苏教版（2019）高中数学必修一6.3　对数函数同步练习（Word含答案）

6.3　对数函数
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　对数函数的概念及应用
1.(2021江苏南京溧水高级中学月考)下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=log5x+1　　　　　　　　
B.y=logax2(a>0,且a≠1)
C.y=lox　　　　　　　　
D.y=logx(x>0,且x≠1)
2.(2021江苏郑集高级中学期中)函数f(x)=(a2+a-5)logax(a>0,a≠1)为对数函数,则f =(　　)
A.3　　　　　B.-3　　　　　C.-log36　　　　　D.-log38
3.已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0,a≠1)的图象过点(6,3),则f(2)的值为(　　)
A.-2　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.-
4.(2022江苏仪征中学期中)设函数f(x)=则f()的值是　　　　.
题组二　对数(型)函数的图象
5.(多选)(2021江苏平潮高级中学月考)已知函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,则下列函数图象也过点A的是(　　)
A.y=+2　　　　　　　　B.y=|x-2|+1
C.y=log2(2x)+1　　　　　　 D.y=2x-1
6.如图所示中的曲线是对数函数y=logax(a>0,a≠1)当a取4个不同值时的图象,已知a的值分别为,,,,则相应于c1,c2,c3,c4的值依次是(　　)
A.,,,　　　　　　　　B.,,,
C.,,,　　　　　　　　D.,,,
7.(2021江苏淮安清浦中学期中)函数f(x)=与g(x)=-log2x的大致图象是(　　)
A B C D
8.(2020河南省实验中学期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(　　)
题组三　反函数
9.(2021江苏连云港高级中学月考)若函数f(x)=2x的反函数是g(x),则g(2)的值为(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
10.设函数g(x)的图象与f(x)=的图象关于直线y=x对称,则g(2)=　　　　.
11.(2021江苏盐城阜宁第一高级中学月考)函数f(x)与g(x)互为反函数,若f(x)=1(x<0),求函数g(x)的解析式、定义域和值域.
题组四　对数(型)函数的性质及简单应用
12.(2022江苏靖江高级中学期中)函数f(x)=+lg(5-3x)的定义域是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
13.(2022江苏高邮中学期中)函数y=log2(2x+1)的值域是(　　)
A.[1,+∞)　　　　　　　　B.(0,1)
C.(-∞,0)　　　　　　　　D.(0,+∞)
14.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=(　　)
A.1　　　　　B.-　　　　　C.-1　　　　　D.
15.(2022广东广雅中学期中)设函数f(x)=则f(x)的最大值为(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.-1　　　　　D.2
16.(2021江苏镇江月考)已知a=2 02,b=log2 020,c=log2 0212 020,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　　　　　　　B.a>c>b
C.c>a>b　　　　　　　　D.c>b>a
17.(2021江苏南京期中)已知f(x)=log3(2+x)-log3(2-x).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)解不等式f(x)>1.
18.已知函数f(x)=lo(x2-mx-m).
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,求实数m的取值范围.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　对数(型)函数的图象及其应用
1.(2020河北唐山一中期中)函数y=的图象是(　　)
2.f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　　　　　B.(0,2)
C.(1,2)　　　　　　　　D.(2,4)
3.如图所示,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求-的最小值.
题组二　对数(型)函数的性质及其应用
4.设f(x)=若存在x1,x2∈R,x1 ≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
5.(多选)(2021江苏板浦高级中学期中)已知函数f(x)=loga(x2-ax+1)(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是(　　)
A.当a=2时,f(x)的值域为R
B.存在a,使得f(x)为奇函数或偶函数
C.当a>2时,f(x)的定义域不可能为R
D.存在a,使得f(x)在区间(-∞,2)上为减函数
6.(多选)(2021江苏淮安淮州中学月考)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.若f(a)=1,则a=3
B.f =2 020
C.若f(a)≥2,则a≥5或a≤-1
D.若方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k>
7.(2021安徽合肥期末)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1,x2,x3,x4互不相等),则x1+x2+x3+x4的取值范围是注:函数y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　 D.
8.(2022江苏镇江丹徒高级中学阶段测试)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=loga(ax2-x)在上是增函数,则a的取值范围是　　　.
9.若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x-,则不等式f(x)≤0的解集为　　　　　　　.
10.(2022山东潍坊期末)已知函数f(x)=log9(9x+1)+bx(b∈R)为偶函数.
(1)求b的值;
(2)求f(x)的最小值;
(3)若f(t(2x-2-x))11.(2021上海复旦附中期末)已知函数h(x)=|lox|.
(1)求h(x)在上的最大值;
(2)设函数f(x)的定义域为I,若存在区间A I,满足对任意x1∈A,都存在x2∈(其中表示A在I上的补集),使得f(x1)=f(x2),则称区间A为f(x)的“Γ区间”.已知x∈,若A=为函数h(x)的“Γ区间”,求a的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.C 2.B 3.B 5.ABC 6.B 7.A 8.B 9.A
12.C 13.D 14.C 15.B 16.B
1.C　A中,对数式后面加1,所以不是对数函数;B中,真数不是自变量x,所以不是对数函数;C中,函数是对数函数;D中,底数是自变量x,不是常数,所以不是对数函数.故选C.
2.B　因为函数f(x)为对数函数,
所以a2+a-5=1,解得a=2或a=-3.
因为a>0且a≠1,所以a=2,
故f(x)=log2x,所以f=-3.故选B.
3.B　将(6,3)代入f(x)=loga(x+2),得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,∴a=2,∴f(x)=log2(x+2),∴f(2)=log2(2+2)=2.
4.答案　-
解析　由题意得f(-1)=lo.
5.ABC　令x=1,得f(1)=a0+1=2,即函数f(x)的图象恒过点A(1,2).把A(1,2)分别代入四个选项中,只有选项A,B,C成立.故选ABC.
6.B　解法一:c1,c2对应的底数一定大于1,c3,c4对应的底数一定小于1,故排除C,D;对数函数底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴,可得c1,c2,c3,c4对应的a值依次为.
解法二:过点(0,1)作平行于x轴的直线(图略),与c1,c2,c3,c4交点的坐标分别为(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1),其中a1,a2,a3,a4分别为各对数函数的底数,显然a1>a2>a3>a4,所以c1,c2,c3,c4的底数值分别为.
7.A　易知函数f(x)=是减函数,且其图象过点(0,1),函数g(x)=-log2x是减函数,且其图象过点(1,0),故选A.
8.B　解法一:由题可知,当x>0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x<0时, f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lg x的图象先关于y轴作翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B正确.故选B.
解法二:易知f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),又f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此C,D错误.当x>0时, f(x)=lg(x-1),在(1,+∞)上是增函数,故选B.
9.A　由于函数f(x)=2x的反函数是g(x),因此g(x)=log2x,因此g(2)=log22=1.故选A.
10.答案　-
解析　由题意知g(x)与f(x)互为反函数,因此求g(2)的值,只需令f(x)=2,由
.
11.解析　易知f(x)=1=(1)x(x<0)是增函数,所以0<(1)x<1,
故f(x)=(1)x的定义域为(-∞,0),值域为(0,1),所以g(x)=2 021lg x,定义域为(0,1),值域为(-∞,0).
12.C　由题意得即1≤x<.
故选C.
13.D　设t=2x+1(t>1),则log2(2x+1)>0,
故y=log2(2x+1)的值域为(0,+∞),故选D.
14.C　易知函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),因为f(x)==2·2x-,所以f(-x)=2·-a·2x=-2·2x,所以a=2.因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=g(x),又g(x)=ln(ex+1)-bx,所以g(-x)=ln(e-x+1)+bx=ln=-1.
15.B　当x<0时,f(x)=-x2-x=-,
则f(x)max=f;当x≥0时,f(x)=lo(x2+2),因为x2+2≥2,所以lo(x2+2)≤-1,所以f(x)max=f(0)=-1.综上所述,f(x)max=.故选B.
16.B　a=2 02>2 0200=1,
b=log2 0200=log2 0211所以a>1,b<0,0c>b.故选B.
17.解析　(1)函数f(x)在(-2,2)上是奇函数.证明如下:因为f(x)=log3(2+x)-log3(2-x),
所以解得-2因为f(-x)=log3(2-x)-log3(2+x)=-[log3(2+x)-log3(2-x)]=-f(x),
所以函数f(x)在(-2,2)上是奇函数.
(2)因为f(x)=log3(2+x)-log3(2-x)=log3解得1所以不等式f(x)>1的解集为{x|118.解析　(1)若m=1,则f(x)=lo(x2-x-1),要使函数有意义,只需x2-x-1>0,解得x∈∪,
故函数f(x)的定义域为-∞,∪.
(2)∵函数f(x)的值域为R,
∴x2-mx-m能取遍一切正实数,及x2-mx-m>0对x∈R恒成立,
∴Δ=m2+4m≥0,∴m∈(-∞,-4]∪[0,+∞),
∴实数m的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞).
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,则根据复合函数的同增异减原则,
得y=x2-mx-m在区间(-∞,1-≥1-)-m≥0,解得m≥2-2且m≤2,
故m∈[2-2,2].
能力提升练
1.B 2.D 4.B 5.AC 6.BC 7.D
1.B　当x>0时,y==ln x,排除C,D;
当x<0时,y==-ln(-x),又函数y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,所以选B.
2.D　作出函数f(x)=的图象,如图所示:
不妨设a即log2a=-log2b,则log2(ab)=0,所以ab=1.
又由图象可知23.解析　(1)由题意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,
所以m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb).
因为AC与x轴平行,所以logmb=logca,
因为b=a2,所以m=c2,
所以=-1,
所以当取得最小值,为-1.
4.B　由题意得
∴0∴当x≤1时,函数f(x)为减函数;当x>1时,函数f(x)为减函数.
∵存在x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,不妨设x1≤1,x2>1,∴(1-2a.
∵(1-2a≥1-2a,logax2+,
∴1-2a<.
∴实数a的取值范围是.
5.AC　当a=2时,x2-ax+1=x2-2x+1=(x-1)2,当x≠1时,(x-1)2>0,则f(x)=log2(x-1)2∈R,即值域为R,故A正确.
f(x)=loga(x2-ax+1)的定义域是不等式x2-ax+1>0的解集,无论实数a取何值,定义域都是无限集.
要使f(x)=loga(x2-ax+1)为偶函数,只需f(-x)=f(x),则x2-ax+1=x2-a(-x)+1,即2ax=0对定义域内的实数x恒成立,解得a=0,此时对数的底数为零,无意义;要使f(x)=loga(x2-ax+1)为奇函数,
只需f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
所以(x2-ax+1)[x2-a(-x)+1]=1,即(x2+1)2-(ax)2=0对定义域内的任意实数x恒成立,此方程为四次方程,至多有四个不同的实数根,矛盾,故B错误.
不等式x2-ax+1>0的解集为R,等价于a2-4<0,即-22时,f(x)的定义域不可能为R,故C正确.
要使f(x)=loga(x2-ax+1)在区间(-∞,2)上为减函数,只需无解,故D错误.故选AC.
6.BC　对于A,由f(a)=1,得解得a=3或a=0,故A错误;
对于B,f=lo2 020,因为lo=f(lo2 020)==2 020,故B正确;
对于C,由f(a)≥2,得解得a≥5或a≤-1,故C正确;
对于D,作出y=f(x)的图象,如图所示:
结合图象知f(1)=,因为方程f(x)=k有两个不同的实数根,所以y=f(x)的图象与直线y=k有两个交点,所以k≥,故D错误.故选BC.
7.D　作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
设x1因为|log2x3|=|log2x4|,所以-log2x3=log2x4,所以log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0,所以x3x4=1,即x3=.
当|log2x|=1时,解得x=或x=2,所以1设t=x3+x4=+x4,
因为函数y=x+在(1,+∞)上单调递增,
所以+x4≤+2,即2所以-2+2即08.答案　(4,+∞)
解析　令μ=g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=,
当0则函数g(x)=ax2-x在无解;
当a>1时,函数y=logaμ为增函数,
则函数g(x)=ax2-x在解得a>4.
综上所述,a的取值范围是(4,+∞).
9.答案　{x|x≤-2或0≤x≤2}
解析　当x>0时,y=log2x为增函数,y=在(0,+∞)上为增函数,
因为f(2)=log22-=0,
所以当x∈(0,2)时,f(x)<0,
当x∈(2,+∞)时,f(x)>0.
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=0,且f(x)在(-∞,0)上为增函数,
所以当x∈(-∞,-2)时,f(x)<0,
当x∈(-2,0)时,f(x)>0.
又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,
所以不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-2或0≤x≤2}.
10.解析　(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以log9(9-x+1)-bx=log9(9x+1)+bx,
所以2bx=log9-log9(9x+1)=log99-x=-x,
所以b=-.
(2)由(1)知,f(x)=log9(9x+1)-=log9(9x+1)-log9.
因为3x+≥2≥log92(当且仅当x=0时,等号成立),
所以f(x)的最小值为log92.
(3)由(2)知,f(x)=log9,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1所以=-.
因为x1,x2∈(0,+∞),且x1所以-<0,-1>0,
所以<0,
所以<,
所以log9,
所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,
又因为f(x)为偶函数,所以|t(2x-2-x)|<|22x+2-2x|,当x=0时,0<2,t∈R;
当x≠0时,|2x-2-x|>0,所以|t|<,
设u(x)=≥2,
所以|t|<2.
综上所述,实数t的取值范围是-2.
11.解析　(1)作出函数h(x)=|lox|的图象,如图所示:
当当a>2时,h(x)的最大值为h(a)=-loa=log2a.
(2)当因为对任意x1∈A,都存在x2∈,使得f(x1)=f(x2),所以(loa,1] [0,1],成立,
此时A=为函数h(x)的“Γ区间”.
当1当1≤x11