苏教版（2019）高中数学必修一6.1　幂函数同步练习（Word含答案）

第6章　幂函数、指数函数和对数函数
6.1　幂函数　　　　　　
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　幂函数的概念
1.在函数①y=,②y=x2,③y=2x+1,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=中,为幂函数的是(　　)
A.①②④⑤　　　　　　　B.③④⑥
C.①②⑥　　　　　　　　D.①②④⑤⑥
2.(2021安徽合肥八中期中)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,则n-m=(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.8　　　　　D.9
3.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　　　,b=　　　　.
题组二　幂函数的图象及其应用
4.(2020山东宁阳一中月考)函数y=的大致图象是(　　)
A B C D
5.(2020江苏泰兴黄桥中学月考)如图所示,C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象,则解析式中指数k的值依次可以是(　　)
A.-1,,3　　　　　　　　B.-1,3,
C.,-1,3　　　　　　　　D.,3,-1
题组三　幂函数的性质及其应用
6.(2022江苏南京六合高级中学学情检测)已知幂函数f(x)=(t2-t+1)·(t∈N)是偶函数,则实数t的值为(　　)
A.0　　　　　B.-1或1　　　　　C.1　　　　　D.0或1
7.(2022江苏无锡期末)有下列四个幂函数,某同学研究了其中的一个函数,并给出这个函数的三个性质:(1)是偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上单调递增.如果给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则该同学研究的函数是(　　)
A.y=x-1　　　　　B.y=x-2　　　　　C.y=x3　　　　　D.y=
8.已知f(x)=,09.若幂函数f(x)的图象过点(2,8),则满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是　　　　.
10.(2021江苏宿迁宿豫中学月考)已知幂函数f(x)=(-2能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　幂函数的图象及其应用
1.(2020吉林白山一中期中)对于幂函数f(x)=,若0A. f> B. f<
C. f= D.无法确定
2.(2022辽宁大连期末)已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0A.　　　　　B.1　　　　　C.　　　　　D.2
3.(2022上海交大附中期末)已知幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0)、B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=,y=的图象三等分,即BM=MN=NA,则α1α2=　　　　.
题组二　幂函数的性质及其应用
4.(2022重庆巴蜀中学期末)“m2+4m=0”是“幂函数f(x)=(m3-m2-20m+1)为偶函数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知f(x)=在定义域上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1,6]　　　　　　　　B.(-1,6)
C.[4,6]　　　　　　　 　D.[4,6)
6.(多选)(2022江苏盐城期末)已知幂函数f(x)的图象经过点,则下列命题正确的是(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(x)的值域是(0,+∞)
C.若0D.g(x)=f(x+1)-f(x)是(0,+∞)上的增函数
7.(2022江苏木渎高级中学期末)已知幂函数f(x)=(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1<(3-2a的a的取值范围是　　　　.
8.(2020江苏奔牛高级中学期中)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1的定义域为R.
(1)求实数m的值;
(2)若不等式[f(x)]2-af(x)+b≤0的解集是{x|0≤x≤6},求ab的值.
答案全解全析
基础过关练
1.C 2.A 4.C 5.A 6.C 7.B
1.C　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数.①中,α=-1;②中,α=2;③中,y=2x+1是一次函数;④中,y=1是常数函数;⑤中,x2的系数是2;⑥中,α=-.所以只有①②⑥是幂函数.故选C.
2.A　由幂函数的定义可知,m-1=1,∴m=2,
∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn的图象上,
∴2n=8,∴n=3,∴n-m=3-2=,故选A.
3.答案　
解析　由题意得
4.C　函数y=,则x5≥0,解得x≥0,即函数的定义域为[0,+∞),故排除A、B.由>1及幂函数的性质,可得选项C符合题意.故选C.
5.A　根据幂函数的图象与性质可知,>>0>,3.故选A.
方法技巧
幂函数y=xα(α为常数)在第一象限内的图象特征:
(1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增,如y=x3;
(2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如y=;
(3)当α<0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向坐标轴无限逼近,如y=x-1.
6.C　∵f(x)=(t2-t+1)·(t∈N)是幂函数,
∴t2-t+1=1,∴t=0或t=1.
当t=0时,f(x)=是奇函数,不满足题意;
当t=1时,f(x)=是偶函数,满足题意.故选C.
7.B　对于A,y=x-1是奇函数,值域是{y|y∈R,且y≠0},在(-∞,0)上单调递减,不符合题意;对于B,y=x-2是偶函数,值域是{y|y∈R,且y>0},在(-∞,0)上单调递增,符合题意;对于C,y=x3为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意;对于D,y=为奇函数,值域为R,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意.故选B.
8.答案　f(a)解析　因为09.答案　(2,+∞)
解析　设f(x)=xα(α为常数),因为f(x)的图象过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,f(a-3)>f(1-a),所以a-3>1-a,解得a>2.所以实数a的取值范围是(2,+∞).
10.解析　因为函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以-m2-2m+3>0,解得-3因为-2因为对任意的x∈R,都有f(-x)-f(x)=0,即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.
当m=-1时,-m2-2m+3=4,满足题意;
当m=0时,-m2-2m+3=3,不满足题意.
所以f(x)=x4.
因为f(x)=x4在[0,4]上为增函数,
所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,
故当x∈[0,4]时,函数f(x)的值域是[0,256].
能力提升练
1.A 2.B 4.C 5.D 6.BCD
1.A　幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数,大致图象如图所示:
设A(x1,0),C(x2,0),其中0则AC的中点E的坐标为.
∵|EF|>(|AB|+|CD|),
∴f,故选A.
2.B　由题图得b>1>a>0,|AB|=(m2)a-(m2)b,|CD|=ma-mb,因为0(m2)b,ma>mb,因为|AB|=|CD|,所以-=(ma+mb)(ma-mb)=ma-mb,又因为ma-mb>0,所以ma+mb=1.故选B.
3.答案　1
解析　因为A(1,0),B(0,1),BM=MN=NA,
所以M,
不妨设y=,y===,
故===,所以α1α2=1.
4.C　由m2+4m=0,解得m=0或m=-4,
当m=0时,f(x)=,此时函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数;
当m=-4时,f(x)=,此时函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==f(x),所以函数f(x)为偶函数,
所以充分性成立;
因为f(x)=(m3-m2-20m+1)为幂函数,所以m3-m2-20m+1=1,解得m=0或m=-4或m=5,
当m=0时,f(x)=,此时函数f(x)为偶函数;
当m=-4时,f(x)=,此时函数f(x)为偶函数,
当m=5时,f(x)=x,此时函数f(x)为奇函数.
故当幂函数f(x)为偶函数时,m=0或m=-4,即必要性成立,所以“m2+4m=0”是“幂函数f(x)为偶函数”的充要条件.故选C.
5.D　令h(x)=x2-4x+a(x≤1),g(x)==2,所以h(x)=x2-4x+a(x≤1)是单调递减函数.因为f(x)在定义域上是单调函数,所以g(x)=(x>1)也为单调递减函数,且h(1)≥g(1),
即所以4≤a<6.故选D.
6.BCD　由题意可设f(x)=xα(α为常数),
把,
即f(x)=.
对于A,f(x)的定义域为{x|x>0},不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数,故A错误;
对于B,f(x)的值域为(0,+∞),故B正确;
对于C,因为0因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以f).
>0,
因此),
又f),
所以f,故C正确;
对于D,g(x)=f(x+1)-f(x)=<0,
当x>0时,函数y=x2+x=>0,此时函数单调递增,由函数单调性的性质可知,函数g(x)=f(x+1)-f(x)是(0,+∞)上的增函数,故D正确.
故选BCD.
7.答案　(-∞,-1)∪
解析　因为幂函数f(x)=(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1又m∈N*,所以m=1,2.
当m=1时, f(x)=x-4的图象关于y轴对称,满足题意;
当m=2时, f(x)=x-3的图象不关于y轴对称,舍去.
故当m=1时,函数y==,则y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,
由(a+1<(3-2a.
故a的取值范围是(-∞,-1)∪.
8.解析　(1)由题意得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x,符合题意;
当m=-1时,f(x)=x-2,定义域为{x|x≠0},不符合题意.
所以实数m的值为2.
(2)由(1)知f(x)=x,则[f(x)]2-af(x)+b≤0即为x2-ax+b≤0.
因为x2-ax+b≤0的解集为{x|0≤x≤6},
所以由根与系数的关系可知
解得故ab=1.
1