苏教版（2019）高中数学必修第一册3.2　基本不等式同步练习（Word含答案）

3.2　基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1　基本不等式的证明
3.2.2　基本不等式的应用
基础过关练
题组一　对基本不等式的理解
1.(2020江苏连云港海头高级中学月考)在不等式a+1≥2中等号成立的条件是(　　)
A.a=0　　　　　　　　B.a=
C.a=1　　　　　　　　D.a=2
2.在下列各式中,对任何实数x恒成立的是(　　)
A.x+1≥2　　　　　　　B.x2+1>2x
C.≤1　　　　　　　　D.x+≥2
3.(2020浙江杭州月考)下列不等式一定成立的是(　　)
A.3x+≥
B.3x2+≥
C.3(x2+1)+≥
D.3(x2-1)+≥(x≠±1)
题组二　利用基本不等式比较大小
4.(2020江苏南京第九中学月考)设a>b>0,则下列不等式中成立的是(　　)
A.>>　　　　　　　　
B.>>
C.>>　　　　　　　　
D.>>
5.(2022江苏江浦高级中学期中)近来猪肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤,甲和乙购买猪肉的方式不同,甲每周购买20元的猪肉,乙每周购买6斤猪肉,甲、乙两次平均单价分别记为m1元,m2元,则下列结论正确的是(　　)
A.m1=m2　　　　　　　　
B.m1>m2
C.m2>m1　　　　　　　　
D.m1,m2的大小无法确定
题组三　利用基本不等式求最值
6.(2022江苏徐州七中月考)已知x>0,则函数y=x+的最小值为(　　)
A.1　　　　　　　　B.2
C.4　　　　　　　　D.6
7.已知实数x>0,y>0,则x+y++的最小值为(　　)
A.4　　　　　　　B.6
C.2　　　　　 　D.3
8.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为(　　)
A.9　　　　　　　　B.8
C.6　　　　　　　　D.3
9.若010.(2022江苏曲塘中学月考)已知x>3,则+x的最小值为　　　　.
题组四　利用基本不等式证明不等式
11.已知x>0,求证:x+≥.
12.已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++.
题组五　利用基本不等式解决实际问题
13.(2020广东广州期末)为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、较优美的生活环境、较丰富的精神文化生活的追求,某大型广场正计划进行升级改造,改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为(　　)
A.20 m　　　　　　 　　B.50 m
C.10 m　　　　　　　　D.100 m
14.(2020江苏平潮高级中学期中)2020年上半年,新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情暴发造成医用防护服短缺,某地政府决定为医用防护服生产企业A公司的扩大生产提供x(x∈[0,10])万元的专项补贴,并以每套72元的价格收购其生产的全部医用防护服.A公司在收到政府x万元补贴后,医用防护服产量增加到t=4-(万套),同时A公司生产t万套医用防护服需要投入成本(52+3x+45t)万元.设A公司生产医用防护服产生的总收益为y万元.当政府的专项补贴为多少万元时,A公司生产医
用防护服产生的总收益最大
(注:总收益=销售总金额+政府专项补贴-成本)
能力提升练
题组一　利用基本不等式求最值(范围)
1.(2020江苏如东高级中学月考)已知0A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
2.(2022福建师大附中期中)设x1,x2分别为方程x2-4ax+3a=0(a>0)的两个实数根,则x1+x2+的最小值是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
3.(2020河南三门峡外国语高级中学期中)设正数x,y满足x2+=1,则x的最大值为(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
4.正数a,b满足2a+b=1,且2-4a2-b2≤t-恒成立,则实数t的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
5.(2020山东菏泽期末)已知x>y>0,则x2+的最小值为　　　　.
6.(2022江苏连云港新海高级中学月考)若x>0,y>0,且满足+=2,则x+y的最小值是　　　　.
题组二　利用基本不等式证明不等式
7.已知a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3.
证明:(1)+≤;
(2)++≥.
8.(2020江苏田家炳高级中学月考)(1)a>0,b>0,求证:+≥+(用比较法证明);
(2)除了用比较法证明,还可以有如下证法:
∵+≥2,当且仅当a=b时,等号成立,
+≥2,当且仅当a=b时,等号成立,
∴+++=+≥2+2,当且仅当a=b时,等号成立,
∴+≥+,当且仅当a=b时,等号成立.
根据以上解题过程,解决下列问题:
①证明:若a>0,b>0,c>0,则++≥a+b+c,并指出等号成立的条件;
②试将上述不等式推广到n(n≥2)个正数a1,a2,…,an-1,an的情形,并证明.
题组三　基本不等式在实际问题中的应用
9.(2022广东南海中学期中)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,它奠定了中国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有木,问出南门几何步而见木 ”其算法如下:从东门往南走到城角的步数乘从南门往东走到城角的步数,乘积作被除数,以树距离东门的步数作除数,被除数除以除数得结果,即出南门x里见到树,则x=.若一座长方形小城,如图所示,出东门1 200步有树,出南门750步能见到此树,则该小城的周长最小为(注:1里=300步)(　　)
A.4里　　　　　　　　B.6里
C.8里　　　　　　　　D.10里
10.(2021四川南山中学开学考试)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是　　　　万元.
11.(2020江苏邗江中学期中)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资80万元,根据行业规定,每座城市至少要投资20万元,由前期市场调研可知甲城市收益y1(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y1=乙城市收益y2(单位:万元)与投入成本x(单位:万元)满足y2=x+20.
(1)当甲城市的投入成本为25万元时,求甲、乙两座城市的投资的总
收益;
(2)试问如何安排投入成本,才能使甲、乙两座城市的投资的总收益
最大
答案全解全析
基础过关练
1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.C
13.B
1.C
2.C　对于A,当x<0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于C,x2+1≥1恒成立,所以≤1恒成立;对于D,当x<0时,x+≤-2,故D不恒成立.故选C.
3.B　对于A,x可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x2+≥,x无解,不成立;对于D,x2-1可能是负数,不成立.故选B.
4.B　∵a>b>0,∴,
∴.故选B.
5.C　根据题意可得m1=≤,当且仅当a=b时等号成立,
m2=≥,当且仅当a=b时等号成立,
由题意可得a≠b,所以m1<,则m2>m1.
故选C.
6.C　因为x>0,所以y=x+≥2,即x=2时取等号.
因此,当x=2时,函数y=x+的最小值为4.
7.B　∵x>0,y>0,∴x+y+≥2的最小值为6.
故选B.
8.C　∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴=1,
∴x+y=(x+y)≥5+2故选C.
9.答案　
解析　∵00,
∴x··≤·.
10.答案　7
解析　∵x>3,∴x-3>0,
∴+x-3+3≥2=x-3,即x=5时取等号,
故+x的最小值为7.
11.证明　因为x>0,所以x+>0,
所以x+≥2,
当且仅当x+时,等号成立.
故当x>0时,x+≥.
12.证明　∵a>0,b>0,c>0,
∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,
∴2(a+b+c)≥2(),
即a+b+c≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).
∵a,b,c为不全相等的正实数,
∴等号不成立,
∴a+b+c>.
方法技巧
证明不等式时,要观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征进行拆项、变形、配凑等,使之满足使用基本不等式的条件.
13.B　设BC=x m(x>0),则CD= m,
所以长方形A1B1C1D1的面积S=(x+10)·≥
1 040+2,即x=50时,等号成立,
所以当长方形A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为50 m.故选B.
14.解析　由题意可得y=72t+x-(52+3x+45t).
因为t=4-,
所以y=72t+x-(52+3x+45t)=-2x+27t-52=-2x+27×+56,x∈[0,10].
因为-2x-+60≤-2,即x=7时取等号,
所以当政府的专项补贴为7万元时,A公司生产医用防护服产生的总收益最大.
能力提升练
1.D 2.D 3.D 4.B 9.C
1.D　因为0当且仅当2x=1-2x,即x=时取等号,
所以x(1-2x)的最大值为.故选D.
2.D　因为x1,x2分别为方程x2-4ax+3a=0(a>0)的两个实数根,
所以x1+x2=4a,x1x2=3a,
所以x1+x2+≥2,
当且仅当4a=时取等号,
所以x1+x2+.
故选D.
3.D　∵正数x,y满足x2+=1,
∴2x2+y2=2,
∴x≤,
当且仅当时取等号,
∴x.
4.B　∵2a+b=1,∴4a2+4ab+b2=1,
∴4a2+b2=1-4ab,
∴2+2×2a×b-1≤+2×时取等号,
∴2.
由题意得t-≥,∴t≥.
5.答案　8
解析　因为x>y>0,
所以x-y>0,
所以0所以x2+ ≥x2+ ≥2=8,
当且仅当时,等号成立,
故x2+的最小值为8.
6.答案　
解析　因为=2,
所以x+y=x+1+y+1-2=-2≥,
当且仅当x=2,y=时取等号,
故x+y的最小值是.
7.证明　(1)(≤2(a+c),当且仅当a=c时取等号.
因为a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,
所以≤,当且仅当a=c时取等号,
所以)≤≤时取等号.
(2)≥2=a,当且仅当2a=b+c时取等号,
同理,可得≥b,当且仅当2b=a+c时取等号,
≥c,当且仅当2c=b+a时取等号,
上面三式左右分别相加并化简可得≥,当且仅当a=b=c=1时取等号.
8.解析　(1)证明:∵a>0,b>0,
∴
=≥0,
∴≥.
(2)①证明:∵b+≥2a,当且仅当a=b时,等号成立,c+≥2b,当且仅当b=c时,等号成立,a+≥2c,当且仅当a=c时,等号成立,∴b+≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
②将上述不等式推广如下:
≥a1+a2+…+an-1+an.
证明:∵+a1≥2a1+2a2+…+2an-1+2an,当且仅当a1=a2=…=an-1=an时,等号成立,
∴≥a1+a2+…+an-1+an,当且仅当a1=a2=…=an-1=an时,等号成立.
9.C　设GF=x步,EF=y步,由△BEF∽△FGA得,
所以该小城的周长l=2(2x+2y)=4≥4×2时取等号,
故该小城的周长最小为8里.故选C.
10.答案　37.5
解析　由产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足x=3--1(1设月利润为y万元,
则y=≤45.5-2=37.5,
当且仅当16(3-x)=时取等号,
故该公司的最大月利润为37.5万元.
11.解析　(1)当甲城市的投入成本为25万元时,乙城市的投入成本为80-25=55(万元),
则甲城市收益y1=-+40=22(万元),
乙城市收益y2=(万元),
所以甲、乙两座城市的投资的总收益为22+(万元).
(2)设甲城市的投入成本为x万元,则乙城市的投入成本为(80-x)万元.
当20≤x<40时,甲、乙两座城市的投资的总收益y=-≤100-2,即x=30时取等号,故当x=30时,y有最大值,最大值为70.
当40≤x≤60时,甲、乙两座城市的投资的总收益y=25+,
当x=40时,y=85-有最大值,最大值为65.
因为70>65,所以当x=30时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.
所以当甲城市的投入成本为30万元,乙城市的投入成本为50万元时,甲、乙两座城市的投资的总收益最大.
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