2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础过关练
题组一 含有量词命题的否定
1.(2020山东滨州期末)设命题p:所有的矩形都是平行四边形,则 p为( )
A.所有的矩形都不是平行四边形
B.存在一个平行四边形不是矩形
C.存在一个矩形不是平行四边形
D.不是矩形的四边形不是平行四边形
2.(2022江苏新海高级中学月考)已知命题“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是( )
A. x∈R,均有x2+x+1≤0
B. x∈R,均有x2+x+1≥0
C. x∈R,有x2+x+1≥0
D. x∈R,有x2+x+1≤0
3.已知命题p: x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定为( )
A. x∈{x|x>1},x2+16≤8x
B. x∈{x|x>1},x2+16<8x
C. x∈{x|x>1},x2+16≤8x
D. x∈{x|x>1},x2+16<8x
题组二 含有量词命题的否定的真假判断
4.(2020江苏南通高级中学月考)设命题p: n∈N,3n>n2,则( )
A. p: n∈N,3n≤n2,且 p为假命题
B. p: n N,3n≤n2,且 p为真命题
C. p: n∈N,3n≤n2,且 p为假命题
D. p: n N,3n≤n2,且 p为真命题
5.下列命题的否定为假命题的是( )
A. x∈Z,1<4x<3
B. x∈Z,5x+1=0
C. x∈R,x2-1=0
D. x∈R,x2+3x+2=0
6.(多选)下列命题中,是存在量词命题且是真命题的是( )
A.至少有一个实数x,使得x3=1
B.菱形的对角线互相垂直
C. x∈R,x2+x+>0的否定
D. x∈R,-x2+x-2≥0的否定
题组三 含有量词命题的否定的应用
7.(多选)(2020江苏田家炳中学月考)若命题p: x∈R,ax2+2ax-4≥0为假命题,则实数a的值可以是( )
A.-3 B.0 C.4 D.-2
8.已知命题p: x∈[1,4],x2≥a,命题q:{a|-2
A.a=1 B.a≥1
C.a=1或a≤-2 D.-2≤a<1
9.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为 .
10.(2022江苏曲塘中学阶段检测)已知命题p: x∈[1,3],都有m≥x,命题q: x∈[1,3],使m≥x.若命题p为真命题, q为假命题,则实数m的取值范围为 .
11.已知命题p: x∈R,ax2-ax+1>0恒成立,命题q: x∈R,x2+x+a=0.若p,q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.AC 7.ABD 8.C
1.C
2.B 把“ ”变成“ ”,再否定结论,故选B.
3.C 在 p中,量词“ ”改为“ ”,结论“x2+16>8x”改为“x2+16≤8x”,故选C.
4.C 因为命题p: n∈N,3n>n2,所以 p: n∈N,3n≤n2.
易知命题p为真命题,所以 p为假命题.故选C.
5.D 命题的否定为假命题等价于原命题是真命题.由1<4x<3得 Z,故B中命题为假命题,其否定为真命题;当x2-1=0时,x=±1,故C中命题为假命题,其否定为真命题;存在实数x=-1或x=-2,使x2+3x+2=(x+1)(x+2)=0,故D中命题为真命题,其否定为假命题.故选D.
6.AC A中命题是存在量词命题,当x=1时,x3=1,所以A中命题是真命题;
B中命题是全称量词命题,不满足题意;
对于C, x∈R,x2+x+>0的否定为 x∈R,x2+x+≤0,是存在量词命题,x2+x+=≥0,当x=-=0,所以C中命题是真命题;
对于D, x∈R,-x2+x-2≥0的否定是 x∈R,-x2+x-2<0,是全称量词命题,不符合题意.故选AC.
7.ABD 易得 p: x∈R,ax2+2ax-4<0为真命题.
当a=0时,-4<0,符合题意,
当a≠0时,需满足解得-4综上,当-48.C 命题p: x∈[1,4],x2≥a是真命题,则在x∈[1,4]上,a≤(x2)min,所以a≤1;
命题 q:{a|a≤-2或a≥1}.
所以实数a的取值范围为a=1或a≤-2.
9.答案 (-∞,3)
解析 命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则其否定“ m∈R,A∩B= ”为真命题.
当a<0时,集合A= ,符合A∩B= .当a≥0时,因为m2+3>0,
所以由 m∈R,A∩B= ,得a又m2+3≥3,所以0≤a<3.
综上,实数a的取值范围为(-∞,3).
10.答案 {m|m≥3}
解析 由题意知,命题p,q都是真命题.
由 x∈[1,3],都有m≥x成立,只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.
由 x∈[1,3],使m≥x成立,只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.
因为两者同时成立,所以实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}={m|m≥3}.
11.解析 命题p: x∈R,ax2-ax+1>0恒成立,当a=0时,1>0恒成立,满足题意;
当a≠0时,解得0综上可知,0≤a<4,
∴当p为真命题时,实数a的取值范围是[0,4).
命题q: x∈R,x2+x+a=0,即Δ=12-4a≥0,解得a≤,
∴当q为真命题时,实数a的取值范围是.
∵p,q中有且仅有一个为真命题,∴当p为真命题,q为假命题时,∴实数a的取值范围是;
当p为假命题,q为真命题时,
解得a<0,∴实数a的取值范围是(-∞,0).
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0)∪.
12.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
基础过关练
题组一 全称量词命题与存在量词命题
1.下列命题中是全称量词命题的是( )
A.圆有内接四边形
B.>2
C.<2
D.若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形
2.(多选)下列命题中,与“ x∈R,x2>3”表述的内容相同的是( )
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
3.下列命题是全称量词命题的有 ;是存在量词命题的有 .(填序号)
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
题组二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
4.(多选)(2020江苏金陵中学月考)下列命题中,为真命题的是( )
A. x∈R,3x2-2x+15>0
B. x∈{-2,0,1},3x-2<0
C. x∈N,使≤x
D. x∈N*,使x为29的约数
5.(多选)(2021广东中山一中段考)下列命题中,为真命题的是( )
A.空集是任何一个非空集合的真子集
B. x∈R,4x2>2x-1+3x2
C. x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2
D. a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解
6.指出下列命题中哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假.
(1)对任意一个无理数x,x2也是无理数;
(2)对任意实数a,b,若a>b,则<;
(3)对任意一个实数x,都有|x|+2≥2;
(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线.
题组三 全称量词命题与存在量词命题的应用
7.已知命题p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a<1} B.{a|a>3}
C.{a|a≤1} D.{a|a≥3}
8.(2021江苏扬州邗江期中)已知命题p: x0>0,x0+t-1=0,若p为真命题,则实数t的取值范围是( )
A.{t|t>1} B.{t|t<1}
C.{t|t≥1} D.{t|t≤1}
9.(2022江苏梅村高级中学期中)命题“ x∈(-1,2),2x2+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是 .
10.(2022江苏楚州中学阶段检测)已知命题p: x∈R,不等式x2-4x-1>m恒成立,则实数m的取值范围为 .
答案全解全析
基础过关练
1.A 2.ABD 4.ACD 5.AC 7.C 8.B
1.A A中“圆有内接四边形”即为“所有圆都有内接四边形”,是全称量词命题,B、C、D中的命题均不含量词.故选A.
2.ABD C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD.
3.答案 ①②③;④
解析 ①中省略量词“任意一个”,是全称量词命题;②中省略量词“任何”,是全称量词命题;③中省略量词“任意一个”,是全称量词命题;④中含有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题.
4.ACD x∈R,3x2-2x+15=3>0,故A中命题是真命题;
当x=1时,3x-2>0,故B中命题是假命题;
x=4∈N,使≤x,故C中命题是真命题;
x=29∈N*,使x为29的约数,故D中命题是真命题.故选ACD.
5.AC 利用空集和真子集的关系可以判断A正确;
将4x2>2x-1+3x2整理,得x2-2x+1=(x-1)2>0,
因为x∈R,所以(x-1)2≥0,故B错误;
当x=1时,|x-2|=|1-2|<2,故C正确;
当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数多解,故D错误.故选AC.
6.解析 (1)全称量词命题,假命题.如:)2=2是有理数,所以该命题是假命题.
(2)全称量词命题,假命题.当a=1,b=-1时,满足a>b,此时,所以该命题为假命题.
(3)全称量词命题,真命题.对任意一个实数x,都有|x|≥0,则|x|+2≥2,故该命题是真命题.
(4)存在量词命题,假命题.因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线,所以该命题是假命题.
7.C 由p是真命题,可知a≤x在x∈[1,3]上恒成立,所以在x∈[1,3]上,a≤xmin,所以a≤1.故选C.
8.B 命题p: x0>0,x0+t-1=0,即 x0>0,x0=1-t,
∵p为真命题,∴1-t>0,解得t<1,∴实数t的取值范围是{t|t<1}.故选B.
9.答案 (-8,0]
解析 若命题“ x∈(-1,2),2x2+a=0”是真命题,
则2x2+a=0在x∈(-1,2)上有解,
所以a=-2x2在x∈(-1,2)上有解,
因为x∈(-1,2),所以-2x2∈(-8,0],
所以a∈(-8,0].
10.答案 {m|m<-5}
解析 令y=x2-4x-1,x∈R,则y=(x-2)2-5≥-5,
因为 x∈R,不等式x2-4x-1>m恒成立,
所以m<-5.
故实数m的取值范围是{m|m<-5}.
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