>1,得x<-1或x>1,则“|x|>1”是“x>0”的既不充分也不必要条件;对于B选项,解不等式x2>0,得x≠0,则“x2>0”是“x>0”的必要不充分条件;对于C选项,解不等式≤2,得x<0或x≥≤2”是“x>0”的既不充分也不必要条件;对于D选项,解不等式≥0,得x≥1,则“≥0”是“x>0”的充分不必要条件.故选D.
9.证明 充分性(由ac<0推证方程有一个正根和一个负根):
∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
∴方程一定有两个不相等的实数根,
不妨设为x1,x2(x1≠x2),则x1x2=<0,
∴方程的两个根异号,即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.
必要性(由方程有一个正根和一个负根推证ac<0):
∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,不妨设为x1,x2(x1≠x2),
∴由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0,此时Δ=b2-4ac>0,满足方程有两个不相等的实数根.
综上,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
10.B 设A={x|m-1由题知,A B,所以解得3≤m≤5,
所以实数m的取值范围为[3,5].
故选B.
11.C 由已知,得A B,
则
解得-2≤m≤0.
12.BC 设A={x|x2+x-6=0}={-3,2},B={x|ax+1=0}.
当a=0时,B= ;当a≠0时,B=.
因为p是q的必要不充分条件,所以B A.
当a=0时,满足题意;当a≠0时,需满足-.
综上,a=0或a=.故选BC.
13.答案 c>0
解析 设命题p对应的集合为A,则A={x|1-c0},命题q对应的集合为B,则B={x|x>7或x<-1}.
因为p是q的既不充分也不必要条件,
所以A∩B= 或A不是B的子集且B不是A的子集,所以②,
解①得c≤2,解②得c≥-2.
又c>0,所以c的取值范围为c>0.
14.解析 y=x2-x+1=,
∴在上,y=的值随x的增大而增大,
∴≤y≤2,即A=.
B={x|x+m2≥1}={x|x≥1-m2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A B,
∴≥1-m2,即m2≥,
∴m≤-或m≥,
故实数m的取值范围是∪.
15.解析 (1)不存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要条件.理由如下:
要使x∈P是x∈S的充要条件,
则P=S,即此方程组无解,
所以不存在m∈R,使x∈P是x∈S的充要条件.
(2)存在.
要使x∈P是x∈S的必要条件,则S P.
①当S= 时,1-m>1+m,解得m<0;
②当S≠ 时,1-m≤1+m,解得m≥0,
要使S P,则有
解得m≤0,所以m=0.
综上,当m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.
1第2章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
基础过关练
题组一 命题的概念及结构
1.给出下列语句,其中不是命题的是( )
①是无限循环小数;
②x2-3x+2=0;
③当x=4时,2x>0;
④一个数不是奇数就是偶数.
A.② B.①②③
C.②④ D.③④
2.命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为( )
A.在三角形中,若一边较大,则其所对角较大
B.在三角形中,若一角较大,则其所对边较大
C.若某平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若某平面图形是三角形,则其大角对大边
3.命题“一次函数y=2x+1的值随x的增大而增大”的条件是 ,结论是 .
题组二 命题真假的判断
4.给出下列命题:①∈Q;②{1,2}={(1,2)};③2∈{1,2};④{ } {1,2}.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(多选)(2020江苏如皋中学月考)下列命题中假命题是( )
A.{0}不是空集
B.若a∈N,则-a N
C.“存在x∈N,2x为偶数”是假命题
D.集合B=是有限集
6.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)能被6整除的数一定是偶数;
(2)当+|b+2|=0时,a=1,b=-2;
(3)已知x,y为正整数,当y=x2时,y=1,x=1.
题组三 根据命题的真假求参数的取值范围
7.已知命题p:方程x2-2x-a=0没有实数根;命题q:-4A.(-4,1) B.(-3,2]
C.(-4,-1) D.[2,+∞)
8.(2022江苏陆慕高级中学月考)已知命题“若19.(2022江苏天星湖中学阶段检测)命题p:对于任意x∈R,x2+1>a,命题q:a2-4>0,若p和q一真一假,则实数a的取值范围为 .
10.已知A:5x-1>a,B:x>1,请确定实数a的取值范围,使得由A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
答案全解全析
基础过关练
1.A 2.A 4.B 5.BCD 7.C
1.A
2.A
3.答案 一次函数为y=2x+1;函数y的值随x的增大而增大
4.B 为无理数,故①是假命题;{1,2}是以1,2为元素的集合,{(1,2)}是以点(1,2)为元素的集合,故两个集合不相等,所以②是假命题;由元素与集合的关系知③是真命题;集合{ }包含了元素 ,集合{1,2}包含了元素1,2,所以{ } {1,2},故④是假命题.故真命题的个数是1,故选B.
5.BCD {0}中包含一个元素0,所以{0}不是空集,故A是真命题;
当a=0时,a∈N,-a∈N,故B是假命题;
当x=2时,2x=4且4是偶数,故C是假命题;
当x=1,0.1,0.01,0.001,…时,满足x∈Q,∈N,但B=x∈Q∈N是无限集,故D是假命题.故选BCD.
6.解析 (1)若一个数能被6整除,则这个数为偶数.真命题.
(2)若+|b+2|=0,则a=1且b=-2.真命题.
(3)已知x,y为正整数,若y=x2,则y=1且x=1.假命题.
7.C 当p为真命题时,4+4a<0,解得a<-1;当q是真命题时,-4故当p和q都是真命题时,a应满足即-48.答案
解析 设A={x|1故m的取值范围是.
9.答案 [-2,1)∪(2,+∞)
解析 若p为真命题,则a<1;
若q为真命题,则a2>4,即a>2或a<-2.
由p和q一真一假,知当p为真,q为假时,所以-2≤a<1;
当q为真,p为假时,
所以a>2.
综上所述,实数a的取值范围是[-2,1)∪(2,+∞).
10.解析 令A为p,B为q,则命题“若p,则q”为“若5x-1>a,则x>1”,由命题为真命题可得≥1,解得a≥4.故当a≥4时,“若5x-1>a,则x>1”为真命题.
令B为p,A为q,则命题“若p,则q”为“若x>1,则5x-1>a”,由命题为真命题可得≤1,解得a≤4.故当a≤4时,“若x>1,则5x-1>a”是真命题.
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