专题强化练5 指数(型)函数与对数(型)函数的性质及应用
1.(2022安徽十校联盟联考)已知a=log52,b=,c=0.70.3,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
C.b2.已知函数f(x)=loga(x+2)+3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(m,n),且函数g(x)=mx2-2bx+n在[1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
3.(2022江苏白塔高级中学期中)设函数f(x)=若x1A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=log3,若f(a)+f(a-1)>0,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.(-2,2) D.(-1,2)
5.已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:当x>0时,f(x)>0,且对任意的x,y∈(-1,1),均有f(x+y)[1-f(x)f(y)]=f(x)+f(y).若f(ln x)A. B.
C.(,e) D.∪(,e)
6.(2022江苏句容高级中学月考)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象过点(,a),且函数y=-fx+-3在区间(2,+∞)上是增函数,则正数m的取值范围是 .
7.已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=ln为奇函数,g(x)=-2x+1.
(1)求实数a的值;
(2)若存在x1,x2∈(0,+∞),使得f(2x)在区间[x1,x2]上的值域为.求实数t的取值范围.
答案全解全析
1.A 2.B 3.D 4.B 5.B
1.A ∵log51∵b==log0.70.1,log0.70.1>log0.70.7=1,∴b>1.
∵0.71<0.70.3<0.70=1,∴0.72.B 令x+2=1,得x=-1,则f(x)=3,故函数f(x)=loga(x+2)+3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-1,3),∴m=-1,n=3.故函数g(x)=mx2-2bx+n=-x2-2bx+3.∵g(x)在[1,+∞)上单调递减,∴-≤1,解得b≥-1.故选B.
3.D 作出函数f(x)的图象如图所示:
由图象知,x1<0,01.
∵f(x1)=f(x2)=f(x3),
∴=1-x2=x3-1,即f(x1)=1-x2,
∴x2 f(x1)=x2(1-x2)=-+x2=-,
∴04.B 由题可知>0,解得-2又f(x)+f(-x)=log3=log31=0,
所以f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,
又f(x)=log3在(-2,2)上为减函数,所以f(x)为减函数,
f(a)+f(a-1)>0,即f(a)>-f(a-1)=f(1-a),
所以所以a∈.故选B.
5.B 令x=·+f(0),
整理得-f(0)=f(0).
若f(0)≠0,则-=1,与-≤0矛盾,所以f(0)=0.
令y=-x,则f(0)[1-f(x)f(-x)]=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为(-1,1)上的奇函数.
设x1,x2为区间(0,1)上的任意两个值,且x1f(x2-x1)[1-f(x2)f(-x1)]=f(x2)+f(-x1),
即f(x2-x1)[1+f(x2)f(x1)]=f(x2)-f(x1).
易得00.
因为f(x2)>0,f(x1)>0,所以1+f(x2)f(x1)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)为(-1,1)上的增函数.由f(ln x)解题模板
抽象函数奇偶性的探究,需采用赋值法求f(0)的值,这样才能找出f(x)与f(-x)的联系;抽象函数单调性的探究,需根据定义证明.
6.答案 [2,4]
解析 由题意可得函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),将(,∴f(x)=lo=-lo,
令t=lo在区间(2,+∞)上是增函数,∴函数t在区间(2,+∞)上是减函数,
令g(x)=x+-3在区间(2,+∞)上是增函数,
又g(x)=x+,+∞)上是增函数,
∴解得2≤m≤4.
7.答案 (3,+∞)
解析 作出函数f(x)的图象如图所示,
因为f(a)=f(b),所以结合图象可得0设g(a)=a+(0因为g(a)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=3,即a+>3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).
8.解析 (1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,
∴ln=0在定义域内恒成立,
即=1在定义域内恒成立,
整理,得(2-a)2-a2x2=1-x2在定义域内恒成立,
∴解得a=1.
当a=1时,f(x)=ln,则函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),且关于原点对称,∴a=1.
(2)由(1)知,f(x)=ln是定义域在(0,+∞)上的减函数,
所以在闭区间[x1,x2]上的值域为[f(),f()],
则
整理,得
这表明方程2t(2x)2+(t-2)·2x+2-t=0在(0,+∞)内有两不等实根x1,x2.
令2x=u,当x>0时,u>1,以上结论等价于关于u的方程2tu2+(t-2)·u+2-t=0在(1,+∞)内有两个不等实根.
设函数h(u)=2t·u2+(t-2)·u+2-t,
其图象的对称轴为直线u=.
可得
或
化简得
即0所以实数t的取值范围是.
1专题强化练6 诱导公式及其应用
1.(2022江苏淮阴中学阶段测试)已知cos-α=2cos(π+α),则=( )
A.- B. C.-2 D.2
2.(2022江苏如东期中)已知角θ的终边过点A(4,a),且sin(θ-π)=,则
tan θ=( )
A.- B. C.- D.
3.(2021江苏淮安清浦中学月考)已知函数f(x)=则f(f(2 021))=( )
A.- B.- C. D.
4.(多选)(2021江苏无锡锡山高级中学期末)下列说法中正确的是( )
A.若α=3,则sin α>cos α
B.cos-cos=0
C.若sin(kπ+α)=(k∈Z),则sin α=
D.若sin α=sin β,则α=β+2kπ(k∈Z)
5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若a=f,b=f,c=f,则( )
A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a
6.已知函数f(x)=α∈[0,2π)是奇函数,则α= .
7.(2021安徽合肥第十中学期末)在①tan(π+α)=2,②sin(π-α)-sin=cos(-α),③2sin+α=cos这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决该问题.
已知 .
(1)求的值;
(2)当α为第三象限角时,求sin(-α)-cos(π+α)-cossin的值.
8.(2021江苏南通期末)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若锐角α满足f(α)=,求sin2α+sin αcos α-cos2α+的值.
专题强化练6 诱导公式及其应用
1.D 2.C 3.B 4.AB 5.B
1.D 因为cos=2.故选D.
2.C 因为sin(θ-π)=-sin θ=,
由角θ的终边过点A(4,a)可得<0,
所以a=-3,所以tan θ=.故选C.
B 易得f(2 021)=sin
=.故选B.
4.AB 因为<α=3<π,所以α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α>cos α,故A正确;
cos=-sin α+sin α=0,故B正确;
当k为奇数时,sin(kπ+α)=sin(π+α)=-sin α=,故C不正确;
当sin α=sin β时,α,β的终边可能相同,也可能关于y轴对称,所以α=β+2kπ(k∈Z)不一定成立,故D不正确.故选AB.
5.B sin,
则a=f,
cos,
则b=f.
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以a=f,
b=f.
因为,
所以c>a>b.故选B.
6.答案
解析 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=(-x)2+sin,
∴-x2+cos(x+α)=-x2-sin,
∴cos(x+α)=sin,
∴x-+2kπ,k∈Z,∴α=--2kπ,k∈Z.∵α∈[0,2π),∴α=.
7.解析 若选①,则tan α=2.
若选②,则sin α-cos α=cos α,即sin α=2cos α,
则tan α=2.
若选③,则2cos α=sin α,即tan α=2.
(1),
将tan α=2代入得,原式==8.
(2)当α为第三象限角时,cos α=-,
则sin(-α)-cos(π+α)-cos+α·sin.
8.解析 (1)f(α)===sin α.
(2)因为f(α)=sin α=,且α是锐角,
所以cos α=.
所以sin2α+==.
1专题强化练7 三角函数图象与性质的应用
1.(2022四川成都期末)函数f(x)=tanx+的单调递增区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
2.(2021江苏海安曲塘中学期中)函数f(x)=的图象大致是( )
A B C D
3.(2022湖北武汉第十五中学期末)设函数f(x)=2sin(ω>0),若对于任意的实数x,f(x)≤f恒成立,则ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
4.(2020辽宁营口二中期末)函数y=locos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
5.(多选)给出下面四个结论,其中正确的是( )
A.函数f(x)=tan是奇函数,且f(x)的最小正周期为2
B.函数f(x)=-2sin(2x+φ),x∈R的最大值为2,当且仅当φ=+kπ,k∈Z时,f(x)为偶函数
C.函数f(x)=tan(-x)的单调递增区间是,k∈Z
D.函数f(x)=sin,x∈[-2π,2π]的单调递减区间是
6.(2022江苏淮安期末)已知函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数,则f(2)= .
7.(2021黑龙江双鸭山一中第二次月考)函数f(x)=sin x+cos2x,x∈,则f(x)的最大值为 ,最小值为 .
8.(2022安徽六安一中期末)设函数f(x)(x∈R)是以4为周期的周期函数,且x∈[-2,2)时,f(x)=则f(f(2 021))= .
9.方程sin x=在x∈上有两个实数解,则实数a的取值范围是 .
10.(2022湖北武汉第十五中学期末)已知函数f(x)=2sin(ω>0)图象的对称轴与和此对称轴相邻的对称中心之间的距离为.
(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈时,求f(x)的值域.
11.已知函数f(x)=3sin是奇函数.
(1)求函数f(x)的最大值与最小值,并写出取得最大值、最小值时自变量的取值集合;
(2)求函数g(x)=f,x∈的单调递增区间.
12.(2020天津一中期末)已知函数f(x)=m-是定义在R上的奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)如果对任意x∈R,不等式f(2a+cos2x)+f(4sin x--7)<0恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
1.C 2.A 3.C 4.B 5.ABD
1.C 令-,k∈Z,解得-,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,故选C.
2.A 易得f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.又f(-x)==-f(x),故f(x)为奇函数,排除C,D;当x∈时,f(x)>0,故排除B.故选A.
3.C 由题意知f,k∈Z,即ω=3k+,k∈Z,
又ω>0,所以令k=0,可得ω的最小值为.故选C.
4.B 函数y=lo可化为y=lo(-sin 2x),
由-sin 2x>0得sin 2x<0,
即2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,
故此函数的定义域为xkπ-设t=-sin 2x,则y=lot为减函数,
要求y=lo的单调递增区间,
即求t=-sin 2x的单调递减区间,
即求y=sin 2x的单调递增区间,
由2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
结合原函数的定义域可得y=lo(k∈Z),故选B.
易错警示
解决与三角函数有关的复合函数的单调性问题,应先求函数的定义域,再求单调区间,解题时防止因漏求函数的定义域导致错误.
5.ABD 易得函数f(x)=tan=2,所以A正确;
函数f(x)=-2sin(2x+φ),x∈R的最大值为2,当φ=+kπ,k∈Z时,f(x)=-2cos(2x+kπ)=±2cos 2x,k∈Z,为偶函数,所以B正确;函数f(x)=tan(-x)=-tan x,没有单调递增区间,所以C不正确;函数f(x)=sin,x∈[-2π,2π],令-+2kπ≤≤+2kπ,k∈Z,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,当k=0时,函数的单调递减区间是,所以D正确.
故选ABD.
6.答案 0
解析 ∵函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数,
∴φ==-sin πx,
∴f(2)=-sin 2π=0.
7.答案
解析 函数f(x)=sin x+cos2x=sin x+1-sin2x=-,
当x∈时,sin x∈,
所以当sin x=;
当sin x=-.
8.答案
解析 由题意得f(2 021)=f(4×505+1)=f(1)=-tan.
9.答案 (-1,1-]
解析 在平面直角坐标系中作出y=sin x,x∈的大致图象,如图所示.
由图可知,当≤<1,即-110.解析 (1)由题意知f(x)的最小正周期T=π,所以ω=.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).而x∈[0,π],所以函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间是.
(2)当x∈∈,
令t=2x+,且t∈,则sin t∈,
所以f(x)∈[-1,2],
即f(x)的值域为[-1,2].
11.解析 (1)由题意得f(0)=0,即3sin0-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,而0<φ<,故f(x)=3sin 2x.
当2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值3,
当2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-3,
所以f(x)取最大值3时,自变量x的取值集合是,
f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是.
(2)由(1)得g(x)=f,x∈,
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又x∈,
故函数g(x)=f,x∈.
12.解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即m-=0,即2m-2=0,故m=1.
(2)由(1)得f(x)=1-.
任取x1,x2∈R,且x1因为x1所以函数f(x)在R上是增函数.
因为f(2a+cos2x)+f(4sin x--7)<0,且f(x)是奇函数,
所以f(2a+cos2x)<-f(4sin x--4sin x+7),
所以2a+cos2x<-4sin x+7,
所以2a-<-cos2x-4sin x+7对任意x∈R都成立.
由于y=-cos2x-4sin x+7=(sin x-2)2+2,其中-1≤sin x≤1,所以(sin x-2)2+2≥3,
所以y=-cos2x-4sin x+7的最小值为3.
所以2a-<3,
即2a-1--2<0,
解得0≤<2,
所以≤a<.
故实数a的取值范围是.
1专题强化练8 三角函数图象的变换及应用
1.(2021江苏江安高级中学月考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin 2x的图象,只要将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.(2021江苏南京大厂高级中学期中)将函数f(x)=3sin(-x)-2图象上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间上的最大值为1,则θ的最小值为( )
A. B. C. D.
3.(2021江苏南京雨花台中学期末)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4.(多选)(2021江苏盱眙中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4,其图象的一个最高点为A,则下列结论正确的是( )
A.ω=π
B.φ=
C.将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到h(x)的图象,再将h(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2sin的图象
D.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
5.(多选)(2021广东中山期末)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数解析式为f(x)=2sin
B.把y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的函数在[-π,π]上是增函数
C.若把函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,则所得图象对应的函数是奇函数
D.函数y=f(x)的图象关于直线x=-4π对称
6.(多选)(2020山东师范大学附属中学段考)已知函数f(x)=2sin,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点对称
B.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得函数g(x)=2cos的图象
C.函数f(x)的图象与函数h(x)=2sinx-的图象关于x轴对称
D.若实数m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1,x2,x3,则一定有x1+x2+x3=
7.(2020黑龙江哈尔滨第六中学校期末)已知函数f(x)=cos(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移φ0<φ<个单位长度得y=g(x)的图象,且g(x)的图象关于原点对称,则φ的值为 .
8.(2020湖北荆门期末)对于下列结论:
①若θ为第二象限角,则tan>cos,且sin>cos;
②函数f(x)=sin|x|是最小正周期为2π的周期函数;
③将函数y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin 2x的图象;
④函数y=cos2x+sin x的最小值为-1.
其中结论正确的序号有 .
9.(2021江苏南京通州高级中学期末)已知f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
10.(2020江苏泗阳中学月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+b图象的相邻两条对称轴间的距离为,将f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,已知g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.A 2.D 3.C 4.BC 5.ACD 6.BCD
1.A 由题图可得A=1,f(x)的最小正周期T=4×=π,解得ω=2,
因为f=-1,
即2×(k∈Z),
解得φ=2kπ-(k∈Z),
因为|φ|<,
故f(x)=sin,
将f(x)=sin=sin 2x的图象.故选A.
2.D 将f(x)图象上每一点的横坐标变为原来的-2的图象,
∵x∈∈,
∵g(x)在区间≥,即θ≥.故选D.
3.C 由题中图象可得A=1,最小正周期T==π,所以ω=2,
由f(k∈Z),则φ=2kπ+(k∈Z),又|φ|<.
将y=f(x)的图象向右平移的图象,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以g(x)的增区间为kπ-(k∈Z).故选C.
4.BC 由已知得,A错误;
易知A=2,将,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=,B正确;
f(x)=2sin,
将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,C正确;
在y=f(x)中,令x=1,则≠kπ+,k∈Z,D错误.故选BC.
5.ACD 设f(x)的最小正周期为T,
由题图可得,
∴T=6π,∴ω=,
∵f(2π)=2,∴f(2π)=2sin=2,
即sin(k∈Z),
∴φ=2kπ-(k∈Z),
∵|φ|<π,∴φ=-,
∴f(x)=2sin,故选项A正确;
把y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的的图象,
∵x∈[-π,π],∴-≤≤,
∴y=2sin上是增函数,故选项B错误;
把y=f(x)的图象向左平移,是奇函数,故选项C正确;
令,k∈Z,则x=3kπ+2π,k∈Z,当k=-2时,x=-4π,∴函数y=f(x)的图象关于直线x=-4π对称,故选项D正确.故选ACD.
6.BCD 令x+=kπ,k∈Z,可得x=kπ-,k∈Z,令kπ-,k∈Z,则k= Z,所以函数f(x)的图象不关于点对称,故A错误;
将f(x)的图象向左平移的图象,故B正确;
与函数f(x)的图象关于x轴对称的函数为y=-2sin=h(x),故C正确;
函数f(x)在[0,2π]上的图象如图所示.
若实数m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1,x2,x3,设x1则结合图象可知,x1=0,x2+x3=,
所以x1+x2+x3=,故D正确.故选BCD.
7.答案
解析 ∵函数f(x)=cos(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,
∴ω=(x∈R),
将y=f(x)的图象向左平移φ的图象,
∵g(x)的图象关于原点对称,
∴2φ+,k∈Z,即φ=,k∈Z,
又∵0<φ<.
8.答案 ④
解析 对于①,取θ=,
所以tan,故①错误;
对于②, f,
f,
则f≠f,故函数f(x)=sin|x|不是周期为2π的周期函数,故②错误;
对于③,将函数y=sin的图象,故③错误;
对于④,函数y=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1=-,
∵-1≤sin x≤1,∴当sin x=-1时,该函数取得最小值,ymin=-1,故④正确.故答案为④.
9.解析 (1)设f(x)的最小正周期为T.
由题图知A=2,=3,
所以f(x)=2sin(3x+φ),
因为是函数f(x)图象上的一个最低点,
所以3×+2kπ(k∈Z),
解得φ=+2kπ(k∈Z),又0<φ<,
所以f(x)=2sin.
(2)因为-≤x≤≤3x+≤≤sin≤1,所以-1≤2sin≤2,
所以函数f(x)的值域为[-1,2].
10.解析 (1)由题意知f(x)的最小正周期T=π=,解得ω=2,故f(x)=sin(2x+φ)+b,
而g(x)=sin+b-1,
因为g(x)为奇函数,所以b-1=0,且2×0++φ=kπ(k∈Z),则b=1,φ=kπ-(k∈Z),又-+1.
(2)由(1)得g(x)=sin 2x,
令t=sin 2x,x∈,则t∈[0,1],由关于x的方程3[g(x)]2+m·g(x)+2=0在区间上有两个不等实根,得方程3t2+mt+2=0在t∈[0,1)内仅有一个根,且另一个根不等于1.
解法一:令h(t)=3t2+mt+2,则,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}.
解法二:显然0不是该方程的根,则-mt=3t2+2,即-m=3t+的图象在t∈(0,1)内有且仅有一个交点且另一个交点不为(1,5),
易得函数y=3t+上单调递增,
故-m>5或-m=2,解得m<-5或m=-2,故实数m的取值范围为(-∞,-5)∪{-2}.
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