苏教版（2019）高中数学必修一第3章测评卷（Word含答案）

第3章　不等式
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.不等式≥3的解集为(　　)
A. B.{x|x>-2}
C.{x|-7≤x<-2} D.{x|-7≤x≤-2}
2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N B.M≥N C.M3.若关于x的不等式ax2-2ax+1<0的解集为 ,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>1 B.a≥1
C.04.已知正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.不存在
5.若a,b,c∈R,则下列命题不正确的是(　　)
A.若a>b>0,则<
B.3a2+b2≥2ab
C.若a>b>0且c>0,则>
D.若a6.已知b,c∈R,关于x的不等式x2+bx+c<0的解集为(-2,1),则关于x的不等式cx2+bx+1>0的解集为(　　)
A. B.
C.∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪
7.函数y=1-2x2-的最大值是(　　)
A.7 B.-7 C.9 D.-9
8.已知x>0,y>0,且+=,则x+y的最小值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0 B.b>0
C.c>0 D.a+b+c>0
10.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<<.其中能成为x>y的充分条件的是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
11.已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m<0的解集中有且仅有2个整数,则实数m的值可能是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
12.若m>0,n>0,且3m+n=1,则下列结论正确的是(　　)
A.mn的最大值为
B.+的最小值为5
C.+的最小值为(5+2)
D.9m2+n2的最大值为
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围是　　　　.
14.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根为2,-1,则当a<0时,关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为　　　　　　.
15.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　.
16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),最小值为0,则ac的最大值为　　　　;实数λ满足1-b=λ,则λ的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知集合M={x|x2-12x+20<0,x∈R},N={x||x-1|(1)当m=2时,求M∩N;
(2)在①充分条件,②必要条件这两个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.
问题:是否存在正实数m,使得“x∈M”是“x∈N”的　　　　
18.(12分)已知不等式mx2+nx-<0的解集为.
(1)求m,n的值;
(2)解关于x的不等式(2a-1-x)(x+m)>0,其中a是实数.
19.(12分)设命题p:对任意x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p、q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
20.(12分)通过技术创新,某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年,该种玻璃售价为25欧元/平方米,销售量为80万平方米,销售收入为2 000万欧元.
(1)据市场调查,若售价每提高1欧元/平方米,则销售量将减少2万平方米,要使销售收入不低于2 000万欧元,试问:该种玻璃的售价最多可提高到多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量,增加市场份额,公司计划在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革:提高价格到m欧元/平方米(其中m>25),投入(m2-600)万欧元作为技术创新费用,投入500万欧元作为固定宣传费用,投入2m万欧元作为浮动宣传费用,试问:该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到多少时,才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和 并求出此时的售价.
21.(12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).
(1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0(m∈R)的解集为 ,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0的解集为D,且{x|-1≤x≤1} D,求实数m的取值范围.
22.(12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,预计在一年内的销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大 最大年利润为多少
答案全解全析
1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.A
7.B 8.A 9.BCD 10.AD 11.BC 12.ABC
1.C　原不等式可化为≥0,
所以解得-7≤x<-2.故选C.
2.A　M-N=2a2-4a+7-(a2-5a+6)=a2+a+1=>0,∴M>N.故选A.
3.D　当a=0时,原不等式为1<0,其解集为 ;
当a≠0时,需满足解得0综上,0≤a≤1.故选D.
4.B　因为正数a,b满足a+2b=1,
所以=9,
当且仅当时,等号成立.故选B.
5.D　由不等式的性质可知A中命题正确;
3a2+b2≥2ab,故B中命题正确;
>0,故C中命题正确;
若c=0,则ac2=bc2,故D中命题错误.故选D.
6.A　因为不等式x2+bx+c<0的解集为(-2,1),所以则不等式cx2+bx+1>0等价于-2x2+x+1>0,即2x2-x-1<0,
解得-7.B　由题意可得x≠0,则x2>0,所以y=1-2x2-时等号成立,
所以函数的最大值是-7,故选B.
8.A　∵x>0,
∴x+1>0,
由,
∴x+y=x++1=5,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,
∴x+y的最小值为5.
9.BCD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.
10.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,因此xt2>yt2是x>y的充分条件.
②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.
③令x=-2,y=1,满足x2>y2,但xy2不是x>y的充分条件.
④由0<<0,
即是x>y的充分条件.
故选AD.
11.BC　画出函数y=x2+5x+m的大致图象,如图,
由图象知,函数y=x2+5x+m的图象的对称轴为直线x=-,
要使不等式的解集中有且仅有2个整数,
需使x=-2时,y<0,且x=-1时,y≥0同时成立,
则有解得4≤m<6,
故选BC.
12.ABC　因为m>0,n>0,所以3m+n≥2时等号成立,故A正确;
因为m>0,n>0,3m+n=1,所以时等号成立,故B正确;
-14时等号成立,故C正确;
9m2+n2≥时等号成立,故D错误,故选ABC.
13.答案　[-1,4]
解析　因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,
所以a2-3a≤(-x2+4x)max,又y=-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
故实数a的取值范围是[-1,4].
14.答案　{x|-1≤x≤2}
解析　因为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根为2,-1,
所以-=2×(-1)=-2,
所以b=-a,c=-2a.因为a<0,
所以不等式ax2+bx+c≥0可化为x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,
所以不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.
15.答案　2
解析　已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合
题意;
当a≠0时,依题意知
又存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0 ab≤1,
因此ab=1,且a>0,从而b>0.
又∵a>b,
∴a-b>0,
∴,
当且仅当a-b=时,等号成立.
故.
16.答案　-2,+∞)
解析　∵二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)的图象过点(1,1),
∴a+b+c=1(a>0,b>0,c>0).
∵a>0,且函数的最小值为0,
∴Δ=b2-4ac=0,
∴b=2,
∴a+b+c=a+2+c=1,
∴()2=1,
∴=1.
∵1=时,等号成立,
∴,
当且仅当a=c=时,等号成立.
∴ac的最大值为.
∵λ+1,
∴λ=2-2.
∵a+c=2a-2<0,
∴a-<0,
∴a--1)<0,
∴0<<1,
∴0∴λ≥2时,等号成立,
∴λ∈[2-2,+∞).
17.解析　(1)由x2-12x+20<0,得(x-2)(x-10)<0,解得2所以M={x|2当m=2时,N={x||x-1|<2}={x|-1所以M∩N={x|2(2)由(1)知M={x|20时,N={x|1-m选择①,因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件,所以M N,(8分)
则解得m≥9,
故存在正实数m,使得“x∈M”是“x∈N”的充分条件,
此时m的取值范围为[9,+∞).(10分)
选择②,因为“x∈M”是“x∈N”的必要条件,所以N M,(8分)
则无解,
所以不存在正实数m,使得“x∈M”是“x∈N”的必要条件.(10分)
18.解析　(1)依题意得(2分)
解得(4分)
(2)不等式(2a-1-x)(x+m)>0,
即(2a-1-x)(x-1)>0,即[x-(2a-1)](x-1)<0.
①当2a-1<1,即a<1时,原不等式的解集为{x|2a-1②当2a-1=1,即a=1时,原不等式的解集为 ;(8分)
③当2a-1>1,即a>1时,原不等式的解集为{x|1综上所述,当a<1时,不等式的解集为{x|2a-11时,不等式的解集为{x|119.解析　(1)由题意得,在x∈[1,4]上,(x2-4x+2)min≥m2-3m.(1分)
易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值-2,(2分)
∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2.
故当p为真命题时,实数m的取值范围是1≤m≤2.(4分)
(2)存在x∈≥0成立,
即在x∈上,≥0.(5分)
易知当x=0时,y=x2-x+m-,(6分)
∴m-,
∴当q为真命题时,实数m的取值范围是m≥.(8分)
若p为假命题,q为真命题,则解得m>2;(9分)
若q为假命题,p为真命题,则.(10分)
综上所述,1≤m<或m>2.(12分)
20.解析　(1)设该种玻璃的售价可提高到x欧元/平方米,
则[80-2(x-25)]x≥2 000,解得25≤x≤40.(2分)
所以该种玻璃的售价最多可提高到40欧元/平方米.(4分)
(2)根据题意,得mn≥2 000+500+2m+(m2-600),m>25,(6分)
整理,得mn≥1 500+2m+m2,m>25,
即n≥+2=102,(10分)
当且仅当,即m=30时,等号成立.
故该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时,才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米.(12分)
21.解析　(1)①当m+1=0,即m=-1时,y=x-2,不符合题意,舍去;(2分)
②当m+1≠0,即m≠-1时,需满足
(4分)
解得m≥.
综上,实数m的取值范围是.(6分)
(2)由题意得,对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,
即对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥-x2+1恒成立.
∵x2-x+1=>0恒成立,
∴对任意的x∈[-1,1],m≥恒成立,
∴m≥,x∈[-1,1].(8分)
设t=2-x,则t∈[1,3],x=2-t,
∴,
∵t+时取等号,
∴时取等号,(10分)
∴当x=2-,
∴实数m的取值范围是.(12分)
22.解析　(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为万元,
∴年销售收入为x,(4分)
∴W=(32Q+3-x)
=(x≥0).(7分)
(2)由(1)得,W=+50.(9分)
∵x+1≥1,∴=8,(10分)
∴W≤42,当且仅当,即x=7时,W有最大值42,即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.(12分)
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