苏教版（2019）高中数学必修第一册3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式同步练习（Word含答案）

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
3.3.2　从函数观点看一元二次不等式
基础过关练
题组一　二次函数的零点
1.(2020江苏石榴高级中学月考)函数y=x2-3x+4的零点个数为(　　)
A.0　　　　　　　　B.1
C.2　　　　　　　　D.3
2.(多选)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点,以下说法正确的是(　　)
A.当m=0时,该函数只有一个零点
B.当m=1时,该函数只有一个零点
C.当m=-1时,该函数没有零点
D.当m=2时,该函数有两个零点
3.函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数y=bx2-ax-1的零点为　　　　.
题组二　一元二次不等式的解法
4. (2022江苏海安高级中学月考)不等式x2+2x-3>0的解集是(　　)
A.{x|x<-3或x>1}　　　　　　B.{x|x<-1或x>3}
C.{x|-15.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.x≥0　　　　　　　　B.x<0或x>2
C.x<-　　　　　　　　D.x≤-或x≥3
6.(2022江苏太湖高级中学期中)不等式≥1的解集是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　D.{x|x<2}
7.(2021北京第五中学检测)不等式6+11x-2x2>0的解集是　　　　.
8.解下列关于x的不等式:
(1)2+3x-2x2>0;
(2)x(3-x)≤x(x+2)-1;
(3)-1(4)≤1.
题组三　含参数的一元二次不等式的解法
9.(2020江苏泰兴第三高级中学月考)若0A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
10.若集合{x|ax2+ax+4≤0}= ,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,16)
B.(0,16)
C.(-∞,0)∪(16,+∞)
D.[0,16]
11.解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).
12.(2020四川新津中学期末)已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B={x|-2(1)若a=2,求A∪B;
(2)若A∩B= ,求实数a的取值范围.
题组四　三个“二次”之间的关系
13.(2022江苏盐城响水中学期中)已知不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2),则b-a的值为(　　)
A.-4　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.4
14.(2022江苏高邮中学期中)已知二次函数y=-x2+bx+c的零点为-2和 1,则关于x的不等式x2+bx-c>0的解集为(　　)
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)　　　　　　　　
B.(-1,2)
C.(-2,1)　　　　　　　　
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
15.(2020湖北十堰期末)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集的充要条件是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
16.(2020湖南雅礼中学检测)已知x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1,x2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若=,求k的值.
题组五　一元二次不等式的实际应用
17.(2020浙江嘉兴高级中学期中)某城市对一种售价为每件160元的电子产品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是(　　)
A.[4,8]　　　　　　 　　B.[6,10]
C.[4%,8%]　　　　　　　　D.[6%,10%]
18.(2020江苏高邮中学月考)国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农副产品m吨,按规定,农户要向国家纳税,且每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为减少农民负担,制定积极收购政策,根据市场规律,税率降低x(x>0)个百分点,收购量增加2x个百分点,为使得税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%,则x的取值范围为　　　　.
能力提升练
题组一　含参数的一元二次不等式的解法
1.(2020江苏宿迁期末)若关于x的不等式x2-2(m+1)x+4m≤0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
2.在R上定义运算x*y=x(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合A={x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是(　　)
A.0≤a≤2　　　　　　　　
B.-2≤a<-1或-1C.0≤a<1或1D.-2≤a≤0
题组二　一元二次不等式中的恒成立问题
3.(多选)(2020江苏泰州中学月考)若对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,则实数a的值可能为(　　)
A.-2　　　　　B.-1　　　　　C.　　　　　D.2
4.已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　
B.∪
C.　　　　　　　　
D.
5.已知不等式(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)>0对于一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.　　　　　　　　
D.
题组三　三个“二次”的综合应用
6.(2021北京大学附属中学月考)若关于x的不等式(ax-1)2A.-B.-C.-≤a<-或D.-≤a<-或≤a<
7.(多选)(2020北京朝阳期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列说法正确的是(　　)
A.a>0
B.关于x的不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
D.关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为
8.已知集合A={x|x2-2x+a≥0},B={x|x2-2x+a+1<0},若A∪B=R,则实数a的取值范围为　　　　.
答案全解全析
基础过关练
1.A 2.AB 4.A 5.B 6.B 9.D 10.A 13.C
14.A 15.B 17.A
1.A　令x2-3x+4=0,其判别式Δ=9-16<0,
所以方程x2-3x+4=0无解,即函数y=x2-3x+4无零点.故选A.
易错警示
二次函数的零点是实数,而不是点,注意并不是所有的二次函数都有零点,如函数y=x2+2就没有零点.
2.AB　当m=0时,函数y=-4x+5,令-4x+5=0,解得x=,此时方程只有一个实数根,即函数只有一个零点,A正确;
当m=1时,函数y=x2-4x+4,令x2-4x+4=0,因为Δ=(-4)2-4×1×4=0,所以方程有两个相等的实数根,即函数只有一个零点,B正确;
当m=-1时,函数y=-x2-4x+6,令-x2-4x+6=0,因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0,所以方程有两个不相等的实数根,即函数有两个零点,C错误;
当m=2时,函数y=2x2-4x+3,令2x2-4x+3=0,因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程无实数根,即函数无零点,D错误.故选AB.
3.答案　-
解析　因为函数y=x2-ax-b的两个零点是2和3,
所以经检验,满足题意.
所以y=bx2-ax-1即为y=-6x2-5x-1.
令-6x2-5x-1=0,
解得x=-,
故函数y=bx2-ax-1的零点为-.
4.A　由x2+2x-3>0,得(x-1)(x+3)>0,解得x<-3或x>1,所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.
故选A.
5.B　由不等式2x2-5x-3≥0,解得x≤-或x≥3,故不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是x<0或x>2.故选B.
6.B　∵≥1,∴-1≥0,
∴≥0,即≤0,
∴≤x<2.
故选B.
7.答案　
解析　由6+11x-2x2>0得2x2-11x-6<0,
即(x-6)(2x+1)<0,解得-∴原不等式的解集为.
8.解析　(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0,所以(2x+1)(x-2)<0,解得-.
(2)原不等式可化为2x2-x-1≥0,所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1,故原不等式的解集为.
(3)原不等式等价于
即
由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0;
由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1.
所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0(4)原不等式可化为≤0,
所以(x+2)(x-1)≤0且x-1≠0,
解得-2≤x<1.所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
解题模板
解一元二次不等式时要观察二次项系数的符号,一般要先将二次项系数转化为正的,再进行
求解.
9.D　当0因此不等式的解集为.
10.A　集合{x|ax2+ax+4≤0}= 等价于不等式ax2+ax+4≤0无解.
当a=0时,4≤0,不成立,满足题意;
当a≠0时,需满足解得0综上,0≤a<16.故选A.
11.解析　∵a≠0,
∴方程ax2-x=0的两个根分别为x1=0,x2=.
当a>0时,;
当a<0时,.
综上,当a>0时,不等式的解集为.
解题模板
在解含参数的一元二次不等式时,能分解因式的要先分解因式,再对参数进行分类讨论.分类讨论时,要做到“不重不漏”.
12.解析　(1)当a=2时,原不等式可化为x2-5x+6≤0,得(x-3)(x-2)≤0,解得2≤x≤3,所以A={x|2≤x≤3}.又因为B={x|-2(2)由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)·(x-a-1)≤0,则A={x|a≤x≤a+1},
因为A∩B= ,所以a+1≤-2或a≥2,即a≤-3或a≥2.
13.C　因为不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2),
所以所以b-a=2.故选C.
14.A　易知-2和1是方程-x2+bx+c=0的两个实数根,
由根与系数的关系得-2+1=b,-2×1=-c,解得b=-1,c=2,
所以不等式x2+bx-c>0可化为x2-x-2>0,
即(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1,
所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
故选A.
15.B　∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集,
∴函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方,且与x轴没有交点,
∴函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,方程ax2+bx+c=0没有实数根,
∴故选B.
16.解析　(1)∵x1,x2是二次函数y=x2-(2k+1)x+k2+1的两个零点,且x1>1,x2>1,
∴x1+x2=2k+1,x1x2=k2+1,
且且k≠1,
∴实数k的取值范围是kk>且k≠1.
(2)由
∴x1x2=·=k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7,k2=1(舍去).
∴k的值为7.
17.A　若附加税不少于128万元,则×160×R%≥128,化简并整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8.故选A.
18.答案　(0,2]
解析　原计划税收收入为2 400m×8%元.
税率降低x(x>0)个百分点,收购量增加2x个百分点后的税收收入为(1+2x%)m×2 400×(8-x)%元.
依题意可得(1+2x%)m×2 400×(8-x)%≥2 400m×8%×78%,
整理得x2+42x-88≤0,即(x+44)(x-2)≤0,解得-44≤x≤2.
因为x>0,所以0能力提升练
1.B 2.D 3.BC 4.D 5.B 6.B 7.ABD
1.B　原不等式可化为(x-2)(x-2m)≤0.
若m=1,则不等式的解集为{x|x=2},不满足题意;
若m<1,则不等式的解集是[2m,2],
不等式的解集中不可能有4个正整数;
若m>1,则不等式的解集是[2,2m],
所以不等式的解集中的4个正整数分别是2,3,4,5,
则5≤2m<6,解得≤m<3.
所以实数m的取值范围是.故选B.
2.D　由题知,不等式x*(x-a)>0等价于x(1-x+a)>0,即x2-(a+1)x<0,
故该不等式的解集是集合A={x|-1≤x≤1}的子集,
当a+1=0,即a=-1时,x2<0,无解,满足题意;
当a+1>0,即a>-1时,不等式x2-(a+1)x<0的解集为{x|0∵{x|0∴a≤0,∴-1当a+1<0,即a<-1时,不等式x2-(a+1)x<0的解集为{x|1+a∵{x|1+a∴a≥-2,∴-2≤a<-1.
综上所述,-2≤a≤0.故选D.
3.BC　易得不等式x2-2x-3≤0的解集是[-1,3].
因为对任意x∈[a,a+2],不等式x2-2x-3≤0恒成立,
所以[a,a+2] [-1,3],
所以解得-1≤a≤1.
所以实数a的值可能为-1,.故选BC.
4.D　对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<=2,
所以x2-x+1<2,解得.故选D.
5.B　由题知,4x2+4ax+1=4+1-a2,2x2+x+a=2,
当1-a2>0,即-10对于一切实数x恒成立,
因此2x2+x+a>0对于一切实数x恒成立,
所以a-当1-a2≤0时,关于x的方程4x2+4ax+1=0有实数解,即存在实数x使得(4x2+4ax+1)(2x2+x+a)=0,不满足题意.
故选B.
6.B　∵不等式(ax-1)2∴(a+1)(a-1)>0,解得a>1或a<-1.
当a>1时,不等式的解集为∈,∴2个整数解为1,2,
∴2<≤3,即2a-2<1≤3a-3,解得≤a<;
当a<-1时,不等式的解集为∈,∴2个整数解为-1,-2,
∴-3≤<-2,即-2(a+1)<1≤-3(a+1),解得-综上所述,实数a的取值范围是-7.ABD　∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,A选项正确;易知-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得则b=-a,c=-6a,∴a+b+c=-6a<0,C选项错误;
不等式bx+c>0可化为-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B选项正确;
不等式cx2-bx+a<0可化为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-,D选项正确.故选ABD.
8.答案　a≥1
解析　易知当a<1时,集合A={x|x≤1-或x≥1+};当a≥1时,A=R.
当a<0时,集合B={x|1-};当a≥0时,B= .
要使A∪B=R,需满足或a≥1,解得a≥1.
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