芜湖市华星学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学试卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算（ ）
A． B． C． D．
2．设向量，，若，则（ ）
A．－3 B．0 C．3 D．3或－3
3. 若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
4. 在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 有一个角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形
5. 关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ）
A. 某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B. 为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C. 若甲 乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D. 若数据的平均数为，则数据的平均数为
6. 有5个相同球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 丙与丁相互独立 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立
7. 如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（ ）
A. 存在最大值，最大值为 B. 存在最小值，最小值为
C. 为定值 D. 不确定，与，位置有关
8. 如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
B．
C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9. 设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A. 给定向量，总存在向量，使；
B. 给定向量和，总存实数和，使；
C. 给定单位向量和正数，总存单位向量和实数，使；
D. 若，存在单位向量和正实数，使，则.
10. 对于，角的对边分别为，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则符合条件的有两个
D. 若，则是钝角三角形
11. 如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）
A. 存在某一位置，使得直线和直线相交
B. 存在某一位置，使得平面
C. 点与点到平面的距离总相等
D. 三棱锥的体积不变
12. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，过去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为，极差为；乙地：平均数为，众数为；丙地：平均数为，中位数为；丁地：平均数为，方差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 向量在向量方向上的投影向量的模为___．
14. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______
15. 平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为___________.
16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的面积的最大值为___．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤，并书写在答题纸的相应位置内。）
17. （10分）已知=（1,2），=（1，-1）.
(1)与夹角的余弦值；
(2)若与垂直，求k的值.
18. 从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据如下（单位：，数据间无大小顺序要求）：
（1）若为这组数据的一个众数，求的取值集合；
（2）若样本数据的第90百分位数是173，求的值；
（3）若，试估计该校高一年级新生的平均身高.
19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若b=4，求周长的最大值.
20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC.
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求点F到平面PCD的距离.
21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且 ，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
22. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后矩形为，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：；
（3）求四面体体积最大值芜湖市华星学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学答案
一、选择题（第1-8题单选题，每题5分，第9-12题多选题，每题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C A C C C D ABD ABD BCD ACD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 或2.2 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17.(1)因为，，故.
(2)因为，，故，，
又向量与垂直，则，解得.
18.（1）
（2）172 （3）
19.（1）因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
（2）在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
20.（1）证明略；（2）
21.（1）解：由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，∴，，
∵，∴.
（2）若选①：
由平分得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：
因为，，
，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
22.（1）证明略 （2）证明略 （3）2
