苏教版（2019）高中数学必修一8.2.2　函数的实际应用同步练习（Word含答案）

8.2.2　函数的实际应用
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　一次函数、二次函数与反比例函数模型
1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为(　　)
A.P=96V　　　　　　　　B.P=
C.P=　　　　　　　　 D.P=
2.(2021陕西西安中学二模)某建材商场国庆期间进行促销活动,规定:若顾客购物总金额不超过800元,则不享受任何折扣;若顾客购物总金额超过800元,则超过800元的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为(　　)
A.1 500元　　　B.1 550元 C.1 750元　　　　D.1 800元
3.(2021江苏苏州中学月考)已知某船舶每小时航行所需费用u(单位:元)与航行速度v(单位:千米/时)的函数关系为u(v)=(其中a,b,k为常数),函数u(v)的部分图象如图所示.
(1)求u(v)的解析式;
(2)若该船舶需匀速航行20千米,问船舶的航行速度为多少时,航行所需费用最少
题组二　指数函数和对数函数模型
4.(2021江苏淮安期中)“喊泉”是一种地下水的毛细现象,人们在泉口吼叫或发出其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生“共鸣”等物理声学作用,激起水波,形成涌泉.声音越大,涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声调m0(m0约为10-12,单位:W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级,记作L(贝尔),即L=lg,取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y=2x,现知A同学大喊一声激起的涌泉最高高度为50米,若A同学大喊一声的最大声强大约相当于10个B同学同时大喊一声的最大声强,则B同学大喊一声激起的涌泉最高高度约为(　　)
A.5米　　　　　B.10米　　　　　C.45米　　　　　D.48米
5.(2020北京东城期末)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;②第8个月浮草的面积超过60平方米;③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2>t1+t3.其中正确命题的序号为　　　　.
(2021浙江杭州二中期中)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,其注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时,听课效果
最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完 请说明理由.
题组三　函数模型的拟合
7.茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y(℃)随时间x(min)变化规律的是(　　)
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=mx+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)
8.(2022江苏泰州期中)对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内(以30天计)的销售情况进行调查发现:该款装备的日销售单价P(x)(单位:元/套)与时间x(被调查的一个月内的第x天)的函数关系近似满足P(x)=2 000+(常数k>0).该款装备的日销售量Q(x)(单位:套)与时间x的部分数据如下表所示:
x 3 8 15 24
Q(x) 12 13 14 15
已知第24天该商品的日销售收入为32 400元.
(1)求k的值;
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=tax+b;②Q(x)=p(x-16)2+q;③Q(x)=m+n.请你依据表中的数据,从这三种函数模型中选择你认为比较合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,说明你选择的理由;
(3)根据你选择的模型,预估该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(单位:元)在哪一天达到最低.
9.(2020江苏苏州陆慕高级中学期中)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:
x/天 10 20 25 30
Q(x)/个 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:
①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx(b>0,b≠1),④Q(x)=a·logbx(b>0,b≠1).
请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.D 2.A 4.C 7.C
1.D　设P=(k≠0),把A(1.5,64)代入,得64=.故选D.
2.A　设顾客在商场购物总金额为x元时,可以获得的折扣金额为y元.
则y=
因为50>0.05×(1 300-800),所以此人购物总金额大于1 300元.
令0.1×(x-1 300)+25=50,解得x=1 550,
故此人购物实际所付金额为1 550-50=1 500(元).故选A.
3.解析　(1)将(0,320),(10,650)代入u(v)=kv+b,
得
将(10,650)代入u(v)=450+av2,得650=450+a×102,解得a=2.
所以u(v)=
(2)设船舶的航行时间为t(单位:小时),所需费用为z(单位:元),
则t=
当0所以zmin>660+640=1 300;
当v≥10时,z=+40v≥2=1 200,当且仅当v=15时,等号成立.
综上,船舶的航行速度为15千米/时时,航行所需费用最少.
4.C　设B同学大喊一声的最大声强为m,喷出的泉水高度为x米,则A同学大喊一声的最大声强为10m,喷出的泉水高度为50米.
由题意得
所以0.2x=9,所以x=45.故选C.
5.答案　①②④
解析　由题图知,函数y=at-1(a>0且a≠1)的图象经过点(2,2),
所以2=a2-1 ,解得a=2,y=2t-1.
①当t=0时,y=,故①正确.
②当t=8时,y=28-1=27=128>60,故②正确.
③当t=1时,y=1,增加0.5;当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故③错误.
④令=10,解得t1=log210+1,
同理,t2=log220+1,t3=log230+1,
所以2t2=2log220+2=log2400+2>log2300+2=t1+t3,故④正确.
6.信息提取　①注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间满足函数关系;②当t∈(0,14]时,曲线是开口向下,最高点为(12,82),且过(14,81)的二次函数图象的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)且过点(14,81)的图象的一部分;③注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.
数学建模　本题以学生上课注意力集中情况为情境,构建注意力指数p与听课时间t的函数模型,利用待定系数法求解函数模型,进而解决实际问题.
解析　(1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-,
∴当t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82;
当t∈(14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=,
∴当t∈(14,40]时,p=f(t)=lo(t-5)+83.
综上,p=f(t)=
(2)当t∈(0,14]时,令-(t-12)2+82≥80,得12-2≤t≤14;
当t∈(14,40]时,令lo(t-5)+83≥80,
得14综上,当t∈[12-2,32]时,学生听课效果最佳.
∵32-(12-2>22,
∴老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
7.C　A中,函数的图象是以y轴为对称轴,开口向上的抛物线,与题中散点图不符;B中,函数的图象是直线,与题中散点图不符;D中,当x>0时,函数图象无限接近y轴,与题中散点图不符.故选C.
8.解析　(1)由题意得15×=32 400,解得k=800.
(2)选模型③.理由如下:题表中Q(x)对应的数据递增的速度较慢,排除模型①.
因为Q(x)=p(x-16)2+q表示在x=16两侧“等距”的函数值相等(或函数图象关于直线x=16对称),而题表中的数据并未体现此规律(13≠15),排除模型②.
对于模型③,将(3,12),(8,13)代入Q(x)=m
此时Q(x)=+10,
经验证,(15,14),(24,15)均满足上式,故选模型③.
(3)f(x)=Q(x)·P(x)=(+10)·≥20 800+2=20 800+2×4 000=28 800,当且仅当x=3时等号成立,
故该商品的日销售收入f(x)在第3天达到最低.
9.解析　(1)由题意得P(10)·Q(10)=×110=121,解得k=1.
(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①,③,④中的函数均为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.
由题表可得Q(10)=110,Q(20)=120,
即
故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=
∴f(x)=P(x)·Q(x)
=
当1≤x<25时,y=x+在区间[1,10)上单调递减,在区间[10,25)上单调递增,
∴当x=10 时, f(x)取得最小值,且f(x)min=121;
当25≤x≤30时,y=-x是单调递减的,∴当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124.
综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121.
故该商品的日销售收入f(x)的最小值为121.
1