苏教版（2019）高中数学必修一7.4　三角函数应用同步练习（Word含答案）

7.4　三角函数应用
基础过关练
　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　三角函数模型在物理中的应用
1.(2020北京丰台期末)音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为(　　)
A.200　　　　　　　　B.400
C.200π　　　　　　　　D.400π
2.两个弹簧上各有一个质量为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos 2t.当t=时,s1与s2的大小关系是(　　)
A.s1>s2　　　　　　　　
B.s1C.s1=s2　　　　　　　　
D.不能确定
3.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图是I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果在任意一段 s的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,求ω的最小正整数值.
题组二　三角函数模型在实际生活中的应用
4.(多选)(2021江苏南通期末)人的心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.健康成年人的收缩压和舒张压一般分别为120~140 mmHg和60~90mmHg.记某人的血压满足关系式p(t)=a+bsin ωt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),其函数图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.ω=80π
B.此人的收缩压为120 mmHg
C.此人的舒张压为70 mmHg
D.此人每分钟心跳80次
5.(2021江苏南通开学考试)如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴心O距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则下列结论不正确的是(　　)
A.经过3分钟,点P首次到达最低点
B.第4分钟和第8分钟时点P距离地面一样高
C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在
降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米
6.(2021江苏扬州邗江中学月考)某市某房地产介绍所对本市一楼盘的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(单位:元/平方米)与第x季度之间近似满足关系式y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0).已知第一、二季度的平均单价分别为10 000元/平方米,9 500元/平方米,则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A.10 000元/平方米　　　　　　　　
B.9 500元/平方米
C.9 000元/平方米　　　　　　　　
D.8 500元/平方米
题组三　三角函数模型的建立及应用
7.(2020江苏如皋期中)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y).若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为(　　)
A.y=sin　　　　　　　 　B.y=sin
C.y=sin　　　　　　　　D.y=sin
8.(2022河北邢台模拟)某旅游景区内有一家酒店为游客提供住宿和食物,工作人员发现有浪费食物的现象.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此酒店统计了每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征,并且具有以下规律:①每年相同的月份,入住酒店的游客人数基本相同;②入住酒店的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400;③2月份入住酒店的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.
(1)函数模型f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)和f(x)=ax3+bx2+cx+d中,用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数f(x)与月份x之间的关系更合适,为什么 并求出f(x)的解析式;
(2)在第一问选择的模型的基础上,试求酒店在哪几个月份要准备至少400份(每人一份)的食物.
9.(2022江苏徐州期中)潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象,是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所出现的周期性现象,我们把海面垂直方向的涨落称为潮汐,地球上不同地点的潮汐规律不同.下表给出了某沿海港口在一天(24小时)中海水深度的部分统计数据:
时间t(时) 0 2 4 6 8 10 12
水深h(米) 13.4 14 13.4 12 10 8 6.6
时间t(时) 14 16 18 20 22 24
水深h(米) 6 6.6 8 10 12 13.4
(1)请结合表中数据,在给出的平面直角坐标系中,画出该港口在一天(24小时)中海水深度h与时间t的函数图象,并根据所学知识,从h(t)=at2+bt+c(a>0),h(t)=2t,h(t)=Asin(ωt+φ)+B,h(t)=Acos(ωt+φ)+B这四个函数解析式中,选取一个合适的函数模型描述该港口在一天(24小时)中水深h与时间t的函数关系,求出其解析式;
(2)现有一货轮需进港卸货,在白天进行物资补给并于当天晚上离港.已知该货轮进港时的吃水深度(水面到船底的距离)为10米,卸货后吃水深度减小0.8米,根据安全航行的要求,船底至少要留出2.8米的安全间隙(船底到海底的距离),如果你是船长,请你规划货轮的进港、离港时间,并计算出货轮在该港口停留的最短时长.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
答案全解全析
基础过关练
1.D 2.C 4.BCD 5.C 6.C 7.C
1.D　由题图可得ω>0,T=4×,所以ω=400π.故选D.
2.C　当t==-5,故s1=s2.
3.解析　(1)由题图知A=300,最小正周期T=2×=150π.
又当t==0,
∵+φ=2kπ+π,k∈Z,
∴φ=2kπ+,k∈Z,
∵|φ|<.
∴所求的函数解析式为I=300sin.
(2)依题意得,周期T'≤≤(ω>0),
∴ω≥300π≈942.5,
∴ω的最小正整数值为943.
4.BCD　由题图知T=2×,得ω=160π,故选项A不正确;
由题图知p(t)在一个周期内的最大值为120,最小值为70,所以此人的收缩压为120 mmHg,舒张压为70 mmHg,故选项B、C正确;
此人每分钟心跳次数为=80,故选项D正确.
故选BCD.
5.C　设P(x,y),则y=45+40cost+45(t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间,单位为分钟).
对于A选项,由于摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,所以经过3分钟,点P首次到达最低点,A中结论正确.
对于B选项,当t=4时,y=40cos+45=25.所以第4分钟和第8分钟时点P距离地面一样高,B中结论正确.
对于C选项,由于摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,所以第7分钟至第10分钟相当于第1分钟至第4分钟,根据A选项可知,经过3分钟,点P首次到达最低点,所以第1分钟至第3分钟,摩天轮高度降低,第3分钟至第4分钟,摩天轮高度上升,C中结论错误.
对于D选项,令40cost+45≥65,得cost≥,其中0≤t≤6,所以0≤t≤≤t≤2π,即0≤t≤1或5≤t≤6,故摩天轮在旋转一周的过程中点P有1+1=2分钟距离地面不低于65米,D中结论正确.故选C.
6.C　把分别代入y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),
得sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0.
所以ω+φ=+2k1π,k1∈Z,2ω+φ=π+2k2π,k2∈Z,解得ω=+2(k2-k1)π,φ=2(2k1-k2)π,k1,k2∈Z.所以3ω+φ=+2kπ,k1,k2,k∈π,
所以当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9 500=500sin+9 500=9 000,k∈Z.
故此楼盘在第三季度的平均单价大约是9 000元/平方米.故选C.
C　结合选项设所求函数关系式为y=sin(ωt+φ)(ω≠0).易知最小正周期T=
.
因为秒针按顺时针方向旋转,所以ω=-.
所以y=sin.
因为初始位置为P0,
所以sin φ=.
所以所求函数关系式为y=sin.故选C.
8.解析　(1)因为入住酒店的游客人数f(x)呈周期性变化,且在第一季度内有对称性特征,故选择f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.
根据①可知这个函数的周期是12;
由②可知f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③可知f(x)在[2,8]上是增函数,且f(2)=100,所以f(8)=500.则,
由解得A=200,B=300,
当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,
则sin+2kπ,k∈Z,由|φ|<π,得φ=-.
所以入住酒店的游客人数f(x)与月份x之间的函数解析式为f(x)=200sin+300(x=1,2,…,12).
(2)由条件可知200sin+300≥400,化简得sin≥,
即2kπ+≤≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z,
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,
即酒店在6,7,8,9,10月份要准备至少400份(每人一份)的食物.
9.解析　(1)根据题表中数据,描点、连线,可得其图象如下:
由图可知,可以选取函数模型h(t)=Asin(ωt+φ)+B来描述,
由题意得,
又因为
解得A=4,B=10,
所以h(t)=4sin+10,
由h(2)=4sin=1,
所以,k∈Z,
所以φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<,
所以h(t)=4sin+10,t∈[0,24].
还可以选取函数模型h(t)=Acos(ωt+φ)+B+10,t∈[0,24].
由题意可知货轮安全进港的水深至少应达到12.8米,按模型h(t)=4sin+10进行
计算,
由h(t)=4sin+10≥12.8,
得4sin≥2.8,
即sin≥≈,
所以2kπ+≤≤2kπ+,k∈Z,
所以24k-1≤t≤24k+5,k∈Z,
又因为t∈[0,24],
所以0≤t≤5或23≤t≤24,
结合题意,可安排货轮在0时到5时之间进港.
易知货轮安全离港的水深至少应达到12米,
根据题表中数据可知,最早在晚上10时后水深符合要求,可安全离港,货轮在港停留的时间最短为17个小时.
综上,规划决策如下:应安排货轮最晚在凌晨5时进港,最早在晚上10时离港,在港停留的时间最短为17个小时.
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