苏教版（2019）高中数学必修一第4-6章测评卷（Word含答案）

第4章　指数与对数
第5章　函数概念与性质
第6章　幂函数、指数函数和
对数函数
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列运算结果中正确的是(　　)
A.a3·a4=a12 B.(-a2)3=a6
C.=a D.=-π
2.若f(x)是幂函数,且满足=4,则f =(　　)
A.-4 B.4 C.- D.
3.若f(x)=则f(f(log32))的值为(　　)
A. B.-
C.- D.-2
4.已知a=log0.20.02,b=log660,c=ln 6,则(　　)
A.cC.c5.函数f(x)=的图象如图所示,则(　　)
A.a<0,b<0,c<0 B.a>0,b<0,c>0
C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0
6.某专家对某地区新冠肺炎暴发趋势进行研究,发现从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情暴发系数f(t)之间满足函数关系f(t)=,当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3)(　　)
A.38 B.40 C.45 D.47
7.设定义在R上的函数f(x)满足:当x12x的解集为(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-1,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞)
8.若不等式x2-loga(x+1)<2x-1在x∈上恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.若n∈N,a∈R,则下列四个式子中有意义的是(　　)
A. B.
C. D.
10.若10a=4,10b=25,则下列结论正确的是(　　)
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab>8(lg 2)2 D.b-a>lg 6
11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f =0,则下列结论正确的是(　　)
A.f(0)=-
B.f(-1)=-
C.f(x)为R上的减函数
D.f(x)+为奇函数
12.通过等式ab=c(a>0,a≠1)我们可以得到很多函数模型,例如将a视为常数,b视为自变量x,那么c就是b(即x)的函数,记为y,则y=ax(a>0,a≠1),也就是我们熟悉的指数函数.若令c=e(e是自然对数的底数),将a视为自变量x(x>0,x≠1),则b为x的函数,记为y=f(x),下列关于函数y=f(x)的叙述中正确的有(　　)
A.f()=2
B. x∈(0,1)∪(1,+∞),ef(x)=
C.y=f(x)在(0,1)上单调递减
D.若 x∈(0,1)∪(1,+∞),不等式(mx2+x+2m-1)f(x)>0恒成立,则实数m的值为0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知x+x-1=4,则=　　　　.
14.已知f(x)=若f(x)是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
15.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时, f(x)<0,且f(2)=-2,则不等式f(x-2)+f(x+4)+8>0的解集为　　　　.
16.定义域为R的函数F(x)=2x可以表示为一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)的和,则f(x)=　　　　;若关于x的不等式f(x)+a≥bF(-x)的解的最小值为1,其中a,b∈R,则a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(3-ax)(a>0,且
a≠1).
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)在①f(x)在(1,4)上单调递增,②在区间(-1,1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中,求g(a)=的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)设a,b为实数,定义在R上的函数f(x)=a-为奇函数,且其图象经过点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)为R上的增函数,并求f(x)在(-1,2]上的值域.
19.(12分)新冠肺炎疫情期间,医用防护服短缺,政府决定为生产医用防护服的公司提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴用于扩大生产,并以每套80元的价格收购其生产的全部医用防护服,公司在收到政府x(万元)补贴后,医用防护服产量将增加到t=k(万件),其中k(k∈[0.5,1])为工人的复工率.公司生产t万件医用防护服还需投入成本(20+8x+50t)万元.
(1)将公司生产医用防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入);
(2)当复工率k=0.7时,政府补贴多少万元才能使公司的医用防护服利润达到最大
(3)对任意的x∈[0,10](万元),当复工率k达到多少时,公司才能不亏损 (结果精确到0.01)
20.(12分)若存在实数m,n使得h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”.
(1)若h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(2,1)函数”,其中f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,求f(x),g(x)的解析式;
(2)设函数f(x)=ln(ex+1),g(x)=x,是否存在实数m,n使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,且同时满足:(i)h(x)是偶函数;(ii)h(x)的值域为
[ln 2,+∞) 若存在,请求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知函数y=f(x)=(x>1).
(1)求f(x)的反函数f -1(x);
(2)判断f -1(x)在其定义域内的单调性;
(3)若不等式(1-)f -1(x)>a(a-)对任意x∈恒成立,求实数a的取值范围.
22.(12分)已知M={x∈R|x≠0且x≠1},fn(x)(n=1,2,…)是定义在M上的一系列函数,满足f1(x)=x,fi+1(x)=fi(i∈N*).
(1)求f3(x),f4(x)的解析式;
(2)若g(x)为定义在M上的函数,且g(x)+g=1+x.
①求g(x)的解析式;
②若方程(2x-1-m)[2x(x-1)g(x)+3x2+x+1]+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.D 2.D 3.A 4.A 5.D 6.B
7.A 8.C 9.AC 10.ACD 11.ABD 12.ACD
1.D　a3·a4=a7,故A错;(-a2)3=-a6,故B错;,=-π,故D正确.故选D.
2.D　设f(x)=xα,则f(4)=4α=22α, f(2)=2α.
∵=2α=4=22,
∴α=2,
∴f(x)=x2,
∴f=,故选D.
3.A　f(f(log32))=f=f(-)=f(-=.故选A.
4.A　因为c=ln 6<2,a=log0.20.02=log550>log525=2,b=log660>log636=2,
又a=log550=1+log510=1+,
易知0b,所以c5.D　根据题意,得函数的定义域为{x|x≠-c},由题图可知-c>0,则c<0,又f(0)=>0,又b<0,所以a>0.故选D.
6.B　f(t)==0.1,即1+e-0.22(t-50)=10,
所以e-0.22(t-50)=9.
由于e1.1≈3,所以(e1.1)2=e2.2≈9,
所以e-0.22(t-50)≈e2.2,所以-0.22(t-50)≈2.2,解得t≈40.故选B.
7.A　由f(x2)<,
可知当x1由f(x)>2x,得,所以g(x)>g(1),所以x<1.故不等式f(x)>2x的解集为(-∞,1).故选A.
8.C　将x2-loga(x+1)<2x-1变形为x2-2x+10,显然不符合题意;当a>1时,画出两个函数的图象,如图所示:
要想满足(x-1)2综上,实数a的取值范围是.故选C.
9.AC　A中,2n为偶数,则(-4)2n>0恒成立,A中式子有意义;B中,(-4)2n+1<0,无意义;C中,a4为恒大于或等于0的数,有意义;D中,当a<0时,式子无意义.故选AC.
10.ACD　由10a=4,10b=25,得a=lg 4,b=lg 25,则a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,故A正确;b-a=lg 25-
lg 4=lg>lg 6,故B错误,D正确;ab=lg 4×lg 25=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8(lg 2)2,故C正确.
故选ACD.
11.ABD　令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+,故A正确.
令x=,
即-=-1.
令x=y=-,
即f(-1)=2f,故B正确.
由于f(-1)令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+,
即-,
即0=f(x)+为奇函数,故D正确.
故选ABD.
12.ACD　由题意知,xy=e,两边取以e为底的对数,则y=f(x)=,
∴f(=2,故A正确;
若 x∈(0,1)∪(1,+∞),则ef(x)=,故B错误;
当x∈(0,1)时,y=ln x是增函数,所以y=为减函数,故C正确;
当x∈(0,1)时,f(x)=即m=0,故D正确.故选ACD.
13.答案　
解析　将x+x-1=4两边平方,得x2+x-2+2=16,
所以x2+x-2=14,所以.
14.答案　
解析　由题意得.
15.答案　(2,4)
解析　任取x1,x2∈(0,+∞),且x11,又当x>1时,f(x)<0,
所以f(x2)-f(x1)=f <0,
所以f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.
由f(xy)=f(x)+f(y)可得f(x-2)+f(x+4)=f[(x+4)(x-2)],
又f(2)=-2,所以f(16)=f(4)+f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2)=-8,
则不等式f(x-2)+f(x+4)+8>0等价于解得2故不等式的解集为(2,4).
16.答案　(2x-2-x);a≥-1
解析　由题意知F(x)=f(x)+g(x)=2x.
∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2-x,
F(x)-F(-x)=f(x)+g(x)-[-f(x)+g(x)]=2f(x)=2x-2-x,
即f(x)=(2x-2-x).
f(x)+a≥bF(-x),即(2x-2-x),
即a≥2-x-2x-1.
关于x的不等式f(x)+a≥bF(-x)的解的最小值为1,
等价于a≥(x≥1).
令h(x)=2-x-2x-1(x≥1).
当b=-时,h(x)=-2x-1(x≥1),
易知h(x)=-2x-1在[1,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(1)=-20=-1,故a≥-1.
当b>-2-x-2x-1在[1,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(1)=,
当b趋近于+∞时,h(x)max趋近于+∞,
故a≥(x≥1)无解.
当b<-2-x<0,-2x-1<-1,
故h(x)=2-x-2x-1<-1,即a≥-1.
综上所述,a≥-1.
17.解析　(1)当x<0时,-x>0,(1分)
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=loga(3+ax),(3分)
所以当x<0时,f(x)=loga(3+ax).(5分)
(2)选条件①:由于f(x)在(1,4)上单调递增,所以a>1不符合题意.(6分)
所以,(8分)
所以g(a)=.(10分)
选条件②:当0当a>1时,因为f(x)与y=x2都是偶函数,
所以只需考虑x∈[0,1)时,f(x)≥x2恒成立即可.(7分)
由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[0,1)上单调递减,而y=x2在[0,1)上单调递增,所以y=f(x)-x2在[0,1)上单调递减.(8分)
所以.(9分)
所以g(a)=.(10分)
18.解析　(1)因为f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即a-=0,①(2分)
又因为函数f(x)的图象经过点,
所以f(1)=,②(4分)
由①②,可得a=1,b=2,故f(x)=1-.(6分)
(2)任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=1-.(8分)
因为x10,所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)当x∈(-1,2]时,f(-1)所以f(x)在(-1,2]上的值域为.(12分)
19.解析　(1)依题意得,y=x+80t-(20+8x+50t)=30t-20-7x=180k--7x-20,x∈[0,10].(3分)
(2)当k=0.7时,y=180×0.7- -7x-20
=-7x-+134
≤-2+134=50,(5分)
当且仅当7(x+4)=,即x=2(负值舍去)时,等号成立,
故政府补贴2万元才能使公司的医用防护服利润达到最大.(6分)
(3)若对任意的x∈[0,10],公司都不产生亏损,则180k--7x-20≥0在x∈[0,10]上恒成立,
∴k≥在x∈[0,10]上恒成立.
令m=x+2,则m∈[2,12],∴k≥在m∈[2,12]上恒成立.(8分)
设f(m)=7m++20,则f(m)在[2,12]上递增,
∴f(m)max=f(12)=7×12+×105≈0.58.
∴当复工率k达到0.58时,公司才能不亏损.(12分)
20.解析　(1)因为h(x)=ex为f(x),g(x)的“T(2,1)函数”,
所以2f(x)+g(x)=ex①,所以2f(-x)+g(-x)=e-x.(2分)
因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以-2f(x)+g(x)=e-x②.
联立①②,解得f(x)=(ex+e-x).(4分)
(2)假设存在实数m,n,使得h(x)为f(x),g(x)的“T(m,n)函数”,
则h(x)=mf(x)+ng(x)=mln(ex+1)+nx.
(i)因为h(x)是偶函数,所以h(-x)=h(x),
即mln(e-x+1)-nx=mln(ex+1)+nx,即mln +2nx=0,
又ln =ln ex=x,所以(2n+m)x=0.
因为(2n+m)x=0需对任意x∈R成立,所以m=-2n.(6分)
(ii)h(x)=mln(ex+1)+nx=-2nln(ex+1)+nx=nln ,
因为ex+,即x=0时取等号,(8分)
所以ln =-2ln 2,(10分)
由于h(x)的值域为[ln 2,+∞),所以-2n=1,所以n=-.
又因为m=-2n,所以m=1.
综上所述,存在m=1,n=-满足要求.(12分)
21.解析　(1)由y=.(2分)
∵y==,且x>1,
∴0∴f -1(x)=(0(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1∵0∴>0,
∴f -1(x1)∴f -1(x)在(0,1)上是增函数.(7分)
(3)由题意及(1)得(1-恒成立.
∴1+恒成立.(8分)
显然a≠-1.令t=,
∴g(t)=(1+a)t+1-a2>0对任意t∈恒成立.(10分)
∵g(t)=(1+a)t+1-a2是关于t的一次函数,
∴g.(12分)
22.解析　(1)由题意知f2(x)=1-=x.(2分)
(2)①利用(1)中的结论,用替换x两次,
得到(4分)
消去g(x≠0,x≠1).(6分)
②由题可得方程(2x-1-m)(x3+2x2+x)+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根,
整理可得m=有且仅有一个实根,(8分)
令t=x+=t2-2.
∵x≠0,x≠1,且当x=-1时,方程不成立,即-1不是方程的根,
∴t∈(-∞,-2)∪(2,+∞),
∴m=-5在(-∞,-2)∪(2,+∞)上有且仅有一个实根.(10分)
令λ=t+2,则λ∈(-∞,0)∪(4,+∞),m=2-5,
即在(-∞,0)∪(4,+∞)上有且仅有一个实根.
画出y=λ+,λ∈(-∞,0)∪(4,+∞)的图象,如图所示:
由图可知.(12分)
2