苏教版（2019）高中数学必修一第6章 幂函数、指数函数和对数函数复习提升（Word含答案）

第6章 幂函数、指数函数和对数函数复习提升
易混易错练
易错点1　对数函数中忽略真数大于0而致错　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2021江苏宿迁淮北中学月考)函数f(x)=lo(-x2+2x+3)的单调递增区间是(　　)
A.(1,3)　　　　　　　　B.(1,+∞)
C.(-1,1)　　　　　　　 D.(-∞,1)
2.(2022广东深圳实验学校月考)已知实数a>0,且满足53a+2>54a+1,则不等式loga(3x+2)易错点2　忽略对底数的讨论而致错
3.(2022江苏成化高级中学月考)已知f(x)=loga(ax2-x)(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数,则实数a的取值范围为　　　　.
4.(2020浙江台州启超中学期中)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1).
(1)求函数的定义域和值域;
(2)讨论函数的单调区间.
易错点3　换元时忽略中间变量的取值范围而致错
5.已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域.
6.(2021江苏连云港石榴高级中学月考)求函数f(x)=ax-2-1(a>0,a≠1)的定义域、值域.
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多选)(2021江苏盐城滨海中学月考)已知2 020a=2 021b,则下列不可能成立的是(　　)
A.0C.02.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, f=0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　　　　.
3.(2022江苏宜兴中学阶段检测)设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,且x1二、分类讨论思想在函数中的应用
4.(2021云南玉溪期末)已知函数y=的值域为,若不等式loga(t·4x)A.　　　　　　　　
B.
C.(-∞,2)　　　　　　　　
D.(0,2)
5.若函数f(x)=loga(x2-ax+12)在(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
6.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
三、转化与化归思想在函数中的应用
7.若10|lg x|-a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是(　　)
A.a<1　　　　　　　　B.a>1
C.a≤1　　　　　　　　D.a≥1
8.已知函数f(x)=若a,b,c,d互不相同,且a四、函数与方程思想在函数中的应用
9.函数的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　　　　　B.(0,1]
C.　　　　　　　D.
答案全解全析
易混易错练
1.A　函数f(x)是由y=lot和t=-x2+2x+3复合而成的,易知函数y=lot在定义域内单调递减,
所以要求f(x)的单调递增区间,需要求t=-x2+2x+3的单调减区间.令-x2+2x+3>0,解得-12.答案　
解析　根据题意,得函数y=5x是定义域为R的增函数,可得3a+2>4a+1,所以a<1,
又a>0,所以0所以函数y=logax为减函数,
则
解得,
故不等式的解集为.
易错警示
在解决真数中含有参数的对数问题时,一定要保证真数大于0,忽略了这一点会使得所求参数范围扩大从而导致错误.
3.答案　(1,+∞)
解析　设t=ax2-x=a.
∵f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上是增函数,
∴当0当a>1时,所以a>1.
综上可知,实数a的取值范围是(1,+∞).
4.解析　(1)由题意得ax-1≠0,解得x≠0,
∴函数的定义域为{x|x≠0}.f(x)=.
当0∴f(x)=1+<-1;
当ax>1时,ax-1>0,∴>1.
∴函数的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)设x1,x2为区间(-∞,0)上的任意两个值,且x1∵x10,-1>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1时,>,-1<0,-1<0,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)为减函数.
同理,当x>0时,若01,函数f(x)为减函数.
综上,当a>1时,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上递减;当0易错警示
在解决底数中含有字母的指数函数或对数函数问题时,要注意对底数a分01两种情况讨论.
5.解析　因为函数f(x)的定义域是[1,9],
所以解得1≤x≤3.
故函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3].
由题意知y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,
令t=log3x,t∈[0,1],则y=t2+6t+6=(t+3)2-3,
由二次函数的图象(图略)可知此函数在[0,1]上单调递增,故所求函数的值域是[6,13].
6.解析　由4-ax≥0,得ax≤4.
当a>1时,x≤loga4;当0故当a>1时,f(x)的定义域为(-∞,loga4];
当0令t=,则0≤t<2,ax=4-t2,
∴y=4-t2-2t-1=-(t+1)2+4.
令g(t)=-(t+1)2+4,当0≤t<2时,g(t)是减函数,
∴g(2)∴函数f(x)的值域是(-5,3].
易错警示
求复合函数的定义域、值域、单调区间时,为了叙述简便,常需要利用换元法,此时务必需要注意新元的范围,否则极易出现错解.
思想方法练
1.CD 4.A 7.B 9.D
1.CD　令m=2 020a=2 021b>0,
则a=log2 020m,b=log2 021m.
作出函数y=log2 020x与y=log2 021x的图象,数形结合判断a,b之间的大小关系.
作出y=log2 020x与y=log2 021x的图象如图所示.
由图可知,若01,则02.答案　∪(2,+∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0]上为减函数.
由函数的性质作出函数的图象,数形结合求得不等式的解集.
作出函数f(x)的大致图象如图所示.
由f=0,∴f(lox)>0 lo或lo x>2或0∴不等式f(lo∪(2,+∞).
3.答案　
解析　根据题意作出y=f(x)的图象,由图象确定根的情况,进而求解.
由题意可得f(x)=
作出y=f(x)的图象与直线y=a,如图所示:
由图可知,当0又
则,
令g(a)=2+,
∴.
思想方法
利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①能准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,正确掌握参数的取值范围.
4.A　由函数y=.
对指数中的二次项系数分a=0,a>0,a<0三种情况讨论求解.
当a=0时,y=,显然不存在最大值;
当a>0时,函数y=在x∈上单调递增,在x∈时,函数有最大值,即;
当a<0时,函数y=在x∈上单调递减,在x∈.所以lo(t·4x)所以在x∈[1,2]上恒成立.
由t·4x>0在x∈[1,2]上恒成立,可得t>0.①
由2x-t>0在x∈[1,2]上恒成立,即t<2x在[1,2]上恒成立,可得t<2.②
t·4x>2x-t在x∈[1,2]上恒成立,即t>在[1,2]上恒成立,
令f(x)=2x+.③
由①②③得.故选A.
5.答案　(0,1)∪[6,7]
解析　令t=x2-ax+12,其图象开口向上,对称轴为直线x=.
对底数分a>1和0当a>1时,y=logat在定义域上单调递增,则t=x2-ax+12在(2,3)上单调递减,所以解得6≤a≤7.
当0综上,06.解析　(1)∵f(x)的值域为R,
∴y=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).
对二次项系数分a<0,a=0,a>0讨论求解.
当a<0时,显然不成立;
当a=0时,y=2x+1∈R,符合题意;
当a>0时,需满足Δ=4-4a≥0,解得a≤1,故0(2)∵f(x)的定义域为R,∴ax2+2x+1>0对任意的x∈R恒成立,∴解得a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).
思想方法
在指数、对数函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要注意对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现.
7.B　若10|lg x|-a=0有两个实数根,即10|lg x|=a有两个实数根,则函数y=10|lg x|与y=a的图象有两个不同的交点.
将方程有两个实数根转化为其对应的两个函数的图象有两个交点.
当x≥1时,lg x≥0,y=10|lg x|=10lg x=x;
当0所以y=10|lg x|=
作出函数y=10|lg x|的图象和直线y=a,如图所示:
由图可知a>1.
8.答案　(96,99)
解析　画出函数y=f(x)的图象和直线y=t,如图所示.设a,b,c,d分别为y=f(x)的图象与直线y=t交点的横坐标.
画出函数y=f(x)与y=t的图象,问题转化为有四个交点时求横坐标乘积的范围,结合图象,利用函数的性质求解.
由图可知,|log2a|=-log2a=log2b,即a·b=1,=10,且8思想方法
转化与化归思想在本章中主要体现在方程的根与其对应函数图象之间的相互转化,在解题时要灵活应用.
9.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则
即f(x)=有两个不等实根,
则logc(2cx+t)=,即2cx+t=.
令=u,u>0,则2u2-u+t=0.
依题意知方程有两个不等正实根,
换元后构造关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”的关系求解.
∴,故选D.
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