苏教版（2019）高中数学必修第一册第三章不等式综合拔高练（Word含答案）

第三章不等式综合拔高练
考点1　不等式的解法
1.(2020全国Ⅰ文,1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{-4,1}　　　　　　　　B.{1,5}
C.{3,5}　　　　　　　　 D.{1,3}
2.(2019天津,10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　.
3.(2021上海,4)不等式<1的解集为　　　　.
考点2　基本不等式及其应用
4.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
5.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.
6.(2019天津理,13)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　.
考点3　不等式的应用
7.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
8.(2020全国Ⅲ,23)设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.
　　　　　　　　　　　　　　　
应用实践
1.(2022江苏南通第二中学月考)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3A.5　　　　　B.4　　　　　C.3　　　　　D.2
2.(2022江苏盐城响水中学期中)设a>b>c,n∈N,且+≥恒成立,则n的最大值是(　　)
A.2　　　　　　　　B.3
C.4　　　　　　　　D.5
3.(2020江苏昆山第一中学月考)若不等式>1的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则≥0的解集为(　　)
A.　　　　　　　　B.[-1,1)
C.　　　　　　　　D.
4.(多选)(2020江苏南京溧水高级中学月考)对于给定的实数a,关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(　　)
A. 　　　　　　　　
B.(-1,a)
C.(a,1)　　　　　　　　
D.(-∞,-1)∪(a,+∞)
5.(多选)记max{a,b}=已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　)
A.xy的最大值为18
B.x+2y的最大值为12
C.x+y的最小值为8-3
D.max{x+2,2y+2}的最小值为8
6.(多选)(2020江苏平潮高级中学期中)16世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若aC.若aD.若a>0,b>0,则+≥a+b
7.(2020江苏邗江中学期中)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=6,c=4,则此三角形面积的最大值为　　　　.
8.(2020湖南雅礼中学检测)设y=3ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且a+b+c=0,(3a+2b+c)c>0.求证:
(1)方程3ax2+2bx+c=0有实数根;
(2)若-2<<-1,且x1,x2是方程3ax2+2bx+c=0的两个实数根,则≤|x1-x2|<.
9.(2020山东临沂期中)汽车智能辅助驾驶已经得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间),当此距离等于报警距离时就开始报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0秒、人的反应时间t1秒、系统反应时间t2秒、制动时间t3秒,相应的距离分别为d0米,d1米,d2米,d3米,如图所示.当车速为v 米/秒,且v∈(0,33.3]时,通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,k∈[1,2]).
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 (秒) t0 t1=0.8 t2=0.2 t3
距离 (米) d0=10 d1 d2 d3=
(1)请写出报警距离d米与车速v米/秒之间的函数关系式d(v);并求当k=1,在汽车达到报警距离时,若人和系统均未采取任何制动措施,仍以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒);
(2)若要求汽车无论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于50米,则汽车的行驶速度应限制在多少千米/时
迁移创新
10.(2020山东泰安第四中学月考)利用二元基本不等式“设a>0,b>0,≥,当且仅当a=b时,等号成立”可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,≥　　　　,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全);
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:设a>0,b>0,c>0,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.
答案全解全析
1.D　由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-1又∵B={-4,1,3,5},
∴A∩B={1,3},故选D.
2.答案　
解析　3x2+x-2<0 (x+1)(3x-2)<0,所以-1方法总结
求解一元二次不等式时,常借助二次函数的图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.
3.答案　(-7,2)
解析　<1 -1<0 <0,解得-7故答案为(-7,2).
4.答案　
解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=≥2.
5.答案　4
解析　≥2,即(a+b)2=16,
亦即a+b=4时取等号,
又∵ab=1,∴时取等号,
∴的最小值为4.
6.答案　4
解析　∵x+2y=5,x>0,y>0,
∴≥2
即.
7.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,
所以x≤15.所以x的最大值为15.
8.证明　(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=(a2+b2+c2)<0.
(2)不妨设max{a,b,c}=a,
因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.
由bc≤,可得abc≤,
故a≥,所以max{a,b,c}≥.
1.B 2.C 3.C 4.ABD 5.ACD 6.BCD
1.B　依题意得a<0,且3和4是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,则
因为a<0,所以-a>0,所以≥2,
当且仅当-24a=时取等号,
所以.故选B.
2.C　因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,b-c>0,又≥(n∈N),所以(a-c)≥n2(n∈N),
即≥11+2≥n2,n∈N,故n的最大值是4.
故选C.
3.C　不等式>1可化为[(a-1)x-b+1](x+b)>0.
因为其解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),
所以a-1>0,即a>1,且方程(ax-x-b+1)(x+b)=0的两个根分别为x1=-1,x2=4,
则
解得(舍去),
所以≥0可化为≥0,
整理得解得-6≤x<-,
所以不等式≥0的解集为.故选C.
4.ABD　当a<0时,y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下,若a=-1,则不等式的解集为 ,故A正确;若-10时,y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上,与x轴交点的横坐标为a,-1,故不等式的解集为(-∞,-1)∪(a,+∞),故D正确.故选ABD.
解题模板
一元二次方程ax2+bx+c=0的根x1,x2(x1(1)当a>0时,ax2+bx+c>0的解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞);ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2).
(2)当a<0时,ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2);ax2+bx+c<0的解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞).
5.ACD　由题意,得xy=30-(x+2y)≤30-2解得06.BCD　对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;
对于B,a+,
∵a0,∴1+>0,
∴(a-b)<0,
∴a+,故B正确;
对于C,,
∵a0,a+c<0,
∴,故C正确;
对于D,=(b2-a2)·,
∵a>0,b>0,∴≥0,即-(a+b)≥0,
∴≥a+b,故D正确.
故选BCD.
7.答案　2
解析　由已知条件可得p==5,
∴三角形的面积S=≤,
当且仅当a=b=3时,等号成立.
因此,三角形面积的最大值为2.
8.证明　(1)若a=0,则由a+b+c=0,得b=-c,此时(3a+2b+c)c=-c2≤0,与已知矛盾,
∴a≠0,b=-(a+c),
∴Δ=4b2-4×3ac=4(b2-3ac)=4.
∵(3a+2b+c)c>0,∴c≠0,
∴Δ=4>0,
∴方程3ax2+2bx+c=0有实数根.
(2)由根与系数的关系得x1+x2=-,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=.
∵-2<≤(x1-x2)2<,
∴≤|x1-x2|<.
9.解析　(1)由题意得d(v)=d0+d1+d2+d3,
所以d(v)=10+0.8v+0.2v+.
当k=1时,d(v)=10+v+,
则+1≥1+2≈2.4,当且仅当时,等号
成立.
故此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒.
(2)根据题意得,对任意k∈[1,2],d(v)<50恒成立,即对任意k∈[1,2],10+v+<50恒成立,即对任意k∈[1,2],恒成立.
由k∈[1,2],得∈,
所以,化简得v2+20v-800<0,解得-400,所以020×=72(千米/时).
故汽车的行驶速度应限制在72千米/时.
10.解析　(1).
(2)证明:∵a>0,b>0,c>0,≥≥,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴·≥·=abc,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(3)由(1)可得,≥abc.
由题意知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,
∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤(a+b+c)3=,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c时,等号成立,
故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.
1