苏教版（2019）高中数学必修一第八章函数应用综合拔高练（Word含 答案）

第八章函数应用综合拔高练
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点1　函数的零点与方程的根
1.(2018课标全国Ⅰ,9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,0)　　　　　　　　 B.[0,+∞)
C.[-1,+∞)　　　　　　　　D.[1,+∞)
2.(2021天津,9)设a∈R,函数f(x)=若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点,则a的取值范围是(　　)
A.∪　　　　　　　　B.∪
C.∪　　　　　　　　D.∪
3.(2018浙江,15)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　　　　　.
4.(2021北京,15)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
(1)若k=0,则f(x)有两个零点;
(2) k<0,使得f(x)有一个零点;
(3) k<0,使得f(x)有三个零点;
(4) k>0,使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是　　　　.
考点2　函数在实际问题中的应用
5.(2020新高考Ⅰ,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)
A.1.2天　　　　　B.1.8天　　　　　C.2.5天　　　　　D.3.5天
6.(2019课标全国Ⅱ,4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:+=(R+r).设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为(　　)
A.R　　　　　　　　B.R
C.R　　　　　　　　D.R
7.(2018上海,19)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.
　　　　　　　　　　　　　　　
应用实践
1.(2022江苏怀仁中学期中)生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(其中a为常数),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%,则可推断该文物属于(　　)
参考数据:log20.75≈-0.4
参考时间轴:
A.宋朝　　　　　　　　B.唐朝
C.汉朝　　　　　　　　D.战国
2.(2020湖北荆门期末)已知函数f(x)=关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+a-1=0(a∈R)有8个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　B.(2,3)
C.　　　　　　　　 D.
3.(多选)(2021江苏盐城阜宁期末)下列说法正确的是(　　)
A.已知方程ex=8-x的解在(k,k+1)(k∈Z)内,则k=1
B.函数f(x)=x2-2x-3的零点是(-1,0),(3,0)
C.函数y=3x,y=log3x的图象关于直线y=x对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内的近似解的过程中,得到f(1)<0,f(1.5)>0, f(1.25)<0,则方程的根落在区间(1.25,1.5)内
4.(多选)(2022河北唐山期末)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+4)=f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=|4x-1|,则以下结论正确的是(　　)
A.f(2 022)=0
B.G(x)=f(x)-在[-2,4]内零点之和为6
C.f(x)在区间[4,5]内单调递减
D.f(x)在[2,6]内的值域为[0,3]
5.(多选)(2022湖南衡阳期中)已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=x-3, x∈R,f(x)与g(x)中的最大值记为m(x)=max{f(x),g(x)},则(　　)
A.函数f(x)的零点为(-1,0),(3,0)
B.函数m(x)的最小值为-3
C.方程|m(x)|=3有3个解
D.方程f(f(x))=m最多有4个解
6.(2022江苏震泽中学期中)设函数f(x)=若方程f(x)=m有四个不相等的实根x1,x2,x3,x4,且x17.(2020江苏江阴长泾中学月考)已知二次函数y=f(x)的图象经过原点,对称轴为直线x=1,方程f(x)+1=0有两个相等实根.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈,2f(log2x)+m≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若函数g(x)=与h(x)=a·3x-a-2的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
8.(2021江苏苏州实验中学月考)环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试,得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的下列数据:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=
1 000+a,M(v)=300logav+b(a>0,a≠1,b∈R).
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,若已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少
答案全解全析
1.C 2.A 5.B 6.D
1.C　g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=与h(x)=-x-a的图象存在2个交点,如图,
当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故选C.
2.A　∵f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点,二次函数最多有两个零点,
∴当xf(x)=cos(2πx-2πa)=cos(2π(x-a)),
令f(x)=0,即2π(x-a)=+kπ,k∈Z,
∴x=+a,k∈Z,
又∵x∈(0,+∞),∴0<+a即-2a-,
①当x-6≤-2a--7≤-2a-②当x≥a时,f(x)=x2-2(a+1)x+a2+
∴Δ=b2-4ac=4(a+1)2-4(a2+5)=8a-16=0,
解得a=2,
当a<2时,Δ<0,f(x)无零点,
当a=2时,Δ=0,f(x)有1个零点,
当a>2时,f(a)=a2-2a(a+1)+a2+5=-2a+5,
∵f(x)图象的对称轴为x=a+1,即f(a)的图象在对称轴的左边,
∴当-2a+5≥0时,即2结合①②可得,若函数f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点,则需满足:
解得a∈∪.故选A.
3.答案　(1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析　当λ=2时,不等式f(x)<0等价于即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1,4).
易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4;②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.
综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
4.答案　(1)(2)(4)
解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故(1)正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有两个交点,当0当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有一个交点,如图d,故(2)正确,(3)不正确.
综上,正确结论的序号为(1)(2)(4).
图a
图b
图c
图d
5.B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈≈1.8.故选B.
6.D　将r=α·R代入方程可得=(1+α)M1,
∴,
∴≈3α3,∴α≈,∴r=R·α≈R.故选D.
7.解析　(1)由题意知,当3040,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,
故x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.
(2)当0当30故g(x)=
当0当32.5说明该地上班族S有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;
有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;
当有32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.
1.D 2.A 3.ACD 4.ABD 5.BCD
1.D　把t=5 730,P=代入P==,解得a=5 730,故P=,t>0,
当P=0.75时,=lo0.75=-log20.75≈0.4,解得t=2 292,
则2 021-2292=-271,
所以可推断该文物属于战国.故选D.
2.A　令t=f(x),由[f(x)]2-3f(x)+a-1=0,得t2-3t+a-1=0.设关于t的方程t2-3t+a-1=0的两根分别为t1,t2(t1因为关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+a-1=0(a∈R)有8个不相等的实数根,
所以1设g(t)=t2-3t+a-1,
则.
所以实数a的取值范围是.故选A.
3.ACD　对于选项A,令f(x)=ex+x-8,易知f(x)在R上是增函数,且其图象是连续不间断的,f(1)=e-7<0,f(2)=e2-6>0,所以方程ex=8-x的解在(1,2)内,所以k=1,故A正确;
对于选项B,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,故函数f(x)的零点为-1和3,故B错误;
对于选项C,函数y=3x与函数y=log3x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,故C
正确;
对于选项D,由于f(1.25)·f(1.5)<0,f(1)·f(1.25)>0,所以由函数零点存在定理可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故D正确.
故选ACD.
4.ABD　由题设知f(x)的周期为4,且图象关于直线x=1对称,∴f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=f(0)=0,故A正确;
画出f(x)的部分图象如图,
由图知,G(x)=f(x)-在[-2,4]内有6个零点,且6个零点关于直线x=1对称,故零点之和为6,故B正确;
由图象及对称性知,f(x)在[4,5]内单调递增,在[2,6]内的值域为[0,3],故C错误,D正确.故选ABD.
5.BCD　由f(x)=0,得x=-1或x=3,所以f(x)的零点为-1和3,故A不正确;
令f(x)=g(x),得x=0或x=3,画出f(x)与g(x)的图象,如图所示:
当x=0时,m(x)有最小值,为-3,故B正确;
画出y=|m(x)|的图象与直线y=3,如图所示,
由图象知,函数y=|m(x)|的图象与直线y=3有3个交点,
所以方程|m(x)|=3有3个解,故C正确;
令t=f(x),因为f(x)≥-4,所以由选项B中f(x)的图象可知,当m>-4时,f(t)=m最多有2个解,分别为t1,t2,且t1<1,t2>1,
当-46.答案　
解析　由题意,当2所以f(x)在(2,4)与(0,2)上的图象关于直线x=2对称,作出y=f(x)的图象与直线y=m,如图所示:
因为x1所以x1x2=1,
所以x1=,x3=4-x2,
所以(x1+x2)2++=+++++(4-x2)2++2=2+30,
又由x2∈(1,2),
令t=x2+∈,
则原式化为h(t)=2t2-8t+30,t∈,
因为其图象的对称轴为直线t=2,图象开口向上,
所以h(t)在上单调递增,
可得22所以(x1+x2)2++.
7.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵y=f(x)的图象经过原点,
∴f(0)=c=0.
∵f(x)图象的对称轴为直线x=1,
∴-=1①.
∵f(x)+1=ax2+bx+1=0有两个相等实根,
∴Δ=b2-4a=0②.
由①②可得a=1,b=-2.
∴f(x)=x2-2x.
(2)由题可得2[(log2x)2-2log2x]+m≥0对任意x∈恒成立.
令t=log2x,则t∈[-1,3],m≥-2t2+4t对任意t∈[-1,3]恒成立.
易知当t=1时,y=-2t2+4t取得最大值2,所以m≥2,
即实数m的取值范围为[2,+∞).
(3)∵g(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,
∴=a·3x-a-2只有一个实数根,即(a-1)·(3x)2-a·3x-1=0只有一个实数根.
令n=3x,则n>0,(a-1)n2-an-1=0只有一个正实数根.
若a=1,则n=-,不符合题意,舍去;
若a≠1,则方程的两个根异号或方程有两个相等正实数根,
∴
解得a>1或a=-3.
综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).
8.解析　(1)对于M(v)=300logav+b(a>0,a≠1,b∈R),
当v=0时,无意义,不符合题意;
对于M(v)=1 000+a,其为减函数,与M(40)故应选择M(v)=v3+bv2+cv.
由题表得
解得
所以当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设该汽车在国道上行驶所耗电量为f(v),则f(v)=v3-2v2+150v=5(v2-80v+6 000)=5(v-40)2+22 000.
因为0≤v<80,
所以当v=40时,f(v)min=22 000.
设该汽车在高速路上行驶所耗电量为g(v),则g(v)=-500,
易知g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=100×-500=7 625,
又22 000+7 625=29 625,
所以当这辆车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,从A地到B地的总耗电量最少,最少为29 625 Wh.
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