苏教版（2019）高中数学必修第四章指数对数综合拔高练（Word含答案）

第四章指数对数综合拔高练
考点1　指数式与对数式的化简、求值　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020全国Ⅰ文,8)设alog34=2,则4-a=(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
考点2　与指数式、对数式有关的大小比较
2.(2017课标全国Ⅰ,11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)
A.2x<3y<5z　　　　　　　　B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x　　　　　　　　D.3y<2x<5z
3.(2020全国Ⅲ理,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)
A.aC.b考点3　指数、对数的实际应用
4.(2020全国Ⅲ理,4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈2.9)(　　)
A.60　　　　　B.63　　　　　C.66　　　　　D.69
5.(2021全国甲理,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5　　　　　B.1.2　　　　　C.0.8　　　　　D.0.6
应用实践
1.(2022江苏时杨中学期中)设=5b=m,且-=1,则m=(　　)
A.　　　　　B.10　　　　　C.　　　　　D.
2.化简··(x≠0)的结果是(　　)
A.x　　　　　B.　　　　　C.0　　　　　D.1
3.(多选)下列各式中一定成立的是(　　)
A.=b3　　　　　　　　 B.=
C.=(x+y　　　　　　　　D.=
4.(2021广东执信中学期中)若实数a,b,c满足2a=log2b=log3c=k,其中k∈(1,2),则下列结论正确的是(　　)
A.ab>bc　　　　　　　 　B.logab>logbc
C.a>logbc　　　　　　　　D.cb>ba
5.(2021上海复旦大学附属中学期末)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比从1 000提升至
5 000,则C大约增加了(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.20%　　　　　B.23%　　　　　C.28%　　　　　D.50%
6.(2022江苏马坝高级中学期中)正实数x,y满足xlg y·ylg x=100,则xy的取值范围是(　　)
A.
B.∪[100,+∞)
C.∪[10,+∞)
D.
7.(2021江苏江宁高级中学期中)已知a-a-1=1,则(a2+a-2-2)(a4-a-4)的值为　　　　.
8.(2021山东文山中学月考)计算:(2 02×2 02×
2 02×2 02×2 02.
迁移创新
9.(2020山东济南期末)数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法,请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R);
(2)请你运用上述对数运算性质计算×的值;
(3)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫作位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.(注:lg 2 019≈3.305)
答案全解全析
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C
1.B　∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a===,故选B.
2.D　令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k,∴·>1,即2x>3y;
·<1,即2x<5z,
∴3y<2x<5z.故选D.
3.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则=log53×log58<=<1,∴a又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135
,
又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)综上所述,c>b>a,故选A.
4.C　I(t*)==0.95K,整理可得=19,两边取自然对数得0.23(t*-53)=ln 19≈2.9,解得t*≈66,故选C.
5.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1≈≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
1.A 2.D 3.BD 4.D 5.B 6.B
1.A　∵=5b=m,∴a=lom,b=log5m,
∵=1,
∴m=.故选A.
2.D　原式=.
∵
==0,
∴原式=1.
3.BD　对于A,=(x2+y2,(x+y=(x2+y2+2xy=(1=,故D正确.故选BD.
4.D　由题意可知a∈(0,1),b∈(2,4),c∈(3,9),且b=2k,c=3k.对于A选项,01,所以ab0,所以logab1>a,故C错误;对于D选项,bac1=c,而c>b,所以cb>ba,故D正确.故选D.
5.B　将信噪比≈≈0.23,所以C大约增加了23%.故选B.
6.B　将xlg y·ylg x=100两边取常用对数,得2lg x·lg y=2,所以lg x·lg y=1,
所以1=lg x·lg y≤=,当且仅当lg x=lg y时等号成立,所以lg(xy)≥2或lg(xy)≤-2,解得xy≥100或07.答案　±3
解析　将a-a-1=1两边平方,得a2-2+a-2=1,即a2+a-2=3.
∵a4-a-4=(a2+a-2)(a2-a-2),a2-a-2=(a+a-1)(a-a-1),而(a+a-1)2=a2+2+a-2=5,即a+a-1=±,
∴a4-a-4=±3.
8.解析　原式=(2 02×2 02××2 02×
2 02=(2×4×8×16×32=(21×22×23×24×25=(21+2+3+4+5=(215=23=8.
9.解析　(1)解法一:设x=logaM(a>0,a≠1),则M=ax,所以Mn==anx,所以logaMn=nx=nlogaM.
解法二:设x=nlogaM(a>0,a≠1),则=logaM,所以=M,所以ax=Mn,所以x=logaMn,
所以nlogaM=logaMn.
解法三:因为=Mn,所以==Mn,所以=,所以logaMn=nlogaM.
(2)解法一:.
解法二:=log43×(log98+log2716)=lo3×(lo23+lo.
(3)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N*,
两边取常用对数,得k所以k<2 020lg 2 019又lg 2019=3.305,所以k<2 020×3.305解得6 675.1所以k=6 676.
故2 0192 020的位数为6 677.
解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,
即2 020×3.305=lg N,即lg N=6 676.1,
所以N=106 676.1=100.1×106 676,
又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,即2 0192 020的位数为6 677.
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