苏教版（2019）高中数学必修一第8章测评卷（Word含答案）

第8章　函数应用
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.函数f(x)=log3x+x-3的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2.设m为实数,已知函数f(x)=x2+mx+5的两个零点在区间(0,+∞)内,则m的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,-2)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如图所示的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
4.设x0是方程log4x+x=7的实数解,若x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n的值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.为了给地球减负,提高资源利用率,2020年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.08,lg 5≈0.70)(　　)
A.2030年 B.2029年 C.2028年 D.2027年
6.在使用二分法计算函数f(x)=lg x+x-2的零点的近似值时,现已知其所在区间为(1,2),若要求近似值精确到0.1,则接下来需要计算区间中点函数值的次数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(1,4) B.(1,4] C.[1,4) D.[1,4]
8.化学平衡是指在一定条件下,可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时,体系所处的状态.根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs-Helmholtz方程和Van'tHoff方程,可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式:ΔH-TΔS=ΔG=-RTln K,式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值),ΔS为熵变,R为气体常数.利用上述公式,我们可以处理不同温度下,有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算.已知当温度为T1时,可逆反应的平衡常数为K1;当温度为T2时,可逆反应的平衡常数为K2,则ln=(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.下列函数中,有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(　　)
A.y=+1 B.y=
C.y=x2+4x+8 D.y=|x|
10.给出以下四个结论,其中正确的是(　　)
A.若函数y=f(x)是奇函数,则必有f(0)=0
B.函数f(x)=loga(2x-1)+1(其中a>0且a≠1)的图象过定点(1,1)
C.定义在R上的奇函数在(0,+∞)上是单调增函数,则在区间(-∞,0]上也是单调增函数
D.函数f(x)=则方程f(f(x))-=0有6个不等实根
11.已知函数f(x)=k≠0,下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是(　　)
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
12.已知函数f(x)=函数y=f(x)-m有四个不同的零点,且从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列结论正确的是(　　)
A.x1x2=1 B.0≤x1x2<1 C.x3x4=1 D.-1三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数y=f(x)的图象是不间断的,且有如下的对应值表:
x 1 2 3 4 5 6
y -5 2 8 12 -5 -10
则函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有　　　个.
14.方程ex=10-3x的解x∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.
15.著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,则t分钟后物体的温度θ(单位:℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若当空气温度为30 ℃时,某物体的温度从90 ℃下降到60 ℃用时14分钟,则再经过28分钟后,该物体的温度为　　　　℃.
16.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且满足f(x)+g(x)=2x-x,则f(0)的值为　　　　;若函数h(x)=2|x-2 021|-λf(x-
2 021)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为　　　　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)关于x的方程x2-2(m-1)x+m+11=0,当m分别在什么范围取值时,方程的两个实数根:
(1)都大于1
(2)都小于1
(3)一个大于1,一个小于1
18.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c均为实数.
(1)若0(2)若函数g(x)=f(x)+存在零点且c=a,求a2-b的最小值.
19.(12分)已知函数f(x)=3x+a·3-x为偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f(2x)-mf(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设函数g(x)=f(x)+x-3-x-3的零点为x0,求证:20.(12分)某公司研发A,B两种芯片,且该公司研发芯片耗费资金2千万元,现在研发成功准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元;生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxa(x>0),其图象如图所示.
(1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式;
(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A,B两种芯片,求可以获得的最大利润.
21.(12分)为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律,某旅游风景区以“绿水青山”为主题,特别制作了旅游纪念章,决定近期投放市场,根据市场调研情况,预计每枚该纪念章的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下表:
上市时间x(天) 2 6 20
市场价y(元) 102 78 120
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,③y=alogbx(b>0,b≠1),④y=+b;
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价;
(3)利用你选取的函数,若存在x∈(10,+∞),使得不等式 -k≤0成立,求实数k的取值范围.
22.(12分)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).
(1)设g(x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求实数a的取值范围;
(2)设h(x)=log2,若f(x)是偶函数,且函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,求实数b的取值范围.
答案全解全析
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C
7.B 8.A 9.CD 10.BD 11.CD 12.BCD
1.C　因为f(x)的图象是一条不间断的曲线,且f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(2,3).故选C.
2.B　将函数的零点问题转化为方程的根的问题来求解,即函数f(x)在(0,+∞)内有两个零点等价于方程f(x)=0有两个不相等的正实根,不妨设方程x2+mx+5=0的两个不相等的正实根分别为x1,x2,
则.故选B.
3.D　散点图中散点分布在一条曲线附近,当x逐渐增大时,函数值的增长速度越来越慢,故最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是y=a+bln x.故选D.
4.C　设f(x)=log4x+x-7,
易得f(x)为增函数,且其在区间[5,6]上的图象是不间断的,
因为f(5)=log45+5-7=log45-2<0,f(6)=log46+6-7=log46-1>0,
且x0是方程log4x+x=7的实数解,
所以x0∈(5,6),
又x0∈(n,n+1)(n∈N*),
所以n=5,故选C.
5.B　设经过n年后,投入资金为y万元,则y=2 000(1+20%)n.
由题意得2 000(1+20%)n>10 000,即1.2n>5,则n·lg 1.2>lg 5,所以n>=8.75,
因为n∈N*,所以n≥9,即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元.故选B.
6.C　设函数f(x)的零点为x1.
易得f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,所以x1∈(1.5,2).f(1.75)<0,所以x1∈(1.75,2).f(1.875)>0,所以x1∈(1.75,1.875).
f(1.812 5)>0,所以x1∈(1.75,1.812 5).
因为1.75与1.812 5精确到0.1的近似值都为1.8,所以需要计算区间中点函数值的次数为4.
7.B　当x<0时,f(x)>0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2;
当0≤x<时,f(x)<0,则f(f(x))=f(x2-3)=-(x2-3)+1=-x2+4;
当x≥时,f(x)≥0,f(f(x))=f(x2-3)=(x2-3)2-3=x4-6x2+6.
∴f(f(x))=
当x≥时,y=x4-6x2+6=(x2-3)2-3,
设t=x2-3,则t≥0.
∵t=x2-3在[,+∞)上单调递增,y=t2-3在[0,+∞)上单调递增,
∴y=(x2-3)2-3在[,+∞)上单调递增,
∴ymin=-3.
画出函数f(f(x))的图象,
函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f(f(x))的图象和直线y=k有3个不同的交点,观察图象可得,18.A　由题意得
两式相减得.故选A.
9.CD　易知A,B中函数有零点,且可用二分法求零点的近似值.对于C,y=(x+4)2≥0,故不能用二分法求零点的近似值.对于D,y=|x|≥0,故不能用二分法求零点的近似值.故选CD.
10.BD　对于A,由于f(x)的定义域未知,所以f(0)=0不一定成立,故A错误.
对于B,令2x-1=1,得x=1,f(1)=1,所以函数图象过定点(1,1),故B正确.
对于C,例如f(x)=满足f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,但在区间(-∞,0]上不是单调增函数,故C错误.
对于D,令f(x)=t,则f(t)=,
当t≤0时,f(t)=t+1=;
当t>0时,f(t)=|ln t|=.
方程f(f(x))-=0的实根个数等价于函数y=f(x)与函数y=t的图象的交点个数.如图.
易知y=f(x)与y=t1的图象有一个交点;y=f(x)与y=t2的图象有三个交点;y=f(x)与y=t3的图象有两个交点.
所以f(f(x))-=0有6个不等实根,故D正确.故选BD.
11.CD　当k>0时, f(x)=的大致图象如图所示.
f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1,有f(x)=-两种情况.
又f(x)=-也有两个实数根,所以f(f(x))+1=0有4个实数根,即函数y=f(f(x))+1有4个零点.
当k<0时, f(x)=的大致图象如图所示.
f(f(x))+1=0,即f(f(x))=-1,只有f(x)=仅有一个实数根,即函数y=f(f(x))+1有1个零点.
综上,当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点.故选CD.
12.BCD　由题意得当x∈(-2,0]时,f(x)=|ln(x+2)|,
当x∈(0,2]时,f(x)=f(x-2),
所以当x-2∈(-2,0]时,f(x-2)=|ln(x-2+2)|=|ln x|,
所以f(x)=
作出f(x)的图象,如图所示:
根据题意得,函数f(x)的图象与直线有四个交点,
由图象知,m∈(0,ln 2],则当x1∈时,f(x1)=-ln(x1+2);
当x2∈(-1,0]时,f(x2)=ln(x2+2).
由f(x1)=f(x2),得-ln(x1+2)=ln(x2+2),即ln(x1+2)+ln(x2+2)=0,
所以ln[(x1+2)(x2+2)]=0,所以(x1+2)(x2+2)=1,所以x1x2+2(x1+x2)+3=0,当x2=0时,x1x2=0;
当x1所以x1x2-4>3(舍去),
所以x1x2∈[0,1),故A错误,B正确;
当x3∈时,f(x3)=-ln x3,当x4∈(1,2]时,f(x4)=ln x4,
因为f(x3)=f(x4),所以-ln x3=ln x4,所以ln x3+ln x4=0,即ln(x3x4)=0,所以x3x4=1,故C正确.
因为x2∈(-1,0],x4∈(1,2],x2+2=x4,
所以x2x4=x2(x2+2)=-1∈(-1,0],故D正确.故选BCD.
13.答案　2
解析　由题表得f(1)f(2)<0, f(4)f(5)<0,
因为函数y=f(x)的图象是不间断的,
所以函数y=f(x)在(1,2)上至少有1个零点,在(4,5)上至少有1个零点,
所以函数y=f(x)在x∈(1,6)上的零点至少有2个.
14.答案　1
解析　方程ex=10-3x,即ex+3x-10=0.设f(x)=ex+3x-10,
易知函数f(x)在定义域内单调递增,
且f(1)=e+3-10<0, f(2)=e2+6-10>0,
又x∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1.
15.答案　37.5
解析　由题知θ0=30 ℃,θ1=90 ℃,θ=60 ℃,t=14分钟,
则60=30+(90-30)e-14k,所以e-14k=,
故再经过28分钟后,该物体的温度为θ=30+(90-30)e-42k=30+(90-30)·=37.5 ℃.
16.答案　1;或-1
解析　∵f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
∴g(0)=0,f(0)+g(0)=20-0=1,f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
∴f(0)=1,
又∵f(x)+g(x)=2x-x①,
∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2-x+x②,
①+②得2f(x)=2x+2-x,∴f(x)=(2x+2-x),
又∵h(x)=2|x-2 021|-λf(x-2 021)-2λ2=2|x-2 021|-(2x-2 021+2-x+2 021)λ-2λ2,
设x-2 021=t,
则函数h(x)有唯一零点等价于2|t|-λ(2t+2-t)-2λ2=0有唯一解,
设m(t)=2|t|-λ(2t+2-t)-2λ2,
易知m(t)为偶函数,∴t=0时函数m(t)有唯一零点,
∴1-λ-2λ2=0,解得λ=或λ=-1.
17.解析　(1)若方程的两个实数根都大于1,
则(2分)
即解得5≤m<14.(4分)
(2)若方程的两个实数根都小于1,
则(6分)
即解得m≤-2.(8分)
(3)若方程的两个实数根一个大于1,一个小于1,
则f(1)<0,即1-2(m-1)+m+11<0,解得m>14.(10分)
18.解析　(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c,f(-1)=f(-2)=f(-3),
所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c,(2分)
即
解得则f(x)=x3+6x2+11x+c,(4分)
由0故a+b+c的取值范围为(23,26).(6分)
(2)因为g(x)=f(x)+存在零点,所以设g(x0)=0,显然x0≠0,因为c=a,所以g(x0)=+a=0,
所以b=-,(8分)
所以a2-b=a2+=a2+
=a2+-2,
令x0+=t,则t≥2或t≤-2,
则a2-b=a2+t2+at-2=t2-2(t≥2或t≤-2),(10分)
易知t2-2≥1,
所以a2-b≥1,
故a2-b的最小值为1.(12分)
19.解析　(1)由题知,f(-x)=3-x+a·3x,
由于f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即3-x+a·3x=3x+a·3-x,
所以a=1.(2分)
(2)由(1)知f(x)=3x+3-x,
若关于x的不等式f(2x)-mf(x)≥0恒成立,
则32x+3-2x-m(3x+3-x)≥0,所以m≤,(4分)
令t=3x+3-x≥2=2,当且仅当x=0时等号成立,
则y=t-≥1,
所以m≤1.(6分)
(3)证明:由(1)知, f(x)=3x+3-x,令g(x)=0,则g(x)=f(x)+x-3-x-3=3x+3-x+x-3-x-3=3x+x-3=0,因为g(x)的零点为x0,即方程3x+x-3=0的根为x0,
所以+x0-3=0,易知函数g(x)=3x+x-3在R上是增函数,
则g(log32)=2+log32-3<0,g(log32.5)=2.5+log32.5-3>log3-0.5=0,
所以0任取x1,x2,且x1,x2∈(0,+∞),则f(x1)-f(x2)=+--=-=(-,
其中-<0,-1>0,所以f(x1)即f(x)在(0,+∞)上是增函数,(10分)
所以f(log32)20.解析　(1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设y=mx(x>0),
因为每投入1千万元,公司获得毛收入0.25千万元,所以,(2分)
因此对于A芯片,毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y=x(x>0).(3分)
对于B芯片,由题图可知,(5分)
因此对于B芯片,毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系为y=(x>0).(6分)
(2)设对B芯片投入资金x千万元,则对A芯片投入资金(40-x)千万元.
假设利润为L千万元,则L=-2,0令t=(t-2)2+9,
故当t=2,即x=4时,有最大利润,为9千万元.(10分)
故当对A芯片投入36千万元,对B芯片投入4千万元时,可以获得最大利润,为9千万元.(12分)
21.解析　(1)由题表知,随着时间x的增大,y的值先减小后增大,而所给的函数y=ax+b,y=alogbx(b>0,b≠1)和y=+b显然都是单调函数,不满足题意,故选择y=ax2+bx+c.(2分)
(2)把(2,102),(6,78),(20,120)代入y=ax2+bx+c中,得(4分)
∴y=(x-10)2+70.
∴当x=10时,y有最小值,且ymin=70.
故当纪念章上市10天时,市场价最低,最低市场价为70元.(6分)
(3)令g(x)=.
若存在x∈(10,+∞),使得不等式g(x)-k≤0成立,则k≥g(x)min.(8分)
易得函数g(x)在(10,10+2,+∞)上单调递增,
∴当x=10+2.
∴k≥2.(12分)
22.解析　(1)函数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有实数解.(1分)
∵k=2,
∴f(x)=log2(4x+1)-2x=log2.(2分)
∵1+>1,
∴log2>0,即f(x)>0.(3分)
∵f(x)=a-1有解, f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
∴a-1>0,即a>1,
∴实数a的取值范围是(1,+∞).(5分)
(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R, f(x)是偶函数,
∴f(-1)=f(1),∴log2+k=log2(4+1)-k,∴k=1.
经检验,符合题意.(6分)
∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个交点,
∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-b只有一个解,
即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解.(7分)
令t=2x,t>0,则方程3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正解或有两个相等的正解.(8分)
当b=1时,t=-<0,不符合题意;(9分)
当b≠1时,若方程有两个相等的正数根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且>0,解得b=-3;(10分)
当方程有两个不相等的实数解且只有一个正解时,
∵y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),
∴只需图象开口向上,即b-1>0,解得b>1.(11分)
综上,实数b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).(12分)
2