苏教版（2019）高中数学必修一第七章三角函数复习提升（Word含答案）

第七章三角函数复习提升
易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　　
易错点1　忽略轴线角致错
1.(2021黑龙江哈尔滨六中月考)设角α的始边为x轴非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　　　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　　　　
D.既不充分也不必要条件
2.已知角α的终边过点P(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　　　.
易错点2　忽视隐含条件致错
3.函数y=lo的单调递增区间为　　　　.
4.(2021四川成都树德中学段测)已知-π(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
易错点3　忽视对参数的讨论致错
5.(2020上海金山中学期末)已知角α的终边上一点P的坐标是(3a,-4a),其中a≠0,化简2sin α+cos α的结果为　　　　.
6.已知函数y=2asin+b的定义域为,最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
易错点4　图象变换中忽视自变量的系数和平移方向致错
7.(2022江苏淮安中学阶段检测)为了得到函数y=3sin的图象,只需把函数y=3sin x的图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的
倍
向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的
2倍
向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的
倍
向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的
倍
思想方法练　　　　　　　　　　　　　　　　
一、数形结合思想在三角函数中的应用
1.(2021江苏海安曲塘中学月考)在(0,2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的大致图象如图所示,则函数的解析式为　　　　　　　　　　　,方程f(x)-lg x=0的实数根的个数为　　　　.
二、分类讨论思想在三角函数中的应用
3.(2022江苏马坝中学期中)已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线3x-y=0上,则角α的余弦值为(　　)
A.　　　　　B.±　　　　　C.　　　　　D.±
4.证明:=(-1)ncos α,n∈Z.
三、函数与方程思想在三角函数中的应用
5.(2020北京交大附中期末)函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图,则φ的值为　　　　,ω的值为　　　　.
6.(2021吉林长春外国语学校检测)已知tan α是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根,且α是第三象限角.
(1)求的值;
(2)求2sin α-cos α的值.
四、转化与化归思想在三角函数中的应用
7.(2021江苏溧阳中学月考)比较下列各组数的大小.
(1)tan 1,tan 2,tan 3;
(2)tan与tan.
答案全解全析
易混易错练
1.A　已知角α的始边为x轴非负半轴,
若角α的终边在第二或第三象限,则cos α<0,充分性成立;
若cos α<0,则角α的终边在第二或第三象限,或者在x轴负半轴上,必要性不成立.
故“角α的终边在第二或第三象限”是“cos α<0”的充分不必要条件,故选A.
2.答案　(-2,3]
解析　∵cos α≤0,sin α>0,∴角α的终边在第二象限或在y轴的非负半轴上,
又∵角α的终边过点P(3a-9,a+2),
∴
∴-2∴实数a的取值范围是(-2,3].
易错警示
由角的终边的位置可以确定三角函数值的符号,但由三角函数值的符号确定角的终边的位置时要注意角的终边在坐标轴上的情况,防止遗漏导致解题错误.
3.答案　,k∈Z
解析　由对数函数的概念得>0,
即2kπ解得-+2kπ,k∈Z.①
求函数y=lo+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.②
联立①②,得x∈,k∈Z.
故所求函数的单调递增区间为2kπ+,k∈Z.
易错警示
本题中函数y=lo为复合函数,在判断函数的单调区间时,还需满足真数大
于0.
4.解析　(1)∵-π∴-0,
∴sin x-cos x<0.
由sin x+cos x=,sin2x+cos 2x=1,
可得1+2sin xcos x=,
∴(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
又sin x-cos x<0,
∴sin x-cos x=-.
(2)由(1)可得sin x=-,
∴tan x=.
∴.
易错警示
由条件sin x+cos x=>0及-π5.答案　1
解析　由三角函数的概念可知,
sin α=,cos α=.
当a>0时,sin α=-,
∴2sin α+cos α=-1;
当a<0时,sin α=,
∴2sin α+cos α=1.
易错警示
利用三角函数的概念进行化简或证明时,往往要关注三角函数的符号,特别是遇到开方时.当题中涉及参数时,要注意进行分类讨论,否则会出现错解.
6.解析　∵0≤x≤≤2x-≤,
∴-≤sin≤1.
若a>0,则
若a<0,则
易错警示
形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0,ω≠0,A,B,ω,φ为常数)的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行分类讨论.
7.A　将y=3sin x的图象向左平移的图象.
故选A.
易错警示
三角函数图象变换中的左右平移是对x而言的,如果x前面的系数不是1,那么应先提取系数,再进行平移.注意不要忽略系数,同时要注意分清平移方向.
思想方法练
1.A　由sin x>|cos x|≥0,得sin x>0,又x∈(0,2π),∴x∈(0,π).
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=|cos x|在x∈(0,π)上的图象,通过数形结合求出x的取值范围.
在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=|cos x|在x∈(0,π)上的图象,如图.
由图知,使sin x>|cos x|成立的x的取值范围为.故选A.
2.答案　f(x)=2sin;63
解析　显然A=2.由图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=.
因为点=0,
即2sin=0.
由图象可知,=2π,解得ω=2.
所以f(x)=2sin.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=
2sin和函数y=lg x的图象,数形结合,将方
程的根的问题转化为两函数图象的交点问题.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=2sin和函数y=lg x的图象,如图.
易知f(x)的最大值为2.令lg x=2得x=100.
令+kπ<100,k∈Z,得k≤30,k∈Z,
而,0≤k≤30,k∈Z的区间.
而在每一个这样的区间上,函数f(x)=2×sin内还有1个交点.
故方程f(x)-lg x=0共有63个实数根.
思想方法
本章中,数形结合思想贯穿始终,如角的概念的推广,三角函数线的应用,利用图象解三角不等式、研究函数的性质等都能充分应用数形结合思想解题.
3.D　角α的终边在直线3x-y=0上,分角α的终边在第一象限或第三象限两种情况.
因为角α的终边在直线3x-y=0上,所以角α的终边在第一象限或第三象限,
可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点,
当角α的终边在第一象限时,cos α=
.
故选D.
4.证明　因为n∈Z,且n为偶数和n为奇数时,正弦值和余弦值的符号会发生变化,所以需要对n分n为偶数、n为奇数进行讨论.
当n为偶数时,令n=2k,k∈Z,
左边=
==cos α,k∈Z,
右边=(-1)2kcos α=cos α,k∈Z,
左边=右边,故原等式成立.
当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z,
左边=
=
=
==-cos α,k∈Z,
右边=(-1)2k-1cos α=-cos α,k∈Z,
左边=右边,故原等式成立.
综上所述,=(-1)ncos α,n∈Z.
思想方法
在解与三角函数有关的问题时,涉及角的终边所在的象限,参数的范围等往往需要进行分
类讨论.
5.答案　
解析　由题图可知函数图象过点(0,1),
则,
由点在图象上知,点的坐标适合函数关系式,列出方程,求出φ的值.
又0<φ<,
∴f(x)=.
根据“五点法”可得,=2π,
∴ω=.
由“五点法”中第5个点为(2π,0)得到ωx+φ=2π,列出方程,求出ω的值.
6.解析　(1)解方程2x2-x-1=0,得x=-或tan α=1.
因为α是第三象限角,所以tan α=1.
解方程2x2-x-1=0,得到tan α的值,又α是第三象限角,所以tan α>0,将不满足的舍去.
所以=0.
(2)因为tan α=1,α是第三象限角,
所以.
所以2sin α-cos α=-.
思想方法
在本章中,利用三角函数的图象和性质将条件转化为方程,或在三角函数求值中都会用到函数与方程的思想.
7.解析　(1)tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π).
因为<2-π<0.
因为<3-π<0.
显然-,
利用转化思想,将角转化到同一单调区间内,再根据正切函数的单调性求解.
易知y=tan x在内是增函数,
所以tan(2-π)即tan 2(2)tan.
因为0<
,
即tan.
思想方法
转化与化归思想在三角函数中的应用主要体现在比较三角函数值的大小问题中,一般将各角转化到同名三角函数的同一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也体现了转化与化归思想.
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