苏教版（2019）高中数学必修一第八章函数应用复习提升（Word含答案）

第八章函数应用复习提升
易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　　
易错点1　求零点时忽视函数的定义域致错
1.函数f(x)=2x+在定义域内的零点个数为(　　)
A.0　　　　　　　　B.1
C.2　　　　　　　　D.3
2.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　
C.2　　　　　D.3
易错点2　忽视函数零点存在定理的使用条件致错
3.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则下列判断中正确的是(　　)
A.方程f(x)=0一定有根
B.方程f(x)=0一定无根
C.方程f(x)=0一定有两根
D.方程f(x)=0可能无根
4.设f(x)在区间[a,b]上是连续的单调函数,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内(　　)
A.至少有一实根　　　　　　B.至多有一实根
C.没有实根　　　　　　　　D.必有唯一实根
易错点3　函数图象画不准确致错
5.(2022江苏盛泽中学月考)已知函数f(x)=若关于x的函数y=[f(x)]2+2bf(x)+2b+1有6个不同的零点,则实数b的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　B.(-1,0)
C.　　　　　　　D.
6.函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=　　　　.
易错点4　求参数的取值范围时考虑不全面致错
7.已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x∈,m为常数.
(1)设函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;
(2)设函数f(x)有两个互异的零点α,β,求实数m的取值范围,并求αβ
的值.
易错点5　求实际应用问题时忽视对函数定义域的限制而致错
8.某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入R与销售量t的关系可用抛物线表示,如图.
(注:销售量的单位:百台,销售收入与纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入R与销售量t之间的函数关系式;
(2)若销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与销售量的函数关系式,并求销售量是多少时,纯收益最大.
思想方法练
一、数形结合思想在函数零点问题中的应用　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022广东广州番禺期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　　　　　B.[0,1)
C.(1,3)∪{0}　　　　　 D.[1,3)∪{0}
2.若定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时, f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.2a-1　　　　　　　　B.2-a-1
C.1-2-a　　　　　　　　D.1-2a
二、转化与化归思想在函数零点中的应用
3.若x0是方程ax=logax(04.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是　　　　　.(用“<”连接)
三、分类讨论思想在函数问题中的应用
5.已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围.
6.(2022江苏苏州吴江中学期中)2021年11月5日至10日第四届中国国际进口博览会在上海举行.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,每年生产x千台空调,需另投入资金R万元,且R=经测算,当生产10千台空调需另投入的资金R=4 000万元.现每台空调售价为0.9万元时,当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2022年企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式;
(2)2022年年产量为多少时,企业所获年利润最大 最大年利润是多少 (注:利润=销售额-成本)
7.函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.
(1)若k=2,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求实数k的取值范围,并证明+<4.
答案全解全析
易混易错练
1.A 2.C 3.D 4.D 5.A
1.A　函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0.所以函数f(x)没有零点,故选A.
易错警示
求函数零点要在定义域内进行,本题容易错求出两个零点.
2.C　当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
所以函数f(x)有2个零点.
易错警示
忽视函数的定义域会导致求x2+2x-3=0时不能舍去x=1.
3.D　因为f(x)的图象不一定是连续不断的,所以方程f(x)=0可能无根.
4.D　由题意知函数f(x)的图象在[a,b]内与x轴只有一个交点,即方程f(x)=0在[a,b]内只有一个实根.
易错警示
函数零点存在定理成立有两个条件:①函数图象在闭区间上是一条连续不断的曲线;②区间端点的函数值异号.
5.A　作出函数f(x)的图象,如图所示:
令f(x)=t(0又函数g(t)的图象开口向上,
所以
解得-.故选A.
易错警示
利用图象解决函数零点问题时,画函数图象一定要准确.
6.答案　-2或1
解析　易知x≠0.函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点即为方程lg(x+2)=的图象,如图所示,
由图可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k的值为-2或1.
7.解析　(1)令t=log2x,x∈,
则y=t2+4t+m,t∈[-3,2].
因为函数f(x)存在大于1的零点,
所以方程t2+4t+m=0在(0,2]上存在实根.
由t2+4t+m=0,得m=-t2-4t,t∈(0,2],
所以m∈[-12,0).
故实数m的取值范围为[-12,0).
(2)令g(t)=t2+4t+m,t∈[-3,2].
若函数f(x)有两个互异的零点α,β,
则函数g(t)=t2+4t+m在[-3,2]上有两个互异的零点t1,t2,其中t1=log2α,t2=log2β,
所以解得3≤m<4,
所以实数m的取值范围为[3,4).
因为t1+t2=-4,即log2α+log2β=-4,
所以log2(αβ)=-4,所以αβ=2-4=.
8.解析　(1)由题图可知R=a(t-5)2+,
由t=0时,R=0,可得a=-,
所以R=-(0≤t≤5).
(2)设纯收益为y万元,
则y=-(0≤t≤5),
当t==4.75时,y取得最大值,最大值约为10.78,故销售量是475台时,纯收益最大,最大约为10.78万元.
易错警示
若函数是由实际问题建立的,则其定义域不仅要使所列函数解析式有意义,还要符合实际问题的要求.
思想方法练
1.D　作出函数y=f(x)的图象,结合图象将方程有解问题转化为函数图象交点问题,体现了数形结合思想.
因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
由图象知,当m∈[1,3)∪{0}时,函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个交点,所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.故选D.
2.D　作出函数f(x)的图象和直线y=a(0作出函数f(x)的图象和直线y=a(0由图可知,函数F(x)=f(x)-a(0思想方法
本章中,求函数的零点、判断函数零点的个数、与零点有关的参数等问题中都会用到数形结合思想,画出函数图象,图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点,两图象交点的个数就是函数零点的个数.
3.答案　a解析　将方程的解转化为两函数图象的交点问题进而求解.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax和y=logax(0由图可知x0<1,logax0<1,即x0>a,则a4.答案　x1解析　将函数零点问题转化为函数图象的交点问题.
令x+2x=0,得2x=-x.令x+ln x=0,得ln x=-x.
在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=ln x,y=-x的图象,如图所示,由图可知x1<0令h(x)=x--1=0,
解得(负值舍去),所以x3=>1.
综上,x1思想方法
在本章中,转化与化归思想主要用于解决函数零点和图象交点问题,主要有以下几种情况:(1)将方程的解或不等式的解集转化为函数零点问题;(2)将函数零点问题转化为图象交点问题.
5.解析　根据方程根的分布情况分类画出图象进行求解.
令f(x)=2kx2-2x-3k-2,要使方程f(x)=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,则函数f(x)的大致图象只能如图所示:
所以
即
解得k>0或k<-4.
故实数k的取值范围是k<-4或k>0.
6.解析　(1)由题意知,当x=10时,R=10×102+10a=4 000,解得a=300,
当0当x≥40时,W=900x-.
所以W=
(2)当0所以当x=30时,W有最大值,最大值为8 740;
当x≥40时,W=-+9 190≤-2,即x=100时等号成立,故当x=100时,W有最大值,最大值为8 990.
因为8 740<8 990,所以当2022年年产量为100千台时,企业所获年利润最大,最大年利润为8 990万元.
7.解析　(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.
去绝对值,对x2与1的关系分类讨论.
当x≥1或x≤-1时,f(x)=x2-1+x2+2x=2x2+2x-1,令f(x)=0,
解得x=(舍去).
当-1解得x=-.
综上, f(x)的零点为.
(2)当0若f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,
则x1x2=-,与x1,x2∈(1,2)矛盾.
所以两个零点分别在(0,1]和(1,2)内.
设x1∈(0,1],x2∈(1,2).
由x1∈(0,1]得f(x1)=kx1+1=0,所以k=-≤-1.
由x2∈(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得f(1)·f(2)<0,
即(k+1)(2k+7)<0,解得-综上所述,-易知x1=-.
设g(k)=,
易知g(k)在上单调递减,
所以g(k)=<4.
思想方法
在本章中,分类讨论思想主要用于解决函数零点及分段函数问题,主要体现在以下几个方面:(1)根据零点不同区间分情况讨论,求出零点;(2)根据函数在不同区间的取值讨论函数的解析式及对应性质.
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