苏教版（2019）高中数学必修一第五章函数的概念与性质综合拔高练（Word含答案）

第五章函数的概念与性质综合拔高练
　　　　　　　　　　　　　　
考点1　函数的概念与表示
1.(2020天津,3)函数y=的图象大致为(　　)
2.(2019江苏,4)函数y=的定义域是　　　　.
考点2　分段函数的应用
3.(2019课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
4.(2018天津,14)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　.
考点3　函数的基本性质
5.(2021全国乙理,4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1　　 　B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1　　　　D.f(x+1)+1
6.(2021全国甲理,12)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f=(　　)
A.-　　　　　　B.- C.　　　　　 D.
7.(2018课标全国Ⅱ,11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　)
A.-50　　 　B.0 C.2　　　　　 D.50
8.(2020全国新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　　　　　B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　　　　　D.[-1,0]∪[1,3]
9.(2018北京,13)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是　　　　　　　　　.
10.(2019浙江,16)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　.
应用实践　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022江苏镇江实验高级中学期中)函数f(x)为奇函数,在(-∞,0)上是减函数,若f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为(　　)
A.(-1,0)∪(2,+∞)　　　　　　 　B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)　　　　　　　D.(-2,0)∪(0,2)
2.(2022江苏如东中学期中)若定义在R上的函数f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则下列结论不正确的是(　　)
A.f(0)=0　　　　　　　　
B.f(x)是偶函数
C.f(x)是减函数　　　　　　　　
D.当x<0时,f(x)>0
3.(2022重庆第十八中学期中)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(1)=1,函数f(x+1)的图象关于点(1,0)中心对称,对任意不相等的正实数x1,x2有>0成立,则f(x)≤的解集是(　　)
A.[-1,0)∪(0,1]　　　　　　　　
B.[-2 021,2 021]
C.(-∞,-1]∪(0,1]　　　　　　　　
D.[-1,1]
4.(2022江苏天一中学期中)已知函数f(x),g(x)是定义在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ax2-x+2,若对任意1-4,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1]∪[0,+∞)
B.(0,+∞)
C.[-1,+∞)
D.[-1,0)
5.(多选)(2022福建厦门一中期中)已知连续函数f(x)满足:① x,y∈R,则有f(x+y)=f(x)+f(y)-1;②当x>0时,f(x)<1;③f(1)=-2.则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于点(0,1)对称
B. f(4x)=4f(x)-4
C. f(x)在[-3,3]上的最大值是10
D.不等式f(3x2)-2f(x)>f(3x)+4的解集为
6.(2020江苏南京期末)已知函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=若m=f(x)恰有四个不同的实数解,则实数m的取值范围是　　　　.
7.(2020湖北襄阳期末)十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年年底全面脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种植工作,2017年年底该村每户年均纯收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良,提高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的人数.从2018年年初开始,该村抽出5x户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售工作.经测算,剩下从事水果种植工作的农户每户年均纯收入比上一年提高,而从事水果包装、销售工作的农户每户年均纯收入为万元(参考数据:≈1.17).
(1)至2020年年底,为使从事水果种植工作的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1.6万元),至少抽出多少户从事水果包装、销售工作
(2)至2018年年底,该村每户年均纯收入能否达到1.35万元 若能,求出从事水果包装、销售的户数;若不能,请说明理由.
8.(2021江苏滨海中学月考)已知函数f(x)=x+-4,g(x)=x-b,h(x)=x2+2bx.
(1)当a=2时,求函数y=f(x)+g(x)的单调区间(直接写出结果);
(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),求实数m的取值范围;
(3)若不等式h(x1)-h(x2)<|g(x1)|-|g(x2)|对任意x1,x2∈[0,2](x1迁移创新
9.(2022安徽合肥第六中学期中)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.
(1)依据推广结论,求函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心;
(2)请利用函数f(x)=x3-3x2的对称性求f(-2 019)+f(-2 017)+f(-2 015)+…+f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2 017)+f(2 019)+f(2 021)的值;
(3)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.(不需要证明)
答案全解全析
1.A 3.B 5.B 6.D 7.C 8.D
1.A　设y=f(x)=是奇函数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A.
2.答案　[-1,7]
解析　要使原函数有意义,需满足7+6x-x2≥0,解得-1≤x≤7,故所求定义域为[-1,7].
3.B　由题可知,当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=.当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=f(x+1).
∴若x∈(1,2],则当x=.
同理,若x∈(2,3],则当x=.
∴函数f(x)的大致图象如图所示.
∵f(x)≥-对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时, f(x)min≥-,由图可知m≤.故选B.
4.答案　
解析　当x>0时, f(x)=-x2+2x-2a,
此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,
即2a≥-x2+x恒成立,
因为x>0时,y=-x2+x的最大值为,所以a≥;
当-3≤x≤0时, f(x)=x2+2x+a-2,
此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,
即a≤-x2-3x+2恒成立,
因为-3≤x≤0时,y=-x2-3x+2的最小值为2,
所以a≤2.故a的取值范围为.
5.B　选项A, f(x-1)-1=,此函数为非奇非偶函数,故选B.
6.D　由题知
即
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,
即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f.故选D.
7.C　因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.
又因为f(1-x)=f(1+x),
所以f(-x)=f(2+x)②.
由①②可得f(x+2)=-f(x),
则有f(x+4)=f(x).
由f(1)=2,得f(-1)=-2,
于是有f(2)=f(0)=0,
f(3)=f(-1)=-2,
f(4)=f(0)=0,
f(5)=f(1)=2,
f(6)=f(2)=0,……,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.
8.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
若xf(x-1)≥0,则
解得1≤x≤3或-1≤x≤0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
9.答案　f(x)=(答案不唯一)
解析　根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点,且f(x)min=f(0)即可,如f(x)=
10.答案　
解析　|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+8)-2|.
令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),
设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2,
则|am-2|≤可化为|g(m)|≤,
当a=0时,g(m)=-2,不符合题意;
当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),
∵|g(m)|≤有解,
∴2a-2≤,得0当a<0时,g(m)∈(-∞,2a-2],
∵|g(m)|≤有解,
∴2a-2≥-,得a≥,与a<0矛盾.
综上可知,01.C 2.B 3.C 4.C 5.ACD
C　∵f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上为减函数,f(-2)=0,∴f(2)=-f(-2)=0,且f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∵xf(x)<0,∴
作出y=f(x)的大致图象如图所示:
结合图象可得,当x<-2或00,当x>2或-2故x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).故选C.
2.B　A中,令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,故A正确;
B中,令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故B错误;
C中,任取x1,x2∈R且x1>x2,则x1-x2>0,由题意,得f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,又f(x)是奇函数,所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)D中,因为f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)<0,所以当x<0时,-x>0,f(-x)<0,
所以f(x)=-f(-x)>0,故D正确.故选B.
3.C　∵函数f(x+1)的图象关于点(1,0)中心对称,
∴函数f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,
∴f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
令g(x)=x2 021f(x),则g(-x)=(-x)2 021f(-x)=x2 021·f(x)=g(x),∴g(x)为偶函数.
∵f(1)=1,∴g(1)=f(1)=1,
由题意知>0对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2成立,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵g(x)为偶函数,
∴g(x)在(-∞,0)上单调递减,
作出y=g(x)的大致图象如图所示:
∵f(x)≤,
∴当x>0时,x2 021f(x)≤1,即g(x)≤1,∴0当x<0时,x2 021f(x)≥1,即g(x)≥1,∴x≤-1.
综上所述,f(x)≤的解集是(-∞,-1]∪(0,1].
故选C.
4.C　因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
又f(x)+g(x)=ax2-x+2①,
所以f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=ax2+x+2②,
①+②,得g(x)=ax2+2,
对任意1-4,则>0,
令h(x)=g(x)+4x=ax2+4x+2,则函数h(x)在(1,2)上单调递增,
当a=0时,h(x)=4x+2在(1,2)上单调递增,符合题意;
当a≠0时,则函数h(x)=ax2+4x+2为二次函数,其图象的对称轴为直线x=-,
因为函数h(x)在(1,2)上单调递增,
所以解得a>0或-1≤a<0.
综上所述,a∈[-1,+∞).故选C.
5.ACD　令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-1,则f(0)=1,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-1,即f(x)+f(-x)=2,故f(x)的图象关于点(0,1)对称,故A正确;
令y=x,则f(2x)=f(x)+f(x)-1=2f(x)-1,
令x=2x,y=2x,则f(2x+2x)=f(2x)+f(2x)-1=2f(2x)-1,即f(4x)=2f(2x)-1=2[2f(x)-1]-1,
即f(4x)=4f(x)-3,故B错误;
设 x1,x2∈R且x10,令x=x2,y=-x1,则f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1,即f(x2-x1)-1=f(x2)-f(x1),由x>0时,f(x)<1,得f(x2-x1)<1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0,所以f(x2)因为f(3x2)-2f(x)>f(3x)+4,所以f(3x2)>f(x)+f(x)+f(3x)+4,即f(3x2)>f(2x+3x)+2+4,即f(3x2)>f(5x)+7-1,又因为f(2)+f(-2)=2,所以f(-2)=7,所以f(3x2)>f(5x)+f(-2)-1,所以f(3x2)>f(5x-2),所以3x2<5x-2,即(3x-2)(x-1)<0,解得,故D正确.
故选ACD.
6.答案　
解析　设g(x)=m,由m=f(x)恰有四个不同的实数解知g(x)和f(x)的图象有四个不同的交点.当x≥0时,f(x)=作出其图象如图所示.由函数f(x)是偶函数,知只要g(x)和f(x)的图象在x≥0时有两个不同的交点即可,由图可知,m∈.
7.解析　(1)至2020年年底,从事水果种植工作的农户每户年均纯收入为(x∈Z,1≤x≤9)万元.
令≥1.6,
即≥1.6,即x≥20×(-1),
由所给数据知1.15<<1.2,
所以3<20×(-1)<4,
所以x的最小值为4,则5x≥20,所以至少抽出20户从事水果包装、销售工作.
(2)假设至2018年年底该村每户年均纯收入能达到1.35万元,
每户的平均收入为f(x)=(x∈Z,1≤x≤9)万元,
令f(x)≥1.35,得3x2-30x+70≤0,
因为x∈Z,1≤x≤9,
所以x∈{4,5,6},5x∈{20,25,30}.
故当从事水果包装、销售工作的农户数为20,25,30时,能达到,否则不能达到.
8.解析　(1)当a=2时,y=f(x)+g(x)=x+-4-b.
易知函数y=f(x)+g(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,0)和(0,1).
(2)因为a∈[3,4],且函数y=f(x)在[1,,+∞)上单调递增,f(x)在[1,m]上的最大值为f(m),所以f(m)≥f(1),
即m+-4≥1+a-4,
整理得m2-(a+1)m+a≥0,
所以(m-1)(m-a)≥0,
所以m≥amax,即m≥4,
所以m的取值范围是[4,+∞).
(3)令F(x)=h(x)-|g(x)|,
由h(x1)-h(x2)<|g(x1)|-|g(x2)|对任意x1,x2∈[0,2](x1F(x)=h(x)-|g(x)|=x2+2bx-|x-b|=
①当b≤-b-,即b≤-时,
结合函数图象(图略)可得-b+≤0,解得b≥,与b≤-矛盾,舍去;
②当-b-时,
易知函数F(x)的图象(图略)从左到右依次为减、增、减、增,但是中间增区间的区间长度小于1,
要使函数F(x)在[0,2]上单调递增,
只需-b+≤0,解得b≥矛盾,舍去;
③当b≥-b+,即b≥时,
易知函数F(x)在上单调递增,
要使函数F(x)在[0,2]上单调递增,
只需-b-≤0,解得b≥-,所以b≥.
综上,满足条件的实数b的取值范围是.
9.解析　(1)设f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为P(a,b),令g(x)=f(x+a)-b,则g(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b,则g(-x)=(-x+a)3-3(-x+a)2-b,
又g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即g(-x)+g(x)=0,
所以(-x+a)3-3(-x+a)2+(x+a)3-3(x+a)2-2b=0,
整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0,
所以
解得所以P(1,-2),
所以函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1,-2).
(2)由(1)知,函数f(x)=x3-3x2的图象的对称中心为(1,-2),
所以f(-x+1)+f(x+1)=-4,
则f(-2 019)+f(2 021)=f(-2 017)+f(2 019)=…=f(-1)+f(3)=-4,且f(1)=-2,
则f(-2 019)+f(-2 017)+f(-2 015)+…+f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2 017)+f(2 019)+f(2 021)=-4×1 010-2=-4 042.
(3)推广结论:函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数或函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是满足f(x+a)=f(a-x)(a∈R).
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