专题强化练4 函数的基本性质
1.(2022江苏苏州吴江高级中学期中)已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于y轴对称,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,若f(3a-2)>f(2a),则实数a的取值范围是( )
A.a<或a> B.a<或a>2
C.
2.(2022福建厦门海沧中学期中)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,F(x)=f(x)+1,则F(x)的最大值与最小值之和为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.(2022河南信阳期中)已知f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上为减函数,且f(3)=0,则不等式(x+3)f(x)<0的解集是( )
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(0,3)
D.(-∞,-3)∪(-3,3)
4.(多选)(2021江苏连云港期末)已知函数f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),对任意的x,y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),则( )
A.f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)
B.f(x)在定义域上为奇函数
C.若当x>1时,有f(x)>0,则当-1D.若当00的解集为(1,+∞)
5.(多选)(2021江苏徐州期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是( )
A.当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2-2x
B.函数在定义域R上为增函数
C.不等式f(3x-2)<3的解集为(-∞,1)
D.不等式f(x)-x2+x-1>0恒成立
6.(2021江苏淮安淮阴中学期中)若函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为 .
7.(2021江苏泰州姜堰中学期中)已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=若f(x)在上的最大值为m,最小值为n,则m+n= .
8.(2020江苏徐州期末)已知函数f(x)=,x∈R,且x≠2.
(1)判断并证明f(x)在区间(0,2)上的单调性;
(2)若函数g(x)=x2-2ax与函数f(x)在区间[0,1]上有相同的值域,求实数a的值;
(3)函数h(x)=(1-3b2)x+5b,b≥1,x∈[0,1],若对任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=h(x2)成立,求实数b的取值范围.
答案全解全析
1.D 2.B 3.D 4.AC 5.BC
1.D 根据题意可知,f(x)是偶函数,
因为f(x)在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,
由f(3a-2)>f(2a)可得f(|3a-2|)>f(|2a|),
所以|3a-2|<|2a|,即(3a-2)2<4a2,
整理,得5a2-12a+4<0,解得故选D.
2.B ∵函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
∴当x∈[-2,2]时,f(x)max+f(x)min=0.
∴F(x)max+F(x)min=f(x)max+1+f(x)min+1=2,x∈[-2,2].故选B.
3.D 画出f(x)的大致图象,如图所示:
(x+3)f(x)<0等价于
即由图可知,不等式的解集为(-∞,-3)∪(-3,3).故选D.
4.AC 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0,所以f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0),故A正确;
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),又x∈(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,所以f(x)在定义域上为偶函数,故B错误;
令y=-∈(-1,0),又f(x)>0,所以f<0,即当-1令y=∈(1,+∞),又f(x)<0,所以f>0,即当x>1时,f(x)>0,因为f(x)在定义域上为偶函数,所以当x<-1时,f(x)>0,所以f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),故D错误.
故选AC.
5.BC 对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x=-f(x),所以f(x)=x2+2x,故A错误;
对于B,易知f(x)=所以函数在定义域R上为增函数,故B正确;
对于C,不等式f(3x-2)<3可化为f(3x-2)对于D,易知函数f(x)的值域为R,且x2-x+1=≥,故不等式f(x)-x2+x-1>0不一定成立,故D错误.故选BC.
6.答案 -2
解析 当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x,
又x<0时,f(x)=-x2+ax,∴-x2+ax=-x2-2x,∴a=-2.
7.答案 -4
解析 画出f(x)在(0,+∞)上的图象,如图所示,
由图知,当x∈时,f(x)min=f(1)=-1.
因为f=2,f(4)=5,所以f(x)max=f(4)=5.
因为f(x)为奇函数,
所以当x∈时,f(x)max=f(-1)=-f(1)=1,f(x)min=f(-4)=-f(4)=-5.
所以m=1,n=-5,故m+n=1-5=-4.
8.解析 (1)f(x)在区间(0,2)上为减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,2),且x1则f(x1)-f(x2)=
=
=
=
=,
因为00,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,2)上为减函数.
(2)因为f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以其值域为[-1,0],所以当x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0].因为g(0)=0为最大值,所以最小值只能为g(1)或g(a).
若g(1)=-1,则解得a=1;
若g(a)=-1,则解得a=1.
综上,a=1.
(3)当b≥1,x∈[0,1]时,h(x)在区间[0,1]上单调递减,故h(x)在[0,1]上的最大值为h(0)=5b,最小值为h(1)=1-3b2+5b.由(2)知f(x)在[0,1]上的值域为[-1,0],所以
所以解得b≥2.
1专题强化练3 分段函数及其性质
1.已知函数f(x)=若f(x)=1,则x=( )
A.1 B.1或 C.±1 D.
2.若函数f(x)=则f =( )
A. B.- C. D.18
3.(2020江苏镇江实验高级中学月考)若f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.(多选)已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,构造函数F(x)=那么关于函数y=F(x)的说法正确的是( )
A.y=F(x)的图象与x轴有3个交点
B.在(1,+∞)上单调递增
C.有最大值1,无最小值
D.有最大值3,最小值1
5.已知a∈R,函数f(x)=若对于任意的x∈[-4,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则实数a的取值范围是 .
6.(2021北京人大附中期中)设函数f(x)=
(1)若存在非零实数x,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是 ;
(2)若函数f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是 .
7.(2020山东临沂期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足:p(t)=其中t∈N.
(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义;
(2)若该路公交车每分钟的净收益y=-10(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大 并求每分钟的最大净收益.
]
答案全解全析
1.C 2.A 3.B 4.AC
1.C 当x≤-1时,x+2=1 x=-1;
当-1当x≥2时,2x=1 x=,舍去.
综上,x=±1.
故选C.
2.A 因为当x>1时,f(x)=x2+x-2,
所以f(2)=22+2-2=4,
所以.
因为当x≤1时,f(x)=1-x2,
所以f=1-.
故选A.
3.B 要使得f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,需满足
解得≤a<,故选B.
4.AC 由g(x)-f(x)=x2-3+2|x|>0,得|x|>1,则F(x)=
作出F(x)的图象如图所示,
由图可知,y=F(x)的图象与x轴有3个交点,F(x)在(1,+∞)上单调递减,F(x)有最大值1,没有最
小值.
故选AC.
5.答案 [0,4]
解析 当x>0时, f(x)≤|x|可化为-x2+x-2a≤x,即a≥-x2,
因为x2>0,所以-x2<0,则a≥0;
当-4≤x≤0时, f(x)≤|x|可化为x2+3x+a-4≤-x,
即a≤-x2-4x+4,
令h(x)=-x2-4x+4,则h(x)在[-4,-2]上单调递增,在(-2,0]上单调递减,而h(-4)=-(-4)2-4×(-4)+4=4,h(0)=-0-0+4=4,
故h(x)在[-4,0]上的最小值为4,则a≤4.
所以实数a的取值范围是[0,4].
6.答案 (1)a>1 (2)a≤0或a=1
解析 (1)若f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.在同一直角坐标系中画出函数y=x和y=-x2+2x的图象,如图所示.
若存在非零实数x,使得f(1+x)=f(1-x),则a>1.
(2)结合图象知,若f(x)为R上的单调函数,则a≤0或a=1.
7.解析 (1)p(5)=60-(5-10)2=35.
实际意义:发车时间间隔为5分钟时,载客量为35人.
(2)当5≤t<10,t∈N时,y=.
易知函数y=110-在区间[5,6]上单调递增,在区间[6,10)上单调递减,
∴当t=6时,y取得最大值,最大值为38;
当10≤t≤20,t∈N时,y=-10,易知该函数在区间[10,20]上单调递减,
∴当t=10时,y取得最大值,最大值为28.4.
因为38>28.4,所以当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.
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