苏教版（2019）高中数学必修第一册第三章不等式复习提升（Word含答案）

第三章不等式复习提升
易混易错练
易错点1　多次利用不等式的性质导致所求代数式的取值范围扩大
1.(2022江苏滨海中学期中)已知2≤a+b≤5,-2≤a-b≤1,则3a-b的取值范围是(　　)
A.[-1,4]　　　　　　　　B.[-2,7]
C.[-7,2]　　　　　　　　D.[2,7]
2.(2020江苏南京天印高级中学月考)已知-1<2a+b<2,3易错点2　忽略基本不等式等号成立的条件致错
3.(多选)(2020江苏大厂高级中学期中)已知a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.++2≥4　　　　　　　B.(a+b)≥4
C.≥a+b　　　　　　　　D.≥
4.(2022江苏淮安中学期中)已知a>0,b≠0,且a+|b|=3,则+的最小值为　　　　.
5.已知正实数a,b满足a+b=1,求+的最小值.
易错点3　忽略二次项系数的符号致错
6.(2020江苏宿迁宿豫中学月考)不等式(-3x+1)(2-x)>0的解集是(　　)
A.{x|x>2}　　　　　　　　B.
C.　　 　　　D.
7.若 x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤　　　　　　　　B.-C.a≥　　　　　　　　D.a≤-或a≥
易错点4　解含参数的不等式时分类不全面或标准不统一致错
8.(2021安徽亳州检测)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a≥0,a∈R.
9.解不等式:≤0(a∈R).
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2021山西太原师院附中、师苑中学月考)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是　　　　.
2.(2021浙江台州实验中学月考)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　　.
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.(多选)(2022江苏大港中学月考)使不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R的a的值可以是(　　)
A.0　　　　　　　　B.1
C.2　　　　　　　　D.-1
4.设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为 .
(1)求实数m的取值范围;
(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.
三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用
5.已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,
(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1
(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3
(3)方程的两个根都大于0
四、转化与化归思想在解不等式中的应用
6.(2020北京师范大学附属实验中学期中)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1(1)求m和n的值;
(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.B 3.ABC 6.D 7.C
1.B　设3a-b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,
则解得x=1,y=2,
∴3a-b=a+b+2(a-b).
∵-2≤a-b≤1,∴-4≤2(a-b)≤2,
又2≤a+b≤5,
∴-2≤2(a-b)+a+b≤7,即3a-b∈[-2,7].
故选B.
2.答案　(1,8)
解析　令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,λ,μ∈R,
∴
∴5a+b=2(2a+b)+(a-b).
∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4.
又3∴5a+b的取值范围为(1,8).
易错警示
利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次将不等式相加,否则易扩大范围,得到错误的答案.
3.ABC　≥2≥2×2=4(当且仅当a=b=1时取“=”),故A正确;
(a+b)≥2=4(当且仅当a=b时取“=”),故B正确;
∵(a+b)≤·(a+b)=≤=a2+b2(当且仅当a=b时取“=”),
∴≥a+b(当且仅当a=b时取“=”),故C正确;
∵a+b≥2≤(当且仅当a=b时取“=”),故D错误.故选ABC.
4.答案　3+2
解析　.
当b>0时,=-1.
因为≥时等号成立,
所以当a=.
5.解析　++4=(1-2ab)·+4.
由a+b=1,得ab≤时,等号成立,所以1-2ab≥1-≥16,
所以+≥时,等号成立),
所以+.
易错警示
连续应用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不一致,则连续用基本不等式是求不出最值的.
6.D　由(-3x+1)(2-x)>0,得(3x-1)(x-2)>0,解得x<或x>2.故选D.
7.C　当a=0时,原不等式化为-3x≥0,不恒成立,不符合题意;
当a>0时,由对应二次函数的性质可知,要使ax2-3x+a≥0恒成立,只需满足解得a≥;
当a<0时,由对应二次函数的图象及性质可知,不符合题意.
综上可得,实数a的取值范围是a≥.
易错警示
当二次项系数是实数时,对于二次项系数是负数的不等式,要先将其化为正数再求解.当二次项系数是代数式时,一般要分等于0和不等于0两种情况讨论.
8.解析　不等式x2-(a+1)x+a≥0可化为(x-a)(x-1)≥0.
当a<1时,解得x≤a或x≥1;
当a=1时,解得x∈R;
当a>1时,解得x≤1或x≥a.
综上,当a<1时,不等式的解集是{x|x≤a或x≥1};
当a=1时,不等式的解集为R;
当a>1时,不等式的解集是{x|x≤1或x≥a}.
9.解析　≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1易错警示
在解决含参的不等式问题时,对参数的讨论要明确、统一,要做到不重不漏.
思想方法练
1.答案　
解析　由不等式ax2+bx+c>0的解集是,
可得-2和-是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0.
由不等式的解集得到相应方程的根,利用根与系数的关系列方程组,进而求解.
所以a,c=a.
所以不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,
即2ax2-5ax+2a<0.
因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)<0,解得.
2.答案　{m|2-2}
解析　设函数y=x2-mx+m+2,其图象的对称轴为直线x=,
设出不等式对应的函数,考虑函数图象的特点,应用函数与方程思想.
①当≤-2,即m≤-4时,(-2)2-m×(-2)+m+2>0,
根据函数图象列出相应关系式.
解得m>-2,又∵m≤-4,∴无解;
②当-2<<4,即-4根据函数图象特点,得到对应方程根的情况,列出相应关系式.
解得2-2,
又∵-4③当≥4,即m≥8时,42-m×4+m+2>0,
根据函数图象列出相应关系式.
解得m<6,又∵m≥8,∴无解.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2}.
思想方法
函数与方程思想在本章中的体现
(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况,讨论不等式的解的情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
3.AB　对二次项系数是不是0进行分类讨论.
根据题意,当a=1时,不等式为-1<0,不等式恒成立,因此a=1满足题意;
当a=-1时,不等式为2x-1<0,即x<,因此a=-1不满足题意;
当a≠±1时,由不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,
得综上,当不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R时,a的取值范围是.
结合题意可知选项A,B正确.故选AB.
4.解析　(1)由题意得Δ=4m2-4(m+2)≤0,即m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2.
故实数m的取值范围为[-1,2].
(2)mx2+(m-2)x-2≥0,即(mx-2)(x+1)≥0.
对二次项系数分m=0和m≠0讨论.
①当m=0时,不等式化为-2x-2≥0,解集为{x|x≤-1};
当m≠0时,对应一元二次方程的两根的大小关系不确定,需分类讨论.
②当0③当-1≤m<0时,.
综上所述,当m=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当0思想方法
在本章中,分类讨论思想主要用于解含参数的不等式,主要有以下几种情况:
(1)二次项系数为参数且没有给出具体范围时,要分大于0,等于0,小于0三类讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.解析　(1)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,根据图列不等式,进而得出参数的取值范围.
作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图1),由图知,12-2+a<0,解得a<1.
所以a的取值范围是{a|a<1}.
图1
(2)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,由根的情况列不等式组求解.
作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图2),由图知,解得-3图2
(3)作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的图象,由根的情况列不等式组求解.
作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象(如图3),由图知,
解得0所以a的取值范围是{a|0图3
思想方法
数形结合思想在本章主要体现在三个“二次”的应用中,在解题时要充分利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根.
6.解析　(1)由题意知1,4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根.
由不等式的解集得到对应一元二次方程的根,体现了转化与化归思想.
所以-m=1+4=5,n=1×4=4,
所以m=-5,n=4.
(2)由(1)得y=x2-5x+4,
则x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,
即a≤x+-5对任意x>0恒成立,
即a≤,x>0.
将恒成立问题转化为函数的最值问题,体现了转化与化归思想.
因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),
所以x+-5≥-1,所以=-1,所以a≤-1.
思想方法
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的转化、实际问题向数学问题的转化等.本章主要体现在①利用一元二次不等式的解集得到一元二次方程的根;②将恒成立问题转化为最值问题.
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