苏教版（2019）高中数学必修一第七章三角函数综合拔高练（Word含答案）

第七章三角函数综合拔高练
　　　　　　　　　　　　　　　
考点1　三角函数的概念
1.(2020全国Ⅱ,2)若α为第四象限角,则(　　)
A.cos 2α>0　　　　　　　　B.cos 2α<0
C.sin 2α>0　　　　　　　　D.sin 2α<0
考点2　同角三角函数的基本关系与诱导公式
2.(2021新高考Ⅰ,6)若tan θ=-2,则=(　　)
A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.
3.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是
“sin α=sin β”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
考点3　三角函数的图象及应用
4.(2020全国Ⅰ,7)设函数f(x)=cos在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
5.(多选)(2020新高考Ⅰ,10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)
A.sin　　　　　　　　B.sin
C.cos　　　　　　　　D.cos
6.(2018浙江,5)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是(　　)
7.(2021全国甲理,16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f >0的最小正整数x为　　　　.
考点4　三角函数的性质
8.(2021新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C.　　　　　　　　D.
9.(2020天津,8)已知函数f(x)=sin.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②f 是f(x)的最大值;
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是(　　)
A.①　　　　　　　　 B.①③
C.②③　　　　　　　　D.①②③
10.(2019课标全国Ⅱ,9)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是(　　)
A. f(x)=|cos 2x|　　　　　　　　B. f(x)=|sin 2x|
C. f(x)=cos|x|　　　　　　　　 D. f(x)=sin|x|
11.(2018江苏,7)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是　　　　.
12.(2020全国Ⅲ,16)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:
①f(x)的图象关于y轴对称.
②f(x)的图象关于原点对称.
③f(x)的图象关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是　　　　.
考点5　三角函数图象的变换及应用
13.(2021全国乙理,7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　)
A.sin　　　　　　　　 B.sin
C.sin　　　　　　　　D.sin
14.(2018天津,6)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
15.(2019天津,7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则
f =(　　)
A.-2　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.2
16.(2020江苏,10)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.
应用实践　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020浙江杭州高级中学期末)已知θ∈,则=(　　)
A.±(sin θ-cos θ)　　　　　　　　B.cos θ-sin θ
C.sin θ-cos θ　　　　　　　　　D.sin θ+cos θ
2.(2021江苏南通海门第一中学期末)已知sin=,则sin+sin2=(　　)
A.1　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
3.如图,把八个等圆按相邻两圆均外切的位置摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2,则=(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1
4.(多选)(2022广东名校联盟期末)已知=3,-<α<,则(　　)
A.tan α=2
B.sin α-cos α=-
C.sin4α-cos4α=
D.=
5.设函数f(x)=(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是(　　)
A.7　　　　　B.8　　　　　C.9　　　　　D.10
6.(2021江苏淮安金湖中学期末)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)=2cos
B.不等式f(x)>1的解集为,k∈Z
C.函数f(x)的一个单调递减区间为
D.若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x),则g(x)是奇函数
7.(2022河北保定期末)已知函数f(x)=,则(　　)
A. f(x)的最小正周期为2π
B.0C. f(x)的图象关于点对称
D. f 8.(2022山东临沂期中)已知f(x)=2sin2x+,若 x1,x2,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),记x1+x2+x3的最大值为M,最小值为N,则M-N=　　　　.
9.(2021江苏南京大厂高级中学月考)将函数f(x)=cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上是单调递减函数,则实数ω的最大值为　　　　.
10.(2022四川成都期末)若存在a,b∈R使得函数f(x)和g(x)满足g(x)=f(x+a)+b,则称函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.
(1)探究:若f(x)=sin x-cos x,g(x)=sin x+cos x+1,是否存在a∈(0,π),b∈R使得函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.若存在,求出a,b的值并证明;若不存在,请说明理由;
(2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)·[g(x)-1]-m[f(x)+g(x)],若对任意的x∈,不等式h(x)≥2m-恒成立,求实数m的取值范围.
11.(2020福建师大附中期末)定义在R上的函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0≤φ≤,若已知其在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值,且当x=π时,函数取得最大值3;当x=6π时,函数取得最小值-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得到函数g(x)的图象,再将函数g(x)的图象向左平移φ0(φ0>0)个单位长度,得到函数h(x)的图象,已知函数y=eg(x)+lg h(x)的最大值为e,求满足条件的φ0的最小值;
(3)是否存在实数m,满足不等式Asin(ω+φ)>Asin(ω+φ) 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
五年高考练
1.D 2.C 3.C 4.C 5.BC 6.D 8.A 9.B
10.A 13.B 14.A 15.C
1.D　∵α是第四象限角,∴-+2kπ<α<2kπ,k∈Z,∴-π+4kπ<2α<4kπ,k∈Z,∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上,∴sin 2α<0,cos 2α可正、可负、可为零.故选D.
2.C　解法一:因为tan θ=-2,所以=sin θ(sin θ+cos θ)
=.故选C.
解法二:因为tan θ=.故选C.
3.C　(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sin α=sin(2nπ+β)=sin β.由(i)(ii)知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.
4.C　解法一:设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可得T<π-(k∈Z),所以-(k∈Z),所以|ω|=|3k-1|(k∈Z),又因为.故选C.
解法二(五点法):由函数f(x)的图象知,ω×,故选C.
5.BC　由题图可知,=0,
又∵+φ=π+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=-2x,故选BC.
6.D　令y=f(x)=2|x|sin 2x,则f(-x)=2|-x|·sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x),又函数的定义域为R,所以f(x)为奇函数①;当x∈(0,π)时,2|x|>0,sin 2x可正可负,所以f(x)可正可负②.由①②可知,选D.
7.答案　2
解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则,解得T=π,
则+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f=1,
f=0,
∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos,①
由f(x)<0,得cos<0,②
由①得-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,;
由②得+2kπ,k∈Z,
解得+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,.
综上,最小正整数x为2.
8.A　f(x)=7sin,
令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤.故选A.
9.B　函数f(x)=sin的图象,③正确.综上,①③正确,②错误.故选B.
10.A　对于选项A,作出f(x)=|cos 2x|的部分图象,如图1所示,则f(x)在,故A正确.
图1
对于选项B,作出f(x)=|sin 2x|的部分图象,如图2所示,则f(x)在,故B不正确.
图2
对于选项C,∵f(x)=cos|x|=cos x,∴最小正周期T=2π,故C不正确.
对于选项D,作出f(x)=sin|x|的部分图象,如图3所示.显然f(x)不是周期函数,故D不正确.
故选A.
图3
11.答案　-
解析　由题意可得sin+kπ(k∈Z),解得φ=-+kπ(k∈Z),因为-,此时k=0.
12.答案　②③
解析　要使函数f(x)=sin x+有意义,则有sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z,∴定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=sin(-x)+=-f(x),∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,
∴①是假命题,②是真命题.
对于③,要证f(x)的图象关于直线x=.
∵f ,
f ,
∴f ,∴③是真命题.
令sin x=t,-1≤t≤1且t≠0,
∴g(t)=t+,-1≤t≤1且t≠0,此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分),
∴函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),
∴函数的最小值不为2,即f(x)的最小值不为2.
∴④是假命题.
综上所述,所有真命题的序号是②③.
13.B　将函数y=sin,故选B.
14.A　将y=sin≤2x≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),此时y=sin 2x单调递增,令k=1,则x∈上单调递增,故选A.
15.C　∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)为奇函数,∴φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π,
∴φ=0,∴f(x)=Asin ωx,则g(x)=Asin=1,∴ω=2.
又g,∴A=2,
∴f(x)=2sin 2x,
∴f,故选C.
16.答案　x=-π
解析　将函数y=3sin+kπ,k∈Z,得x=π,k∈Z,当k=-1时,对称轴方程为x=-π.
三年模拟练
1.C 2.C 3.B 4.ACD 5.A 6.C 7.D
1.C　
=
=
==|sin θ-cos θ|,
又≤θ≤π,
∴sin θ>cos θ,
即sin θ-cos θ>0.
∴原式=sin θ-cos θ,故选C.
2.C　由已知得cos,
则sin2=1-,
sin,
所以sin.故选C.
3.B　设八个等圆的半径都为r(r>0).
易知正八边形的内角和α1=(8-2)×180°=6×180°=6π,
正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和α2=360°×8-6×180°=2 880°-1 080°=1 800°=10π,
∴.
4.ACD　因为=3,解得tan α=2,故A正确;
因为-,故B错误;
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=,故C正确;
=,
故D正确. 故选ACD.
5.A　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图象知,f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上的解的个数为7,故选A.
易错警示
作图时要注意当06.C　由题图易得A=2,f(x)的最小正周期T=4×+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以A错误.
令f(x)>1,得cos,k∈Z,解得4kπ-1的解集为,k∈Z,所以B错误.
令2kπ≤≤2kπ+π,k∈Z,得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z,取k=0,得≤x≤,所以C正确.
将函数f(x)的图象向右平移x的图象,易得g(x)是偶函数,所以D错误.
故选C.
7.D　因为f(x+π)==f(x),所以f(x)的最小正周期不是2π,故A错误;
当0若f(x)的图象关于点=-f(-x),
又f,
-f(-x)=-,
所以f≠-f(-x),故C错误;
由于函数y=|sin x|的图象是将函数y=sin x在x轴下方的图象翻折到x轴上方,在x轴上方的图象保持不变而得到的,所以可知y=|sin x|在,k∈Z上单调递增,
令kπ所以f(x)在上单调递增,
又-,
所以f8.答案　
解析　作出函数f(x)=2sin+kπ(k∈Z),则函数图象的对称轴方程为x=(k∈Z),则函数f(x)=2sin对称.设x1此时f(x1)=f(x2)=f(x3)=,x3=π,
故N=0+;
当x3=.
9.答案　
解析　将函数f(x)=cos ωx(ω>0)的图象向左平移的图象,当x∈∈上是单调递减函数,
∴
∴0<ω≤.
10.解析　(1)存在,当a=,b=1时,函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数,证明如下:
当a=+1=cos x+sin x+1=g(x),
故当a=,b=1时,函数g(x)为f(x)的(a,b)型“同形”函数.
(2)h(x)=f(x)·[g(x)-1]-m[f(x)+g(x)]
=(sin x-cos x)(sin x+cos x)-2msin x-m
=(sin2x-cos2x)-2msin x-m
=sin2x-2msin x--m,
不等式h(x)≥2m-在x∈上恒成立,
即sin2x-2msin x--m≥2m-在x∈上恒成立,
即sin2x-2msin x-3m≥0在x∈上恒成立,
令sin x=t,则t∈,
所以t2-2mt-3m≥0在t∈上恒成立,
令F(t)=t2-2mt-3m,t∈,
当m≤上单调递增,
所以F(t)min=F-4m≥0,解得m≤;
当m≥1时,F(t)在上单调递减,
所以F(t)min=F(1)=1-5m≥0,解得m≤(舍去);
当m∈上单调递减,在[m,1]上单调递增,
所以F(t)min=F(m)=-m2-3m≥0,
解得-3≤m≤0(舍去).
综上,实数m的取值范围为.
11.解析　(1)由题意可得,A=3,最小正周期T=.
易知f(π)=3sin=3,
∴,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z,
又0≤φ≤,
∴f(x)=3sin.
(2)由题意得g(x)=sin.
易知函数y=ex与函数y=lg x均为增函数,且-1≤g(x)≤1,0∴当且仅当g(x)=sinφ0=1时,函数y=eg(x)+lg h(x)有最大值e.
由g(x)=sin=1,
得+2kπ,k∈Z.
又h(x)=sin=1,
∴cos=1,
∴φ0=10kπ,k∈Z,
又φ0>0,∴φ0的最小值为10π.
(3)易得解得-1≤m≤2.
∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4,
∴0≤≤2.
同理,0≤≤2.
∵ω=,
∴ω+φ∈,
ω+φ∈.
易知函数f(x)在[-4π,π]上单调递增,
要使Asin(ω+φ),
只需,又-1≤m≤2,∴∴存在m∈,满足不等式Asin(ω+φ).
1