苏教版（2019）高中数学必修一第7章测评卷（Word含答案）

第7章　三角函数
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知角α的终边经过点P,则sin α的值为(　　)
A.- B. C.- D.
2.角的度量除了有角度制和弧度制之外,在军事上角的度量还有密位制,密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的,即2π=360°=6 000密位.在密位制中,采用四个数字来记一个角的密位数,且在百位数字与十位数字之间画一条短线,例如3密位写成0-03,123密位写成1-23,设圆的半径为1,那么5-00密位的圆心角所对的弧长为(　　)
A. B. C. D.
3.已知a=sin ,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a4.设a=cos 660°,函数f(x)=则f(8)+f =(　　)
A.2 B.-2 C.5 D.-5
5.当θ∈(0,π)时,若cos=-,则tan的值为(　　)
A. B.- C. D.-
6.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移个单位长度后,与函数g(x)=sin 2x的图象重合,则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7.已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是(　　)
A. f(x)=xcos x B. f(x)=sin x-x2
C. f(x)= D. f(x)=sin x+x
8.声音是由物体振动产生的声波,其中纯音的数学模型是y=Asin ωx,已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移个单位后,与纯音的数学模型y=2sin 2x的图象重合,且f(x)在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.给出下列四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α=
C.若α≠(k∈Z),则tan=
D.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα=1(n∈N*)
10.已知函数f(x)=sin+cos,下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)=sin
B.函数f(x)的最大值为
C.函数f(x)的周期是π
D. f(x)在上单调递增
11.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度后得到y=g(x)的图象如图,则下面结论正确的是(　　)
A. f(x)为奇函数
B. f(x)在区间上单调递增
C.方程f(x)=1在(0,2π)内有4个实数根
D. f(x)的解析式可以是f(x)=2sin
12.已知函数f(x)=若f(a)=f(b)=f(c)=f(d),且aA.ab=1
B.c+d=26π
C.abcd的取值范围是(153,165)
D.a+b+c+d的取值范围是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知角α为第一象限角,其终边上一点P(x,y)满足2ln(2x-y)=ln(x2+y2),则2cos α-sin α=　　　　.
14.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为　　　　rad.
15.若函数f(x)=(ω>1)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是　　　　　　　.
16.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和,且过点(0,-3),则f(x)=　　　　,满足f(x)≥的x的取值范围为　　　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知f(α)=.
(1)求f的值;
(2)若f=,求cos及cos2的值.
18.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),它的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)先将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x),x∈的单调递增区间.
19.(12分)给出以下三个条件:①点A(x1,1)和点B(x2,1)为函数f(x)图象的两个相邻的对称中心,且|x1-x2|=;②f=1;③直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.
从这三个条件中任选两个条件将下面题目补充完整,并根据要求解题.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1满足条件　　　　与　　　　.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得到的函数图象上的所有点的横坐标变为原来2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为,求实数a的取值范围.
20.(12分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.如图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m,轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针匀速旋转,2 min转动一圈,且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P到水面的距离z(单位:m.在水面下,z为负数)表示为时间t(单位:min)的函数;
(2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q在水面上方,且距离水面的高度相等,求时间t.
21.(12分)函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若 x∈,[f(x)]2-mf(x)-1≤0恒成立,求m的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=sin x,g(x)=cos x.用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)}.
(1)求y=f 在区间上的值域;
(2)若f(θ),g(θ)是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个实数根,求a
的值;
(3)若x∈[0,2π],且方程m(x)=b有两个实数根,求实数b的取值范围.
答案全解全析
1.D 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C
7.A 8.A 9.CD 10.BD 11.BC 12.ACD
1.D　∵4tan=4,
∴P(-3,4).
根据三角函数的概念得r==5,
∴sin α=.故选D.
2.A　由题意,得5-00密位的圆心角为500×,
则5-00密位的圆心角所对的弧长为.故选A.
3.C　∵角是锐角,
∴a=sin>0.
∵cos,
∴-1∵tan,
∴c<-1,
∴c4.A　∵a=cos 660°=cos 300°=sin 30°=,
∴f(x)=
∴f(8)+f=-log28+=-3+5=2.故选A.
5.A　因为θ∈(0,π),所以-θ∈(-π,0),
所以,
因为cos<0,
所以,
所以sin,
所以tan
=-.故选A.
6.C　函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移的图象.
因为所得的图象与g(x)=sin 2x的图象重合,
所以cos,
所以-+2kπ(k∈Z),
所以φ=-+2kπ(k∈Z).
因为-π≤φ≤π,所以φ=-,
所以f(x)=cos.
令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+(k∈Z),
即f(x)的单调递减区间为(k∈Z).故选C.
7.A　由f(x)的图象关于原点对称,可得f(x)为奇函数,
对于A,f(x)=xcos x,f(-x)=-xcos(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数,
且当f(x)=0时,x=0或x=kπ+<0,f(π)<0,故A可能正确;
对于B, f(x)=sin x-x2,f(-x)=-sin x-x2≠-f(x),故f(x)不是奇函数,排除B;
对于C, f(x)==2x(1-cos x)≠-f(x),故f(x)不是奇函数,排除C;
对于D,f(x)=x+sin x,f(-x)=-sin x-x=-f(x),故f(x)为奇函数,
由f(x)=0,可得sin x=-x,f(0)=0,由y=sin x和y=-x的图象可知它们只有一个交点,排除D.
故选A.
8.A　由题意可知将函数y=2sin 2x的图象向左平移的图象,
又-π≤φ≤π,
∴φ=,
令2kπ+,k∈Z,
∴kπ-,k∈Z,
∵f(x)在[-a,a]上是减函数,
∴k∈Z,
经验证,当k=0时,09.CD　由诱导公式四知,当α∈R时,sin(π+α)=-sin α,A错误.
当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此时cos α=;
当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此时cos α=-,B错误.
若α≠,C正确.
将等式sin α+cos α=1两边平方并化简,得sin αcos α=0,故sin α=0或cos α=0.
若sin α=0,则cos α=1,此时sinnα+cosnα=1;若cos α=0,则sin α=1,此时sinnα+cosnα=1.
故sinnα+cosnα=1,D正确.
故选CD.
10.BD　∵cos,
∴f(x)=,
∴函数f(x)在区间-上单调递增,故D正确.故选BD.
11.BC　由题意可得g(x)=Asin=π,
所以ω==2,A=g(x)max=2,
所以g(x)=2sin,
则g=2,
可得sin=1,
所以(k∈Z),
所以φ=2kπ-(k∈Z),
因为|φ|<π,则φ=-,
将函数g(x)的图象向右平移个单位可得到函数f(x)的图象,
故f(x)=2sin ,显然D错误;
对于A,因为f(0)=2sin≠0,故函数f(x)不是奇函数,故A错误;
对于B,当<0,
故函数f(x)在区间上单调递增,故B正确;
对于C,由f(x)=2sin,
当x∈(0,2π)时,-,
所以2x-,故C正确.
故选BC.
12.ACD　由|log3x|≤2可得-2≤log3x≤2,解得≤x≤9.
作出函数f(x)的图象如图所示:
由图象可得由|log3a|=|log3b|,可得-log3a=log3b,即log3a+log3b=log3(ab)=0,
∴ab=1,故A正确.
令+kπ(k∈Z),解得x=4k+1(k∈Z),
当x∈(9,17)时,令9<4k+1<17,解得2∵k∈Z,
∴k=3,
∴函数y=2sin(x∈[9,17])的图象关于直线x=13对称,
∴点(c,f(c))、(d,f(d))关于直线x=13对称,
∴c+d=26,故B错误.
abcd=c(26-c)=-(c-13)2+169,
∵c∈(9,11),
∴abcd∈(153,165),故C正确.
a+b+c+d=a+上为减函数,
∴a+b+c+d=a+,故D正确.故选ACD.
13.答案　1
解析　由题意知,ln(2x-y)2=ln(x2+y2),即(2x-y)2=x2+y2,又x>0,y>0,
所以化简,得3x=4y,
则2cos α-sin α==1.
14.答案　2
解析　设扇形的圆心角为α(0<α<2π)rad,扇形所在圆的半径为r,
则S扇形=,且0<α<2π,
∴S扇形=α·,0<α<2π,
又2α+=8,
当且仅当2α=,即α=2时,等号成立,
∴S扇形的最大值为,对应圆心角为2 rad.
15.答案　
解析　由题意可得函数f(x)的最小正周期T=×2,且ω>1,
∴1<ω≤2.
令kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)=,k∈Z.
∵函数f(x)在区间上单调递减,
∴,k∈Z,
∴,k∈Z.
当k=0时,,不符合题意;
当k=1时,,符合题意.
∴实数ω的取值范围是.
16.答案　3tan(k∈Z)
解析　由题意可得f(x)的最小正周期T=,
则f(x)=Atan.
因为它的图象过点,
所以tan+φ=kπ(k∈Z),
解得φ=kπ-(k∈Z),
又|φ|<.
因为它的图象过点(0,-3),所以Atan=-3,解得A=3,
所以f(x)=3tan.
由3tan,
则kπ+(k∈Z),
解得(k∈Z).
17.解析　(1)f(α)==cos α,(3分)
所以f.(5分)
(2)因为f,
所以cos,(7分)
cos2=1-.(10分)
18.解析　(1)由题图可知,A=2,=2,
由2×.
则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x-.(4分)
(2)先将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,(6分)
再将得到的图象向左平移的图象.(8分)
令-+2kπ,k∈Z.
取k=0,可得-,
∴函数y=g(x)在x∈.(12分)
19.解析　(1)若选择①②,由①知T=2×=2.(2分)
由②知f=0,
则φ+(k∈Z),(4分)
又因为|φ|<+1.(6分)
若选择①③,由①知T=2×=2,(2分)
由③知2×(m∈Z).(4分)
又因为|φ|<+1.(6分)
若选择②③,由②知f=0,(2分)
所以(m∈Z).(4分)
两式相减得,所以ω=4(m-k)+2,
因为0<ω<3,所以ω=2.
当ω=2时,φ=kπ-,
所以f(x)=+1.(6分)
(2)将f(x)=+1的图象.(8分)
再把得到的函数图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=+1的图象,
由x∈.(10分)
因为g(x)的值域为,
所以y=sin,
所以≤a≤π,
所以实数a的取值范围为.(12分)
20.解析　(1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设P(x,y),则点P到水面的距离z=y+2,=sin α,其中α是以Ox为始边,OP为终边的角,
由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox=,(2分)
由该筒车按逆时针匀速旋转,2 min转动一圈,得∠P0OP=×t=πt,
则α=πt-+2,t≥0.(4分)
(2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ=,设Q(xQ,yQ),
则,(6分)
所以yQ=4sin,(8分)
则πt=πt-,k∈Z,
由盛水筒P和Q在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(10分)
则2kπ-,k∈Z,
则t=2k+,k∈Z,
由t>0得t=2k+,k∈Z.(12分)
21.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T.
由题图可知,
即T=π.由T=,解得ω=2.(2分)
由题图知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象过点,
∴cos=1,
∴+2kπ,k∈Z.
又|φ|<,
∴f(x)=cos.(4分)
(2)∵x∈,
∴2x-,
∴cos,
即f(x)∈.
令t=f(x)∈,t2-mt-1≤0恒成立.(6分)
令g(t)=t2-mt-1,t∈的抛物线的一部分.
①当m≤-1时,函数g(t)在上单调递增,则g(t)max=g(1)=-m,令-m≤0,解得m≥0,此时无解;(8分)
②当-1③当m≥2时,函数g(t)在,此时无解.
综上可知,m的取值范围是0≤m≤.(12分)
22.解析　(1)因为f(x)=sin x,
所以y=f.(2分)
因为x∈,
所以2x-,
所以y=sin,
即y=f.(4分)
(2)由已知得Δ=(-a)2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.(6分)
根据题意得
又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以a2-2a-1=0,
所以a=1-(舍去).
因此a=1-.(8分)
(3)由题意可得m(x)=因此函数m(x)的图象如图所示:
(10分)
若x∈[0,2π],m(x)=b有两个实数根,则y=m(x)的图象与直线y=b有两个交点,
所以b∈∪{-1}.(12分)
2